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Finite Elemente in der Baustatik

Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

AutorHorst Werkle
VerlagVieweg+Teubner (GWV)
Erscheinungsjahr2008
Seitenanzahl601 Seiten
ISBN9783834894472
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis40,00 EUR
Die Finite Element Methode ist heute ein Standardverfahren zur Berechnung von Stab- und Flächentragwerken im konstruktiven Ingenieurbau mit Hilfe des Computers. Ihre sachgemäße Anwendung erfordert das Verständnis der Grundlagen der Methode sowie gute Kenntnisse in der Modellierung des Tragwerks. Dieses Buch will beides vermitteln. Der didaktisch sehr gute Aufbau des Buches, unterstützt durch viele aussagefähige Beispiele, macht das Erlernen und Anwenden der Finite Element Methode einfach möglich.

Die 3. Auflage wurde aktualisiert und um das Kapitel der nichtlinearen Finite-Element-Berechnungen erweitert. Neu ist auch die Behandlung der Wölbkrafttorsion. Wesentlich erweitert wurde das wichtige Kapitel zur Modellbildung von Tragwerken.

Prof. Dr.-Ing. Horst Werkle lehrt Baustatik an der Hochschule Konstanz.

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Leseprobe
3 Finite-Element-Methode für Stabwerke (S. 87-88)

3.1 Überblick

3.1.1 Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren


Die Berechnung statisch unbestimmter Systeme in der Baustatik führt im Allgemeinen auf ein lineares algebraisches Gleichungssystem. Ausnahmen bilden Untersuchungen, bei denen geometrische oder materialbedingte Nichtlinearitäten von Bedeutung sind. Sind die Unbekannten dieses Gleichungssystems Kräfte und Momente, so spricht man vom Kraftgrößenverfahren, sind es Verschiebungen und Verdrehungen, vom Verschiebungsgrößenverfahren. Sowohl das Kraftgrößenverfahren als auch das Verschiebungsgrößenverfahren können in Matrizenschreibweise formuliert und somit in einer für die Computerberechnung geeigneten Form angeschrieben werden [3.1]-[3.6].

Jedoch ist das Verschiebungsgrößenverfahren übersichtlicher und leichter schematisierbar als das Kraftgrößenverfahren und damit besser zur Programmierung geeignet. Daher beruhen fast alle in der Praxis angewandten Programmsysteme für baustatische Berechnungen auf dem Verschiebungsgrößenverfahren. Dieses wird im Folgenden ausschließlich behandelt. In der Literatur wird das Verschiebungsgrößenverfahren auch als Weggrößenverfahren, Formänderungsgrößenverfahren oder Deformationsverfahren bezeichnet. Die Formulierung des Verschiebungsgrößenverfahrens in Matrizenschreibweise wird auch bei Stabwerken meist als „Finite-Element-Methode" bezeichnet.

Diese Bezeichnung wird im Folgenden übernommen, da Stabwerke lediglich einen Spezialfall der allgemeineren Anwendung auf Flächentragwerke und dreidimensionale Kontinua darstellen. Der Grundgedanke der Methode der Finiten Elemente besteht darin, das zu berechnende Tragwerk in eine größere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zu zerlegen und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und der statischen Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammenzufügen. Da hierbei auch unterschiedliche Tragwerkselemente, wie z. B. Elemente zur Abbildung von Stäben, Scheiben, Platten sowie dreidimensionalen Kontinuen, in demselben Berechnungsmodell verwendet werden können, ist die Methode äußerst vielseitig und leistungsfähig.

3.1.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite

Elemente Zur Berechnung nach der Methode der Finiten Elemente diskretisiert man das Tragwerk in einzelne sogenannte Finite Elemente. Diese sind an Knotenpunkten miteinander verbunden. An den Knotenpunkten werden Verschiebungsgrößen (Verschiebungen und Verdrehungen) sowie - als äußere Belastung des Systems - Kraftgrößen (Kräfte und Momente) definiert. Diese sind auf das globale Koordinatensystem bezogen, für das in der Regel kartesische Koordinaten verwendet werden. Verschiebungen oder Verdrehungen eines Knotenpunkts in globalen Koordinaten werden ganz allgemein auch als globale Freiheitsgrade bezeichnet.

Welche Freiheitsgrade einem Knotenpunkt zugeordnet werden, hängt von der Art des Tragwerks ab. Im allgemeinen räumlichen Fall sind sechs Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen in x-, y- und z-Richtung sowie die Verdrehungen um die x-, y- und z-Achse möglich. Bei ebenen Systemen und speziellen Tragwerksformen verringert sich die Anzahl der zu berücksichtigenden Freiheitsgrade, beispielsweise bei einer Platte in der x-y-Ebene auf drei Freiheitsgrade je Knotenpunkt, nämlich die Verschiebung in z-Richtung sowie die Verdrehungen um die x- und y-Achse (Bild 3-3). Die Definition von auf den Knotenpunkt bezogenen Kräften und Momenten, z. B. für Einzellasten, entspricht der Vorzeichendefinition der zugehörigen Verschiebungsfreiheitsgrade.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur 1. Auflage6
Vorwort zur zweiten Auflage7
Vorwort zur dritten Auflage8
Inhaltsverzeichnis10
1 Matrizenrechnung15
1.1 Matrizen und Vektoren15
1.2 Matrizenalgebra17
1.2.1 Addition und Subtraktion17
1.2.2 Multiplikation18
1.2.3 Matrizeninversion20
1.3 Gleichungssysteme21
1.3.1 Inhomogene und homogene Gleichungssysteme21
1.3.2 Existenz von Lösungen22
1.3.3 Lösungsverfahren23
1.3.4 Normen und Konditionszahl32
1.4 Eigenwertprobleme33
1.4.1 Allgemeines Eigenwertproblem33
1.4.2 Numerische Lösungsverfahren für Eigenwertprobleme39
1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme51
1.5.1 Einführung51
1.5.2 Sekantenverfahren53
1.5.3 Newton-Raphson-Verfahren55
1.5.4 Quasi-Newton-Verfahren64
1.5.5 Kurvenverfolgungsverfahren68
1.5.6 Konvergenzkriterien74
1.5.7 Steuerungsstrategien76
2 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie79
2.1 Tragwerkstypen und Grundgleichungen79
2.2 Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe80
2.3 Grundgleichungen von Biegebalken und Platte89
2.4 Räumliche Tragwerke97
3 Finite-Element-Methode für Stabwerke101
3.1 Überblick101
3.1.1 Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren101
3.1.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite Elemente101
3.1.3 Berechnungsverfahren103
3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke105
3.2.1 Statisches System105
3.2.2 Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs106
3.2.3 Koordinatentransformation108
3.2.4 Systemsteifigkeitsmatrix114
3.2.5 Auflagerbedingungen121
3.2.6 Lösung des Gleichungssystems124
3.2.7 Auflagerkräfte und Elementspannungen125
3.3 Federn128
3.4 Biegebalken129
3.4.1 Elementsteifigkeitsmatrix und Spannungsmatrix129
3.4.2 Elementlasten132
3.4.3 Erweiterung der Steifigkeitsmatrix für Normalkräfte und zur138
Berücksichtigung der Schubsteifigkeit138
3.4.4 Koordinatentransformation139
3.4.5 Gelenke141
3.5 Zusammengesetzte Stabwerke144
3.6 Räumliche Stabwerke147
3.6.1 Allgemeines147
3.6.2 Biegebalken148
3.6.3 Biegebalken mit Wölbkrafttorsion151
3.7 Modellbildung bei Stabwerken157
3.7.1 Auflager157
3.7.2 Federn159
3.7.3 Biegebalken162
3.7.4 Symmetrische Systeme168
3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen171
3.8.1 Fehlermöglichkeiten bei Stabwerksberechnungen171
3.8.2 Kontrollen von Stabwerksberechnungen175
4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke181
4.1 Historische Entwicklung181
4.2 Überblick181
4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode183
4.3.1 Eindimensionales Erläuterungsbeispiel183
4.3.2 Analytische Lösung184
4.3.3 FEM-Näherungslösung mit linearem Verschiebungsansatz187
4.3.4 FEM-Näherungslösung mit quadratischem Verschiebungsansatz194
4.3.5 Eigenschaften der FEM-Näherungslösung202
4.4 Rechteckelement für Scheiben203
4.4.1 Ansatzfunktionen203
4.4.2 Verzerrungen und Spannungen206
4.4.3 Steifigkeitsmatrix208
4.4.4 Elementlasten211
4.4.5 Beispiele214
4.5 Finite Elemente für Scheiben220
4.5.1 Eigenschaften von Finiten Elementen220
4.5.2 Elemente mit stetigen Verschiebungsansätzen226
4.5.3 Nichtkonforme Elemente234
4.5.4 Hybride Elemente235
4.6 Rechteckelement für Platten243
4.6.1 Elementtyp243
4.6.2 Ansatzfunktionen243
4.6.3 Verzerrungsgrößen und Schnittgrößen245
4.6.4 Steifigkeitsmatrix247
4.6.5 Elementlasten249
4.7 Finite Elemente für Platten251
4.7.1 Schubweiche Plattenelemente mit Verschiebungsansatz251
4.7.2 Schubstarre Plattenelemente mit Verschiebungsansatz252
4.7.3 Hybride Plattenelemente257
4.7.4 Beispiel258
4.8 Finite Elemente für Schalen261
4.8.1 Ebene Schalenelemente261
4.8.2 Gekrümmte Schalenelemente als modifizierte Volumenelemente264
4.8.3 Rotationssymmetrische Schalenelemente264
4.9 Volumenelemente268
4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten269
4.10.1 Allgemeines269
4.10.2 EST-Element zur Verbindung von Stäben und Stützen mit Scheiben271
4.10.3 EST-Element zur Verbindung von Stützen mit Plattentragwerken284
4.10.4 Weitere Elementübergänge292
4.11 Modellbildung von Bauteilen293
4.11.1 Tragwerksmodelle293
4.11.2 Singularitäten von Zustandsgrößen294
4.11.3 Elementwahl und Netzbildung297
4.11.4 Modellbildung bei Scheiben307
4.11.5 Modellbildung bei Platten327
4.11.6 Modellbildung bei Faltwerken, Schalen und allgemeinen 3D-Systemen359
4.11.7 Ergebnisinterpretation364
4.12 Qualitätssicherung und Dokumentation von Finite-Element368
Berechnungen368
4.12.1 Fehlerabschätzung und adaptive Netzverdichtung368
4.12.2 Kontrollen bei Flächentragwerken371
4.12.3 Dokumentation der Finite-Element-Berechnung373
5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke375
5.1 Einleitung375
5.2 Grundbegriffe der Dynamik375
5.2.1 Kinematik375
5.2.2 Massenkräfte376
5.2.3 Dämpfungskräfte383
5.3 Bewegungsgleichungen385
5.4 Freie Schwingungen389
5.4.1 Ungedämpfte Schwingungen389
5.4.2 Gedämpfte Schwingungen396
5.5 Schwingungen infolge harmonischer Erregung399
5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung405
5.6.1 Direkte numerische Integration405
5.6.2 Modalanalyse411
5.6.3 Fourier-Transformation420
5.7 Erdbebenberechnung429
5.7.1 Allgemeines429
5.7.2 Zeitverlaufsberechnungen430
5.7.3 Antwortspektrenverfahren436
5.8 Modellbildung451
5.8.1 Tragwerks- und Finite-Element-Modell451
5.8.2 Modellbildung von Gebäuden und Boden-Bauwerk-Wechselwirkung456
5.8.3 Modellierung der Dämpfung464
5.8.4 Modellierung der Massen468
5.8.5 Diskretisierung im Zeit- und Frequenzbereich470
5.8.6 Dynamisches Modell und physikalische Wirklichkeit475
6 Nichtlineare Finite-Element-Methode481
6.1 Einleitung481
6.2 Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme484
6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente491
6.3.1 Einleitung491
6.3.2 Fachwerkstab nach Theorie III. Ordnung491
6.3.3 Fachwerkstab nach Theorie II. Ordnung497
6.3.4 Biegebalken nach Theorie II. Ordnung503
6.3.5 Plattenelement nach Theorie II. Ordnung517
6.3.6 Finite Elemente mit großen Verschiebungen522
6.4 Nichtlineare Materialgesetze531
6.4.1 Allgemeines531
6.4.2 Eindimensionale Materialgesetze für Stahl, Beton und Stahlbeton533
6.4.3 Mehrdimensionale Materialgesetze nach der Plastizitätstheorie537
6.4.4 Zweidimensionale Materialgesetze für Stahl, Beton und Stahlbeton541
6.4.5 Elemente mit materieller Nichtlinearität549
6.5 Modellbildung554
6.5.1 Stabtragwerke554
6.5.2 Flächentragwerke554
6.6 Nichtlineare Berechnungen in der Baustatik562
7 Softwaretechnische Aspekte von Finite- Element- Programmen565
7.1 Programmaufbau und Benutzeroberflächen565
7.2 Netzgenerierung570
7.3 Rechnerinterne Behandlung von Gleichungssystemen574
7.4 Integration in die computerunterstützte Tragwerksplanung581
Literatur583
Internet-Adressen603
Die Homepage zum Buch604
Finite-Element-Software604
Warenzeichen604
Sachwortverzeichnis605

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