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Brückenkurs Mathematik für Studieneinstieger aller Disziplinen

AutorFrank Zeilfelder, Guido Walz, Thomas Rießinger
VerlagSpektrum Akademischer Verlag
Erscheinungsjahr2005
Seitenanzahl363 Seiten
ISBN9783827416100
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis22,10 EUR

Dieses Buch erspart Ihnen die Einstiegsprobleme in die Mathematik, indem es Ihnen auf unterhaltsame Weise eine Brücke baut, die Sie sanft über alle Untiefen hinweg ins Innere der Hochschulmathematik hineingeleitet. Die Brücke beginnt auf der einen Seite beim einfachen Zahlenrechnen, wie es Ihnen vermutlich in der Mittelstufe schon begegnet ist, und führt Sie hinüber bis zu den Grundlagen von Linearer Algebra, Differenzialrechnung und Wahrscheinlichkeitsrechnung, die die Hauptinhalte Ihrer ersten Semester darstellen werden. Diesen Inhalten werden Sie dort immer gegenüber stehen, und bei deren Behandlung können Sie dann beruhigt sagen: "Kenn' ich schon!"

Den Autoren ist es gelungen, ein Mathematik-Buch für Studierende aller Fachrichtungen und die berufliche Weiterbildung zu schreiben, das man von vorne bis hinten einfach lesen kann, ohne im Formalismus oder in humorloser Trockenheit verloren zu gehen, das einem nach dem Lesen aber dennoch das nötige Wissen und die fachliche Sicherheit vermittelt hat. Zu jedem Kapitel finden sich Übungsaufgaben, mit deren Hilfe die vermittelten Inhalte eingeübt und vertieft werden können.  

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Leseprobe

2.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen (S. 66-67)

Nehmen Sie einmal an, Sie hätten einen reichen Gönner, der Ihnen etwas Gutes tun will und folgendes Angebot macht: "Also, du kannst wählen: Entweder ich schenke dir auf der Stelle eine Million Euro oder aber ich zahle dir an jedem Tag des nächsten Monats eine gewisse Summe aus; am ersten Tag zwei Euro, am zweiten Tag vier Euro, am dritten Tag acht Euro, am vierten Tag sechzehn Euro und so weiter, also an jedem Tag den doppelten Betrag des Vortages, bis zum dreißigsten Tag des Monats."

Machen Sie jetzt bloß keinen Fehler! Lesen Sie noch ein paar Zeilen weiter, bevor Sie sich entscheiden! Im Vergleich zu dem Angebot, eine ganze Million bar auf die Tatze zu bekommen, sieht natürlich die zweite Möglichkeit auf den ersten Blick kümmerlich aus: Nach vier Tagen haben Sie insgesamt gerade mal 2 + 4 + 8 + 16 = 30 Euro in der Hand, und auch wenn Sie eine Woche warten, nennen Sie nur 2+4+8+16+32+64+128 = 254 Euro Ihr eigen.

Aber keine Angst, es wird besser! Um das zu untermauern, überlege ich jetzt erst mal in Ruhe, wie man den Auszahlungsbetrag an einem beliebigen Tag des Monats berechnen kann. Am ersten Tag sollten es 2 Euro sein, am zweiten das Doppelte, also 2 · 2 = 4, am Tag darauf wiederum das Doppelte des Vortags, also 2 · 2 · 2 = 8, tags darauf dann 2 · 2 · 2 · 2 = 16 usw. Erinnert Sie das an etwas? Genau um diese lästige Schreibweise der vielen Multiplikationspünktchen loszuwerden, wurde im ersten Kapitel die Potenzschreibweise eingeführt. Mit deren Hilfe kann ich nun ganz einfach formulieren: Die Auszahlung am n-ten Tag beträgt 2n Euro. Berechnen Sie hiermit die Auszahlung am fünfzehnten Tag, also zur Mitte des Monats, so erhalten Sie immerhin schon 215 = 32.768 Euro. Auch noch nicht sehr beeindruckend? Nun ja, dann wagen wir jetzt gleich mal den Sprung ans Monatsende: Am dreißigsten Tag erhalten Sie 

                                                    230 = 1.037.741.824 Euro,

also mehr als eine Milliarde und somit mehr als das Tausendfache der als Alternative angebotenen Million. Angesichts solcher Summen kann ich fast großzügig darauf verzichten zu erwähnen, dass Sie ja in unserem Modell an den Tagen zuvor auch schon eine ganz Menge Geld abgestaubt haben, beispielsweise am 29. Tag die Hälfte der gerade berechneten Summe, also mehr als eine halbe Milliarde Euro.

Was hier zum Tragen kommt, ist das fast unvorstellbar schnelle Anwachsen der Exponentialfunktion, in diesem Fall derjenigen zur Basis 2. Wenn Sie nun zögern, weil Sie weit und breit keine Funktion entdecken können, so liegt das wohl daran, dass ich oben die Variable mit n bezeichnet, also 2n geschrieben habe, und man n eben stets mit einer natürlichen Zahl identifiziert. In der Schreibweise f : R -> R , f(x) = 2x sieht das Ganze schon eher nach einer Funktion aus. Tatsächlich kann man hier für x jede reelle Zahl einsetzen und erhält einen vernünftigen Funktionswert.

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis6
Einleitung und Vorwort8
1 Elementare Rechenmethoden10
1.1 Grundrechenarten10
1.2 Bruchrechnung und rationale Zahlen14
1.3 Klammerrechnung22
1.4 Potenzen und Wurzeln23
1.5 Spezielle Ausdrücke und Notationen30
2 Grundlegendes über Funktionen42
2.1 Definitionsbereich, Wertevorrat und Bildmenge43
2.2 Verkettung von Funktionen Monotonie und Umkehrbarkeit47
2.3 Potenz- und Wurzelfunktionen58
2.4 Polynome und rationale Funktionen63
2.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen75
3 Gleichungen und Ungleichungen86
3.1 Lineare Gleichungen88
3.2 Quadratische Gleichungen92
3.3 Polynomgleichungen höherer Ordnung100
3.4 Wurzel- und Exponentialgleichungen107
3.5 Ungleichungen117
4 Geometrie124
4.1 Dreiecke und trigonometrische Funktionen124
4.2 Ebene geometrische Figuren151
5 Einführung in die Lineare Algebra168
5.1 Vektoren169
5.2 Matrizen184
5.3 Lineare Gleichungssysteme203
5.4 Analytische Geometrie224
6 Differenzial- und Integralrechnung238
6.1 Erste Ableitung von Funktionen und Ableitungsregeln238
6.2 Anwendungen von Ableitungen und Kurvendiskussion263
6.3 Integration von Funktionen289
7 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung312
7.1 Kombinatorik313
7.2 Relative Häufigkeit und klassische Definition der Wahrscheinlichkeit322
7.3 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit329
7.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten334
Lösungen der Übungsaufgaben338
Übungen Kapitel 1338
Übungen Kapitel 2340
Übungen Kapitel 3342
Übungen Kapitel 4343
Übungen Kapitel 5346
Übungen Kapitel 6350
Übungen Kapitel 7353
Literatur356
Stichwortverzeichnis358
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