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E-Book

Beschreibung und Analyse unscharfer Information

Statistische Methoden für unscharfe Daten

AutorD. Hareter, R.K.W. Viertl
VerlagSpringer-Verlag
Erscheinungsjahr2006
Seitenanzahl141 Seiten
ISBN9783211323472
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis40,00 EUR

Datenqualität, Genauigkeit bzw. Ungenauigkeit von Daten und anderen Informationen sind grundlegende Aspekte von Messungen und Beobachtungen, die quantitativ beschrieben werden müssen, um unrealistische Resultate von Analysen zu vermeiden. In vielen praktischen Anwendungen erscheint die Angabe reeller Zahlen als vorliegende Datenelemente fragwürdig. Die Verwendung von unscharfen Zahlen ermöglicht es, die Unschärfe in die Modellbildung miteinzubeziehen und erlaubt somit eine realistischere Beschreibung von Daten.

Das Buch ist für Leser geschrieben, die mit elementaren stochastischen Modellen und statistischen Verfahren vertraut sind.

Ziel ist es, Methoden der quantitativen Beschreibung unscharfer Beobachtungen stochastischer Größen vorzustellen und in die Grundlagen der statistischen Analyse solcher Daten einzuführen. Der praktische Umgang mit den vorgestellten Theorien und Methoden wird dem Leser anhand zahlreicher Übungsaufgaben nähergebracht.

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Leseprobe

1 Ungewissheit und Information (S. 1-2)

1.1 Unscharfe Information und unscharfe Daten

Vieles im Leben ist ungewiss. Dies beginnt bei der Lebensdauer von Menschen, geht über Preisentwicklungen und über technische Gegebenheiten bis hin zu zukünftigen Umweltgegebenheiten. Um fundierte Entscheidungen treffen zu können, ist die adäquate, möglichst gute, quantitative Beschreibung der betrachteten Größen notwendig. Neben Messungen und Beobachtungen sind häufig auch auf Erfahrungen gegründete Einschätzungen von Ungewissheiten durch Experten, also quantitative Beschreibungen von so genannter A-priori- Information in Entscheidungsanalysen wesentlich. Die ad quate mathematische Beschreibung von realen Informationen ist oft nicht durch exakte Zahlen bzw. Vektoren möglich.

Dies gilt vor allem, wenn für die entsprechende Größe bzw. Menge nur eine vage Beschreibung oder Charakterisierung vorliegt, wie es häufig bei linguistischen Aussagen der Fall ist. Beispielsweise ist die vage definierte Information ,,der Patient hat erhöhte Temperatur‘‘ als Teilmenge von R nicht eindeutig festgelegt. Einerseits ist die quantitative Beschreibung der Information bzw. der Menge ,,erhöhte Temperatur‘‘ für die Modellierung von medizinischem Wissen notwendig, andererseits ist diese Festlegung mit vielen praktischen Schwierigkeiten verbunden: Ist eine Temperatur von 37.5 C erhöht? Bei welchen Temperaturen soll die obere und untere Grenze der Menge festgelegt werden? Viel entscheidender ist die Frage, ob eine strikte Festlegung der Grenzen für die Beschreibung dieser Menge überhaupt sinnvoll ist.

Ein hnliches Problem stellt die Anteilschätzung nach dem Anteil von Rauchern in einer Firma kann beispielsweise nicht immer eindeutig beantwortet werden, da die Definition eines ,,Rauchers‘‘ ein zu allgemeiner Begriff ist. Sind Gelegenheitsraucher den Rauchern zuzuordnen? Wie werden Mitarbeiter eingeordnet, die sich gerade das Rauchen abgew hnen wollen? Ungewissheit und Information Einen Ausweg aus der Notwendigkeit der Angabe exakter Grenzen bzw. exakter Beschreibungen von Mengen bietet die Betrachtung der in Abschnitt 2 definierten sogenannten ,,unscharfen Mengen‘‘.

Ähnliche Schwierigkeiten wie bei der Beschreibung und Charakterisierung von Mengen treten bei der Angabe von Messergebnissen auf. Selbst die als exakt geltenden Ergebnisse von Messungen sind mit Unschärfe behaftet. Genau genommen k nnen die Ergebnisse von Messungen kontinuierlicher Größen nie als exakte Zahlen aufgefasst werden. Einige Gründe für das Vorliegen einer so genannten ,,Datenunschärfe‘‘ bei der Messung bzw. Bestimmung von Größen sollen im Folgenden anhand von Beispielen erläutert werden.

Beispiel 1: Unmöglichkeit der exakten Datenbestimmung Der Verlust durch Schattenwirtschaft ist aufgrund unzugänglicher Informationen praktisch nicht exakt bestimmbar. Neben der Unmöglichkeit der Erfassung aller Daten ist auch hier die Fragestellung insofern problematisch, als der Begriff der Schattenwirtschaft nicht eindeutig festgelegt bzw. unterschiedlich interpretierbar ist.

Inhaltsverzeichnis
Vorwort5
Inhaltsverzeichnis8
Symbolverzeichnis11
1 Ungewissheit und Information15
1.1 Unscharfe Information und unscharfe Daten15
1.1.1 Übungen18
1.2 Stochastik und Unschärfe18
2 Mathematische Beschreibung von Unschärfe21
2.1 Mathematische Grundlagen21
2.1.1 Übungen23
2.2 Unscharfe Zahlen24
2.2.1 Darstellung spezieller unscharfer Zahlen29
2.2.2 Ermittlung charakterisierender Funktionen34
2.2.3 Übungen36
2.3 Unscharfe Vektoren37
2.3.1 Ermittlung vektorcharakterisierender Funktionen39
2.3.2 Übungen40
2.4 Kombination unscharfer Beobachtungen40
2.4.1 Übungen44
2.5 Funktionen von unscharfen Größen44
2.5.1 Der einhüllende unscharfe Vektor einer Zugehörigkeitsfunktion47
2.5.2 Die konvexe Hülle einer Zugehörigkeitsfunktion48
2.5.3 Mathematische Operationen für unscharfe Zahlen49
2.5.4 Übungen53
2.6 Unscharfe Funktionen53
2.6.1 Integration unscharfer Funktionen54
2.6.2 Übungen55
2.7 Unscharfe Wahrscheinlichkeitsverteilungen55
2.7.1 Unscharfe Wahrscheinlichkeitsdichten57
2.7.2 Übungen64
3 Beschreibende Statistik mit unscharfen Daten65
3.1 Histogramm für unscharfe Daten65
3.1.1 Übungen69
3.2 Empirische Verteilungsfunktion für unscharfe Daten70
3.2.1 Geglättete empirische Verteilungsfunktion71
3.2.2 Unscharfe empirische Verteilungsfunktion72
3.2.3 Übungen74
3.3 Empirische Fraktile bei unscharfen Daten75
3.3.1 Empirische Fraktile der gegl¨atteten empirischen Verteilungsfunktion75
3.3.2 Empirische Fraktile der unscharfen empirischen Verteilungsfunktion76
3.3.3 Übungen78
3.4 Extremwerte unscharfer Beobachtungen78
3.4.1 Minimum78
3.4.2 Maximum78
3.4.3 Übungen79
4 Schließende Statistik für unscharfe Daten81
4.1 Statistiken von unscharfen Daten81
4.1.1 Praktische Berechnung der unscharfen Stichprobenvarianz82
4.1.2 Die k-ten Momente von Verteilungen88
4.1.3 Übungen90
4.2 Schätzwerte für Parameter90
4.2.1 Übungen92
4.3 Unscharfe Konfidenzbereiche für Parameter92
4.3.1 Übungen94
4.4 Statistische Tests bei unscharfen Daten94
4.4.1 Unscharfe Werte von Teststatistiken94
4.4.2 p-Werte für unscharfe Daten97
4.4.3 Unscharfe p-Werte97
4.4.4 Übungen100
5 Bayes’sche Analyse bei unscharfer Information101
5.1 Grundlagen der Bayes’schen Statistik101
5.1.1 Übungen102
5.2 Unscharfe A-priori-Verteilungen103
5.2.1 Übungen103
5.3 Verallgemeinertes Bayes’sches Theorem103
5.3.1 Adaptierte Verallgemeinerung des Bayes’schen Theorems107
5.3.2 Übungen109
5.4 Unscharfe Prädiktivdichten109
5.4.1 Übungen110
5.5 Bayes’sche Entscheidungen auf Grundlage unscharfer Information111
5.5.1 Bayes’sche Entscheidungen111
5.5.2 Unscharfe Nutzenfunktionen111
5.5.3 Verallgemeinerung Bayes’scher Entscheidungen113
5.5.4 Übungen114
6 Lösungen der Übungsaufgaben115
Literatur139
Sachverzeichnis141

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