5.7. Kurvenverlauf Anstieg Monotonie Drehsinn Krümmung

5.8. Symmetrie

Achsensymmetrie Punktsymmetrie

14 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Funktionen und ihre Kurvendiskussion

- - x x x

Die Tabelle gibt einen Überblick über die Untersuchungsaspekte einer Kurvendiskussion für verschiedene Funktionsarten. Es ist dabei wichtig, zu wissen, was einzelne Markierungen meinen. Ein Kreuz bedeutet hier, dass die Funktion einen Aspekt aufweisen kann, aber nicht muss (so kann eine Wurzelfunktion symmetrisch sein und eine andere nicht).

Ein Minus bedeutet, dass das Ergebnis der Untersuchung eines Aspekts immer gleich ist (so haben beispielweise Polynome und Exponentialfunktionen nie Einschränkungen im Definitionsbereich und verlaufen immer stetig).

Da die Beschreibung des Kurvenlaufs einer Funktion immer möglich ist und an markante Punkte anknüpft, kommt dieser Prüfungspunkt in der Tabelle nicht noch einmal vor. Die obige Darstellung ist zunächst nur eine Grobübersicht, welche zur Orientierung dient und den Einstieg in die Kurvendiskussion erleichtern soll. Die tabellarischen Feinübersichten finden sich dann am Ende jeder Thematik.

Dank grafikfähiger Taschenrechner lassen sich bestimmte Untersuchungsaspekte geradezu ablesen. Dies soll jedoch nicht dazu verleiten, mathematische Aussagen einfach anzunehmen. Diese werden immer aufgrund der Prüfung bestimmter Bedingungen, welche sich in Gleichungen äußern, getroffen. So hat f(x) = x - 1 beispielsweise eine Nullstelle bei x 0 = 1, weil f(1) = 0 ist.

15 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

5.1. Nullpunkte

Nullpunkte sind die gemeinsamen Punkte der Funktion mit den Koordinatenachsen.

Nullpunkte besitzen mindestens eine Nullkoordinate. Die Koordinaten, welche dabei nicht Null sind, werden Nullstelle (x-Wert, wo y = 0 ist) bzw. Nullwert (y-Wert, wo x = 0 ist) genannt. Der Koordinatenursprung wird oft als der Nullpunkt bezeichnet, da dort beide Koordinaten Null sind. Für eine Funktion, welche durch ihn verläuft, sind in ihm Nullstelle und Nullwert vereint.

f (x 0 ) = 0 Nullstelle: gemeinsame Stelle x 0 von f (x) mit der x-Achse

Nullwert: gemeinsamer Funktionswert y 0 von f (x) mit der y-Achse f (0) = y 0

Kann die Anzahl der Nullstellen einer Funktion von gar keiner bis unendlich viele schwanken, so kann sie höchstens einen Nullwert haben.

Die x-Achse wird bei den Nullstellen der Funktion geschnitten oder berührt, die y-Achse hingegen wird immer im Nullwert der Funktion geschnitten.

Die oft verwendete Aussage, dass Nullstellen Schnittstellen der Funktion mit der x-Achse seien, ist für allgemeine Funktionen deshalb unzureichend und dürfte auf die Tatsache zurückzuführen sein, dass diese Definition als Spezialfall für lineare Funktionen geläufig ist.

Nullstellen sind mächtige Werkzeuge und nehmen eine Schlüsselposition für das Begreifen des Stoffs der Analysis ein. Zeit sollte deshalb keine Rolle spielen, wenn sich mit ihnen beschäftigt wird. Sie sollten in ihrer Definition verstanden worden sein und für alle Funktionsarten berechnet werden können. Von großer Bedeutung ist auch die Ordnung von Nullstellen (vgl. Seite 34), welche es erlauben wird, diese in ungerade und gerade einzuteilen.

Der Nullwert spielt hingegen eine Nebenrolle, die nur knapp den Auftritt eines Statisten überragt.

16 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Funktionen und ihre Nullstellen

sind 0 mit k . Die periodischen Nullstellen von f (x) a sin b x c d x x k b

0

17 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Erklärungsbeispiele

geg.: f (x) ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 1 3

Lsg.: 1. Nullstellen 0 0 3 x 0 3 1 0 3 keine Nullstelle!

2. Nullwert 0 f 0 2 0

y 3

0

3

f (x) x 2 geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 2

2

Lsg.: 1. Nullstellen 3

0 x 2 | Bruch auflösen

2

| Klammern auflösen 0 2 3 x 2

0 3 x 6 | x isolieren 6 3 x x 2

0

2. Nullwert 3

f 0 0 2

2 y 3

0

18 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Polynom - 2. Grades

2 Bsp. 3 geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert f (x) 2 x 8 Lsg.: 1. Nullstellen 2 0 2 x 8 2 | ... 4 x gerader Wurzelexponent! 2 x 4 x 2 x 2 x 2

1 2

| x 2 x 2

1 2

x 2 x 2

01 02

2. Nullwert 2 f 0 2 0 8 y 8

0

2 Bsp. 4 geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert f (x) 2 x 4 x Lsg.: 1. Nullstellen 2 | Ausklammern 0 2 x 4 x | Nullprodukt (jeweils ein Faktor wird Null) 0 2 x x 2

0

0

x 0 x 2

01 02

2. Nullwert 2 f 0 2 0 4 0 y 0

0

2 Bsp. 5 geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert f (x) 2 x 26 x 72 Lsg.: 1. Nullstellen 2 | Ausklammern sinnlos (Bruchfaktoren!) 0 2 x 26 x 72 2 | Lösungsformel 0 x 13 x 36 q 36 p 13

x 4 x 9

01 02

2. Nullwert 2 f 0 2 0 26 0 72 y 72

0 19 © Thomas Pientka - Mathe mit Nullplan (Analysis)

Polynom - 3. Grades

1

3 f (x) x 9 ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 6 geg.:

3

Lsg.: 1. Nullstellen 1

3 0 x 9 | Umstellen

3 3 | 3 ... ungerader Wurzelexponent! 27 x

3 3 | ungerade Wurzeln dürfen immer gezogen werden 3 x 27 x 3

0

2. Nullwert 1

3 f 0 0 9

3

y 9

0

3 2 geg.: ges.: Nullstellen und Nullwert Bsp. 7 f (x) 2 x 4 x

Lsg.: 1. Nullstellen 3 2 | Ausklammern 0 2 x 4 x 2 | Nullprodukt / Umstellen 0 2 x x 2

0

0

x 0 x 2

01...