2. Finanzmathematische Grundlagen

Das folgende Kapitel beschäftigt sich mit den wichtigsten finanzmathematischen Grundlagen die erforderlich sind, um CPPI in Kapitel 4 zu analysieren. Die wichtigsten Bausteine in diesem Kontext sind Rendite, Risiko und Performance.

2.1 Rendite

Einer der wichtigsten Begriffe im Portfoliomanagement ist die Rendite, sie stellt das Anlageergebnis in Relation zum Anlagebetrag dar.[21] Definiert ist sie als prozentuale Markwertveränderung zuzüglich der angefallenen Ausschüttungen. Für die Rendite gibt es verschiedene Definitionen.[22]

2.1.1 Diskrete Rendite

Die einfache, oder auch diskrete Rendite, wird für eine Periode berechnet. Gemessen wird die relative Veränderung.[23]

 Mit: : Diskrete Rendite zum Zeitpunkt t

 : Portfoliowert zum Zeitpunkt t

 : Portfoliowert zum Zeitpunkt 0

 : Dividende zum Zeitpunkt t

2.1.2 Stetige Rendite

Bei der stetigen Rendite wird unterstellt, dass der Betrag in unendlich kleinen Abständen verzinst und wieder angelegt wird. Ein Vorteil gegenüber der diskreten Rendite ist, dass die stetige Rendite durch einfache Kumulation der Periodenrenditen berechnet werden kann.[24] Berechnet wird die stetige Rendite mit dem natürlichen Logarithmus.[25]

 Mit: : stetige Rendite

 : natürliche Logarithmus

Auch in diesem Fall lässt sich die Rendite für das in Kapitel 2.1.1 genannte Beispiel berechnen:

Da bei der stetigen Rendite eine stetige Verzinsung unterstellt wird, ist die diskrete Rendite immer größer als die stetige Rendite. Um die stetige Rendite in die diskrete Rendite umzurechnen gilt die Formel:[26]

 Mit: e eulersche Zahl ≈ 2,718281828459045235

2.1.3 geometrische Renditeberechnung

Um für diskrete Renditen den Durchschnitt der Rendite über mehrere Perioden zu berechnen, wird der geometrische Durchschnitt verwendet. Dabei berechnet man die n-te Wurzel der multiplikativ verknüpften Renditen und subtrahiert von der Wurzel 1.[27]

 Mit: : geometrischer Durchschnitt

2.1.4 arithmetische Renditeberechnung

Für stetige Renditen kann der arithmetische Durchschnitt verwendet werden, um die durchschnittliche Rendite zu berechnen. Dies ist nötig, wenn man Renditen annualisieren will, um sie vergleichen zu können. Zur Berechnung wird folgende Formel verwendet:[28]

 Mit: : arithmetischer Durchschnitt[29]

Für das folgende Beispiel werden dieselben Zahlen wie im Kapitel 2.1.3 verwendet:

Es ist zu erkennen, dass die arithmetische Rendite größer ist als die geometrische. Dies gilt auch grundsätzlich, denn aufgrund des Verzinsungseffektes ist die geometrische Rendite immer kleiner oder gleich groß wie die arithmetische.[30] Hat man Renditen z.B. auf Tagesbasis vorliegen, so kann man sie auf Jahresbasis umrechnen, indem sie mit der Anzahl der Handelstage multipliziert.[31]

2.1.5 Nominale Rendite und reale Rendite

Renditen werden im Normallfall als nominale Renditen betrachtet. Für die Messung des wahren Wertzuwachses muss man allerdings die Inflation noch berücksichtigen. Die um die Inflation bereinigte Rendite nennt man „reale Rendite“. Diese ist definiert als:[32]

Hätte ein Investor im Jahr 2013 mit seiner Geldanlage in Höhe von 1.000€ eine Rendite von 3% erzielt, so hätte er bei einer Inflation von 1,5% nur eine reale Rendite in Höhe von:

Die reale Geldzuwachs geht von 30€ (1.000€ * 3,0%) auf 15€ (30€ - 15€) zurück.

Die Problematik, dass die reale Rendite kleiner ist als die nominale Rendite,[33] betrifft alle Anleger, jedoch ist sie für institutionelle Anleger nicht so problematisch. Denn deren Benchmark oder Wertsicherungsniveau ist im Normallfall auch nominal definiert bzw. ist nicht um die Inflation bereinigt. Aus diesem Grund wird die Inflation in dieser Arbeit nicht weiter berücksichtigt. Grundlage für alle Berechnungen dieser Arbeit ist die nominale Rendite.

2.1.6 ex post- und ex ante-Renditen

Um Portfolios zu analysieren, benötigt man Kenntnis über die erwarteten Rendite- und Risikoparameter. Für die Anleger sind diese „ex ante-Renditen“ jedoch im Vorfeld unbekannt.[34] Vor demselben Problem stand bereits Harry Markowitz 1952. Seine Lösung ist, dass die erwarteten unbekannten Renditen möglichst gut prognostiziert bzw. geschätzt werden müssen.[35]

Die historischen Renditen (ex post-Renditen) geben die in der Vergangenheit erzielten Renditen an. Eine Methode, um die in der Zukunft liegenden Renditen (ex ante-Renditen) zu schätzen, man nimmt den Mittelwert der ex post-Renditen der Stichprobe als Erwartungswert.[36] Jedoch gibt es keine Garantie, dass die ex ante-Renditen dem Durchschnitt der ex post-Renditen entsprechen. Dennoch geht man in der Finanzwirtschaft ab einem Zeitraum von 50 bis 100 Jahren von einem guten Indikator aus.[37]

Für die erwartete Rendite ist der arithmetische Durchschnitt der statistisch beste Schätzer.[38] Dies deckt sich mit der Aussage aus Kapitel 2.1.4, dass für die Renditen in dieser Arbeit der arithmetische Durchschnitt stetiger Renditen verwendet wird.

2.1.7 Verteilung von Renditen

Neben der Höhe von Renditen ist auch deren Verteilung um den Mittelwert für deren Vergleich von entscheidender Bedeutung. Oftmals wird für Renditen eine Normalverteilung unterstellt, um sie einfacher untereinander vergleichen zu können. Risikomessgrößen, wie z.B. die Volatilität, basieren auf der Annahme symmetrischer und normalverteilter Renditen.[39] Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Normalverteilung wird durch die Dichtefunktion der Normalverteilung beschrieben.[40]

 Mit: σ Standardabweichung

 π Zahl-Pi

 x Renditevariable

Als Graph hat die Dichtefunktion der Normalverteilung den Graph der Gauß’schen Glockenkurve.[41] Das folgende Beispiel zeigt die Normalverteilungsfunktion mit  und .

Abb. 1: Dichtefunktion der Standardnormalverteilung[42]

Im Fall der normalverteilten Renditen kann der Erwartungswert (Moment erster Ordnung) und die Varianz (Moment zweiter Ordnung) zur vollständigen Verteilungsbeschreibung herangezogen werden.[43] Diese Arbeit beschäftigt sich allerdings mit einer Absicherungsstrategie, welche ein asymmetrisches Renditeprofil erzeugen will. In diesem Fall kann von Normalverteilung nicht die Rede sein. Ist eine Normalverteilung nicht gegeben, so müssen höhere Momente der Verteilung ermittelt werden. Dazu zählen Schiefe und Wölbung.[44]

Ein Maß für die Asymmetrie einer Verteilung ist die Schiefe (=skewness) als drittes zentrales Moment der Verteilung. Die Schiefe zeigt die mögliche Abweichung der Rendite von ihrem Mittelwert.[45]

 Mit: : Schiefe

N: Anzahl der Renditen gesamt

Positive Werte der Schiefe bedeuten, dass eine rechtsschiefe Verteilung vorliegt. Negative Werte bedeuten eine linksschiefe Verteilung. Ein risikoaverser Investor bevorzugt eine rechtsschiefe Verteilung. Bei linksschiefen Verteilungen besteht die Gefahr von hohen, negativen Extremwerte.[46] Die folgenden Schaubilder verdeutlichen die Verteilung im Vergleich zur Normalverteilung.

Abb. 2: Schiefe einer Verteilung[47]

Das vierte zentrale Moment der Ordnung ist die Wölbung (=Kurtosis). Mit ihr wird die Wahrscheinlichkeit von Extremwerten gemessen. Diese stehen für extreme Gewinne und für extreme Verluste. Bei einer Wölbung mit einem Wert größer als drei existieren diese „fat tails“. Geht man von einer Normalverteilung aus, so...