Vorwort | 6 |
Inhaltsverzeichnis | 8 |
1 Die Zahl Eins | 13 |
Geschnittene Origamis | 14 |
Die Fibonacci-Zahlenfolge und der Goldene Schnitt | 14 |
Die eindeutige Darstellung von Zahlen | 17 |
Zur Faktorzerlegung von Knoten | 18 |
Abzählbare Mengen und die Stern-Brocot-Folge | 20 |
Fraktale | 22 |
Gilbreaths Vermutung | 25 |
Das Benford'sche Gesetz | 26 |
Der Fixpunktsatz von Brouwer | 28 |
Inverse Probleme | 29 |
Perfekte Quadrate | 30 |
Der Satz von Bohr-Mollerup | 31 |
Die Sätze von Picard | 33 |
2 Die Zahl Zwei | 35 |
Der Jordan'sche Kurvensatz und Paritätsargumente | 35 |
Das Seitenverhältnis | 37 |
Wie symmetrisch sind Sie? | 38 |
Der Satz des Pythagoras | 39 |
Beatty-Folgen | 42 |
Die Euler'sche Formel | 43 |
Bedeutende Probleme | 44 |
Die Goldbach'sche Vermutung | 45 |
Gequetschte Primzahlen | 46 |
Die Primzahlzwillings-Vermutung | 46 |
Primzahlen in schnellerer Abfolge | 48 |
Der Satz von Stone-Tukey | 48 |
Potenzmengen und Zweierpotenzen | 50 |
Der Satz von Sylvester-Gallai | 53 |
Formeln für ? | 53 |
Die Multiplikation | 55 |
Die Thue-Morse-Folge | 55 |
Dualität | 58 |
Apollonische Kreispackungen | 61 |
Vollkommene Zahlen und Mersenne-Primzahlen | 63 |
Die pythagoreische Stimmung und die Wurzel aus 2 | 64 |
Reziprok quadratische Abstandsgesetze | 67 |
Die Ungleichheit von arithmetischem und geometrischem Mittel | 68 |
Positive Polynome | 69 |
Das Newton-Verfahren zum Ermitteln von Nullstellen | 71 |
Mehr zur Division mittels Multiplikation | 73 |
Der Reiz von ?2/6 | 74 |
Die Jacobi-Vermutungen | 77 |
3 Die Zahl Drei | 80 |
Das (3x+1)-Problem | 80 |
Dreieckzahlen und bulgarisches Solitär | 82 |
Schere, Stein, Papier und die Borromäischen Ringe | 84 |
Zufallsbewegungen | 86 |
Die Dreiteilung von Winkeln | 88 |
Das Drei-Körper-Problem | 89 |
Der Lorenz-Attraktor und das Chaos | 91 |
Die Periode 3 bedeutet Chaos | 94 |
Muster bei den Sternen | 96 |
Der Große Fermat'sche Satz | 97 |
Reste gefällig? | 100 |
Ägyptische Brüche | 101 |
Arrows Unmöglichkeitstheorem | 104 |
Kartierungsoberflächen | 106 |
Aufsicht in einer Galerie | 107 |
Die Poincaré-Vermutung | 108 |
Monges Drei-Kreise-Problem | 110 |
Der Satz von Marden | 112 |
Das Reuleaux-Dreieck | 114 |
Der dritte kritische Punkt | 116 |
Summen dritter Potenzen | 118 |
Näherungen für Zerfallsgesetze | 120 |
4 Die Zahl Vier | 121 |
Der Vier-Farben-Satz | 122 |
Der Tennisballsatz | 124 |
Identitäten von Summen von Quadraten | 125 |
Vier-Teile-Puzzle | 126 |
Ducci-Folgen | 127 |
Die Euler'sche Potenzsummenvermutung | 130 |
Villarceau-Kreise | 131 |
Das Problem einbeschriebener Quadrate | 133 |
Regelmäßige Vielecke auf dem Computerbildschirm | 135 |
Das Problem der vier Reisenden | 136 |
Die Vermutung über die vier Exponenten | 138 |
Sehnenvierecke | 140 |
Das Huträtsel | 142 |
5 Die Zahl Fünf | 143 |
Der Fünf-Kreise-Satz von Miquel | 143 |
Die platonischen Körper | 144 |
Zur Lösung von Polynomgleichungen | 145 |
Die Diophantische Approximation | 148 |
Der Petersen-Graph | 149 |
Das Happy-End-Problem | 151 |
Parkettierungen | 152 |
Von Kugeln und Würsten | 155 |
Rösselsprung auf rechteckigen Spielbrettern | 156 |
Ein Zauberkunststück mit fünf Karten | 158 |
Von Fußbällen und Kuppeln | 160 |
Endlose Rekursion | 161 |
Die Rogers-Ramanujan-Identitäten | 162 |
6 Die Zahl Sechs | 167 |
Die optimale Packung | 167 |
Von Bekannten und Fremden | 171 |
Das Kleine-Welt-Phänomen | 172 |
Ein Collier aus Kugeloberflächen | 174 |
Sechsecke im Pascal'schen Dreieck | 175 |
Das Brettspiel Hex | 176 |
Die Wendt-Determinante | 178 |
Sechs Längen in der Geometrie | 179 |
Der Satz von Ceva | 179 |
Der Satz von Menelaos | 179 |
Der Satz von Haruki | 180 |
7 Die Zahl Sieben | 181 |
Der Sieben-Kreise-Satz | 181 |
Die Nachkommastellen von 1/7 und Ellipsen | 182 |
Die Strassen'sche Matrizenmultiplikation | 184 |
Die Fano-Ebene | 186 |
Friesmuster | 189 |
Das Szilassi-Polyeder und der Heawood-Graph | 189 |
Kuratowskis Abschluss-Komplement-Satz | 191 |
Hört man die Form einer Trommel? | 193 |
Barker-Codes | 196 |
Mathematische Spielereien | 198 |
Experimente mit Integralen | 199 |
8 Die Zahl Acht | 202 |
Das Pizzatheorem | 202 |
Wie man Karten mischt | 203 |
Das Spiel des Lebens | 204 |
Wiederholungen im Pascal'schen Dreieck | 207 |
Der Sierpi?ski-Teppich | 208 |
Quaternionen und Oktonionen | 209 |
Der E8-Gipfel | 213 |
9 Die Zahl Neun | 216 |
Neun Punkte und Kollinearität | 217 |
Die Neunerprobe | 218 |
Primzahlen und Neunen | 219 |
Ungerade vollkommene Zahlen | 219 |
Primzahlzwillinge | 220 |
Nahegelegene Primzahlen | 220 |
Der 15-Satz | 220 |
Wie man Kreise mit zwei Größen packt | 222 |
Die Catalan'sche Vermutung | 223 |
Die Heegner-Zahlen | 224 |
10 Lösungen | 227 |
Vier-Teile-Puzzle (4. Kapitel) | 227 |
Das Huträtsel (4. Kapitel) | 227 |
Kuratowskis Abschluss-Komplement-Satz (7. Kapitel) | 228 |
Mathematische Spielereien (7. Kapitel) | 228 |
Literatur | 229 |
Sachverzeichnis | 233 |