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E-Book

Analysis II

AutorHerbert Amann, Joachim Escher
VerlagBirkhäuser Basel
Erscheinungsjahr2006
Seitenanzahl428 Seiten
ISBN9783764374020
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis9,99 EUR

Der zweite Band dieser Einführung in die Analysis behandelt die Integrationstheorie von Funktionen einer Variablen, die mehrdimensionale Differentialrechnung und die Theorie der Kurven und Kurvenintegrale. Der im ersten Band begonnene moderne und klare Aufbau wird konsequent fortgesetzt. Dadurch wird ein tragfähiges Fundament geschaffen, das es erlaubt, interessante Anwendungen zu behandeln, die zum Teil weit über den in der üblichen Lehrbuchliteratur behandelten Stoff hinausgehen. Zahlreiche Übungsaufgaben von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad und viele informative Abbildungen runden dieses Lehrbuch ab.

Geschrieben für:
Studenten und Dozenten der Analysis-Anfängervorlesungen naturwissenschaftlicher Studiengänge

Schlagworte: Analysis

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Leseprobe

Kapitel VI Integralrechnung in einer Variablen (S. 1-2)

Das Konzept des Integrals ist eng mit dem Problem der Bestimmung von Flächeninhalten ebener Figuren verknüpft. Hierbei ist es naheliegend, komplizierte geometrische Gebilde durch einfachere zu approximieren, deren Flächenbestimmung mittels unmittelbar einsichtiger Regeln leicht durchgef¨uhrt werden kann. In der Praxis bedeutet dies, daß krummlinige Bereiche durch Vereinigungen von Rechtecksachen angenähert werden. Der Inhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt der Seitenlängen. Da es anschaulich evident ist, daß sich der Inhalt von Vereinigungen von disjunkten Rechtecksflächen additiv verhält, kann man leicht einen plausiblen Kalkül zur näherungsweisen Flächenberechnung ebener Figuren entwickeln. Eine mathematisch befriedigende Präzisierung dieser anschaulichen Betrachtungen ist erstaunlich subtil.

Dies rührt insbesondere daher, daß es eine Vielzahl von Möglichkeiten gibt, mittels derer eine krummlinige ebene Figur durch Vereinigungen von disjunkten Rechtecksflächen approximiert werden kann. Dabei ist es keinesfalls selbstverständlich, daß sie alle zum selben Resultat führen. Aus diesem Grunde werden wir die allgemeine Theorie des Messens von Flächen- und Rauminhalten, die "Maßtheorie", erst im dritten Band behandeln. In diesem Kapitel beschränken wir uns auf den einfacheren Fall der Bestimmung der Fläche zwischen dem Graphen einer genügend regulären Funktion einer Variablen und der entsprechenden Abszisse.

Wenn wir hier die Approximation durch achsenparallele Rechtecksflächen zugrunde legen, sehen wir, daß dies darauf hinausläuft, die betrachtete Funktion durch Treppenfunktionen, d.h. Abbildungen, die stückweise konstant sind, anzunähern. Es zeigt sich nun, daß diese Approximationsidee äußerst flexibel und von ihrer ursprünglichen geometrischen Motivation unabhängig ist. Auf diese Weise werden wir zu einem Integralbegriff geführt, der auf eine große Klasse vektorwertiger Funktionen einer reellen Variablen anwendbar ist. Zur genauen Bestimmung der Klasse der Funktionen, denen wir ein Integral zuordnen können, müssen wir untersuchen, welche Funktionen durch Treppenfunktionen approximiert werden können.

Wenn wir dabei die Supremumsnorm zugrunde legen, d.h. eine gegebene Funktion gleichm ßig auf dem gesamten Intervall durch Treppenfunktionen approximieren, werden wir zu den sprungstetigen Funktionen geführt. Dem Studium dieser Funktionenklasse ist der erste Paragraph gewidmet. Wir werden sehen, daß das Integral eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der Treppenfunktionen ist. Es stellt sich dann das Problem, diesen Integralbegriff so auf den Raum der sprungstetigen Funktionen zu erweitern, daß die elementaren Eigenschaften, insbesondere die Linearität, erhalten bleiben.

Diese Aufgabe erweist sich als ein Spezialfall der allgemeineren Fragestellung nach der eindeutigen Fortsetzbarkeit stetiger Abbildungen. Da das Fortsetzungsproblem von übergeordneter Bedeutung ist und überall in der Mathematik auftritt, diskutieren wir es eingehend in Paragraph 2. Aus dem fundamentalen Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Abbildungen leiten wir den Satz über die stetige Fortsetzung stetiger linearer Abbildungen ab. Dies gibt uns Gelegenheit, die wichtigen Begriffe des beschränkten linearen Operators und der Operatornorm einzuführen, welche in der modernen Analysis eine grundlegende Rolle spielen.

Inhaltsverzeichnis
Vorwort6
Inhaltsverzeichnis8
Kapitel VI Integralrechnung in einer Variablen14
1 Sprungstetige Funktionen17
Treppen- und sprungstetige Funktionen17
Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen19
Der Banachraum der sprungstetigen Funktionen20
2 Stetige Erweiterungen23
Der Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Funktionen23
Beschränkte lineare Operatoren25
Die stetige Erweiterung beschränkter linearer Operatoren28
3 Das Cauchy-Riemannsche Integral30
Das Integral für Treppenfunktionen30
Das Integral für sprungstetige Funktionen32
Riemannsche Summen33
4 Eigenschaften des Integrals39
Integration von Funktionenfolgen39
Das orientierte Integral40
Positivität und Monotonie des Integrals41
Komponentenweise Integration44
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung45
Das unbestimmte Integral46
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung48
5 Die Technik des Integrierens52
Variablensubstitution52
Partielle Integration54
Die Integration rationaler Funktionen57
6 Summen und Integrale64
Die Bernoullischen Zahlen64
Rekursionsformeln66
Die Bernoullischen Polynome67
Die Euler-Maclaurinsche Summenformel68
Potenzsummen70
Asymptotische Äquivalenz71
Die Riemannsche .-Funktion73
Die Sehnentrapezregel78
7 Fourierreihen82
Das L2-Skalarprodukt82
Die Approximation im quadratischen Mittel84
Orthonormalsysteme86
Die Integration periodischer Funktionen87
Fourierkoeffizienten88
Klassische Fourierreihen89
Die Besselsche Ungleichung93
Vollständige Orthonormalsysteme94
Stückweise stetig differenzierbare Funktionen97
Gleichmäßige Konvergenz98
8 Uneigentliche Integrale105
Zulässige Funktionen105
Uneigentliche Integrale105
Der Integralvergleichssatz für Reihen108
Absolut konvergente Integrale109
Das Majorantenkriterium110
9 Die Gammafunktion114
Die Eulersche Integraldarstellung114
Die Gammafunktion auf C\( N)115
Die Gaußsche Darstellung116
Die Ergänzungsformel120
Die logarithmische Konvexität der Gammafunktion121
Die Stirlingsche Formel124
Das Eulersche Betaintegral127
Kapitel VII Differentialrechnung mehrerer Variabler132
1 Stetige lineare Abbildungen135
Die Vollständigkeit von L(E,F)135
Endlichdimensionale Banachräume136
Matrixdarstellungen140
Die Exponentialabbildung142
Lineare Differentialgleichungen145
Das Gronwallsche Lemma147
Die Variation-der-Konstanten-Formel149
Determinanten und Eigenwerte151
Fundamentalmatrizen154
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung158
2 Differenzierbarkeit167
Die Definition167
Die Ableitung168
Richtungsableitungen170
Partielle Ableitungen172
Die Jacobimatrix174
Ein Differenzierbarkeitskriterium174
Der Rieszsche Darstellungssatz176
Der Gradient178
Komplexe Differenzierbarkeit180
3 Rechenregeln185
Linearität185
Die Kettenregel185
Die Produktregel188
Mittelwertsätze188
Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen190
Notwendige Bedingungen für lokale Extrema190
4 Multilineare Abbildungen193
Stetige multilineare Abbildungen193
Der kanonische Isomorphismus195
Symmetrische multilineare Abbildungen197
Die Ableitung multilinearer Abbildungen197
5 Höhere Ableitungen201
Definitionen201
Partielle Ableitungen höherer Ordnung204
Die Kettenregel206
Taylorsche Formeln206
Funktionen von m Variablen208
Hinreichende Kriterien für lokale Extrema209
6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung217
Nemytskiioperatoren217
Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren218
Die Differenzierbarkeit von Nemytskiioperatoren219
Die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen222
Variationsprobleme224
Die Euler-Lagrangesche Gleichung226
Klassische Mechanik230
7 Umkehrabbildungen234
Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen234
Der Satz über die Umkehrabbildung236
Diffeomorphismen239
Die Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme240
8 Implizite Funktionen243
Differenzierbare Abbildungen auf Produkträumen243
Der Satz über implizite Funktionen245
Reguläre Werte248
Gewöhnliche Differentialgleichungen249
Separation der Variablen251
Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit255
Der Satz von Picard-Lindelöf257
9 Mannigfaltigkeiten265
Untermannigfaltigkeiten des Rn265
Graphen266
Der Satz vom regulären Wert266
Der Immersionssatz268
Einbettungen270
Lokale Karten und Parametrisierungen275
Kartenwechsel278
10 Tangenten und Normalen283
Das Tangential in Rn283
Der Tangentialraum284
Charakterisierungen des Tangentialraumes288
Differenzierbare Abbildungen289
Das Differential und der Gradient292
Normalen294
Extrema mit Nebenbedingungen295
Anwendungen der Lagrangeschen Multiplikatorenregel296
Kapitel VIII Kurvenintegrale302
1 Kurven und ihre Länge304
Die totale Variation304
Rektifizierbare Wege304
Differenzierbare Kurven307
Rektifizierbare Kurven310
2 Kurven in Rn315
Tangenteneinheitsvektoren315
Parametrisierungen nach der Bogenlänge316
Orientierte Basen317
Das Frenetsche n-Bein318
Die Krümmung ebener Kurven321
Eine Kennzeichnung von Geraden und Kreisen323
Krümmungskreise und Evoluten324
Das Vektorprodukt325
Die Krümmung und die Torsion von Raumkurven327
3 PfaffscheFormen331
Vektorfelder und Pfaffsche Formen331
Die kanonischen Basen333
Exakte Formen und Gradientenfelder335
Das Poincarésche Lemma338
Duale Operatoren340
Transformationsregeln341
Moduln345
4 Kurvenintegrale350
Die Definition350
Elementare Eigenschaften352
Der Hauptsatz über Kurvenintegrale354
Einfach zusammenhängende Mengen356
Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals357
5 Holomorphe Funktionen364
Komplexe Kurvenintegrale364
Holomorphie367
Der Cauchysche Integralsatz368
Die Orientierung der Kreislinie370
Die Cauchysche Integralformel370
Analytische Funktionen372
Der Satz von Liouville374
Die Fresnelschen Integrale374
Das Maximumprinzip376
Harmonische Funktionen377
Der Satz von Goursat379
Der Weierstraßsche Konvergenzsatz382
6 Meromorphe Funktionen386
Die Laurentsche Entwicklung386
Hebbare Singularitäten390
Isolierte Singularitäten390
Einfache Pole394
Die Windungszahl396
Die Stetigkeit der Umlaufzahl400
Der allgemeine Cauchysche Integralsatz402
Der Residuensatz404
Fourierintegrale405
Literaturverzeichnis414
Index416

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