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Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen

Jubiläumsband des Arbeitskreises Geometrie in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik

VerlagSpringer Spektrum
Erscheinungsjahr2015
Seitenanzahl216 Seiten
ISBN9783658068356
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis46,99 EUR

Mathematische Grundvorstellungen sind im Bereich der Arithmetik und Algebra umfassend bearbeitet worden, für die Geometrie gilt dies bislang nicht. Dieser Band beleuchtet erste wesentliche Schritte in diese Richtung und versucht die fehlenden Konzepte der Grundvorstellungen in der Geometriedidaktik aufzuarbeiten. In engem Zusammenhang mit Grundvorstellungen stehen Begriffsbildungen, denen ein hoher Stellenwert im Geometrieunterricht zukommt. Das Buch enthält die ausformulierten Vorträge der 30. Herbsttagung 2013 des Arbeitskreis Geometrie in der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (GDM).



Prof. Dr. Matthias Ludwig, Professor für Didaktik der Mathematik an der Goethe-Universität Frankfurt

Prof. Dr. Andreas Filler, Professor für Didaktik der Mathematik an der Humboldt-Universität zu Berlin

Prof. Dr. Anselm Lambert, Professor für Mathematik und ihre Didaktik an der Universität des Saarlandes

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Blick ins Buch
Inhaltsverzeichnis
Editorial5
Inhaltsverzeichnis9
1 Grundbegriffe, Grundvorstellungen und Nutzungen der Geometrie12
1.1 Grundbegriffe der Geometrie12
1.2 Grundvorstellungen zur Geometrie14
1.3 Nutzung von Geometrie15
1.4 (Individueller) Sinn der Geometrie17
1.5 Zum Curriculum Geometrie19
1.6 Rückblick19
1.7 Literatur20
2 Grundvorstellungen zur Schulgeometrie23
„Situated Cognition“ in der Geometriedidaktik23
2.1 Grundvorstellungen – eine robuste didaktische Kategorie23
2.2 Situated Cognition – eine analytische Perspektive26
2.3 Grundvorstellungen zur Schulgeometrie27
G1: Geometrie als Schule des rechten Sehens27
G2: Geometrie als Schule des verständigen Denkens29
G3: Geometrie als Schule des regelgeleiteten Gehorsams30
G4: Geometrie als Schule der technischen Naturbeherrschung32
G5: Geometrie als Schule der Ästhetik33
2.4 Schulgeometrie im 21. Jahrhundert?34
2.5 Literatur37
3 Winkel in der Sekundarstufe I – Schülervorstellungen erforschen39
3.1 Einleitung39
3.2 Winkel – ein aspektreicher Begriff40
3.2.1 Schulbuchanalyse – Darstellungen und Repräsentationen zum Winkel42
3.2.2 Untersuchung zu Winkelvorstellungen von Fünft- und Zehntklässlern45
3.3 Begriffsbildung zum Winkel47
3.3.1 Untersuchung zu Schülervorstellungen zur Winkelgröße 1°49
3.4 Fazit51
3.5 Literatur51
3.5.1 Schulbücher52
4 Geometrische Darstellungen als Vorstellungsgrundlage für algebraische Operationen am Beispiel der negativen Zahlen53
4.1 Einleitung53
4.2 Primäre und sekundäre Grundvorstellungen54
4.3 Rationale Zahlen56
4.3.1 Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden57
4.3.2 Addition57
4.3.3 Subtraktion als Addition der Gegenzahl58
4.3.4 Multiplikation58
4.4 Die Multiplikation mit (–1) als Inversion60
4.4.1 Symmetrien bei Funktionen60
4.4.2 Sinus- und Cosinus am Einheitskreis61
4.4.3 Zentrische Streckung63
4.5 Zusammenfassung und Ausblick64
4.6 Literatur65
5 Baustrategien von Vor- und Grundschulkindern: Zur Artikulation räumlicher Vorstellungen in konstruktiven Arbeitsumgebungen66
5.1 Einleitung66
5.2 Unangeleitetes und angeleitetes Konstruieren konkreter Bauwerke68
5.3 Räumliche Fähigkeiten und der Erwerb arithmetischer Konzepte im Grundschulalter69
5.3.1 Komponenten räumlicher Fähigkeiten69
5.3.2 Räumliche Fähigkeiten im Arithmetikunterricht der Grundschule70
5.4 „Ziele und Visionen 2020“: Intentionen des Projekts (Y)CUBES72
5.5 Einblicke in erste Ergebnisse aus dem Projekt (Y)CUBES74
5.5.1 Ein Modell zur Charakterisierung von Baustrategien74
5.5.2 Validierung und Erweiterung des Modells durch Teilstudien im Projekt (Y)CUBES76
5.6 Ausblick79
5.7 Literatur80
6 Grundvorstellungsumbrüche beim Übergang zur 3D-Geometrie84
6.1 Einleitung84
6.1.1 Grundvorstellungen85
6.2 Identifizierte Probleme beim Arbeiten in 3D-DGS85
6.2.1 Die Kreiskonstruktion86
6.2.2 Die Lotgeradenkonstruktion91
6.3 Diskussion und Ausblick93
6.4 Literatur94
7 Leitideen des Raumgeometrieunterrichts96
Geometrieunterricht und Allgemeinbildung – ein Diskussionsbeitrag96
7.1 Einleitung96
7.2 Raumgeometrieunterricht (in Österreich)97
7.3 Wozu (be)treiben wir Geometrie? Drei Gründe98
7.3.1 Reflektiertes Entscheiden des Individuums und des Kollektivs98
7.3.2 Kommunikation100
7.3.3 Erkenntnisbeitrag102
7.4 Schlüsselaktivitäten und Leitideen104
7.4.1 Idee der Rekonstruktion (des Raumes aus ebenen Bildern) – das Lesen106
7.4.2 Idee der Projektion – das Schreiben108
7.4.3 Idee der Koordinatisierung/Messung – das Normieren109
7.4.4 Idee der Abstraktion – der geometrische Formenschatz110
7.4.5 Idee der Dynamik – neue Formen erzeugen112
7.5 Basisaktivitäten und Formenschatz der Zukunft?113
7.6 Literatur114
8 Begriffe im Geometrieunterricht der ‚Hauptschule‘115
8.1 ‚Hauptschule‘115
8.1.1 Kurzer Überblick über die Vorgeschichte: Die Entwicklung der Volksschule zur Hauptschule115
8.1.2 Heutige Situation120
8.2 Begriffsentwicklung in Raumlehre und Geometrieunterricht121
8.2.1 Kriterienorientierte Klassifikation geometrischer Begriffe122
8.2.2 Begriffe in der Raumlehre122
8.2.3 Begriffe im Geometrieunterricht129
8.3 Aktuelle Diskussion131
8.3.1 Bildungsstandards und Mindestkompetenzen131
8.4 Literatur134
9 Begriffsbilder und -konventionen in Begriffsfeldern: Was ist ein Würfel?136
9.1 Einleitung136
9.2 Begriffe, Bezeichner und Objekte137
9.3 Mehrdeutigkeiten im semiotischen Dreieck – der Würfel138
9.4 Mehrdeutigkeiten im semiotischen Dreieck – allgemein142
9.5 Begriffe deskriptiv betrachtet – der Würfel144
9.6 Begriffe deskriptiv betrachtet – allgemein154
9.7 Begriffe normativ betrachtet – allgemein157
9.8 Fazit159
9.9 Literatur160
10 Das Haus der Vierecke aus der Sicht des Heidelberger Winkelkreuzes162
10.1 Die Entwicklung des Heidelberger Winkelkreuzes162
10.1.1 Modelle von Vierecken mit dem Heidelberger Winkelkreuz spannen162
10.1.2 Die Entstehung des HWK163
10.2 Das Heidelberger Winkelkreuz aus mathematischer Sicht169
10.2.1 Halbdiskrete Polarkoordinaten169
10.2.2 Beschreibung von Vierecken mit dem HWK170
10.2.3 HWK-Vierecke, kombinatorische Gleichwertigkeit und Kongruenz171
10.3 Das Haus der Vierecke aus der Sicht des HWK174
10.3.1 Quadrate174
10.3.2 Rechtecke175
10.3.3 Parallelogramme175
10.3.4 Symmetrische Trapeze176
10.3.5 Trapeze176
10.3.6 Allgemeines (konvexes) Viereck177
10.3.7 Drachen178
10.3.8 Noch einmal: Rauten178
10.3.9 Noch einmal: Quadrate178
10.3.10 Zusammenfassung178
10.3.11 Gemeine Wagenhebervierecke179
10.4 Das Haus der HWK-Vierecke179
10.4.1 Alle verwendeten Stifte haben verschiedene Farbwerte180
10.4.2 Genau zwei der verwendeten Stifte sind gleichfarbig180
10.4.3 Zwei Paare gleichfarbiger Stifte180
10.4.4 Genau drei der verwendeten Stifte sind gleichfarbig181
10.4.5 Alle vier der verwendeten Stifte sind gleichfarbig181
10.5 Einsatz des HWK in der Schule181
10.5.1 Klassensätze und Lehrerexemplar181
10.5.2 Einsatzbeispiel für das HWK: Umstrukturierung und Vertiefung des Wissen zu Parallelogrammen182
10.6 Literatur184
11 Achsensymmetrie: Vom Spielen zum Formalisieren185
Eine Vorstellung von Dienes’ Ansatz185
11.1 Einleitung185
11.2 Stufen im Lernprozess187
11.2.1 Stufe 1: Freies Spiel187
11.2.2 Stufe 2: Spiel nach Regeln189
11.2.3 Stufe 3: Vergleich der Spiele190
11.2.4 Stufe 4: Darstellung der Abstraktion192
11.2.5 Stufe 5: Symbolisierung193
11.2.6 Stufe 6: Formalisieren195
11.3 Literatur197
12 Maßstab 1:1 – Geometrie für Geomatiker198
12.1 Längen oder Winkel?198
12.1.1 Die Mutter aller Karten198
12.1.2 Parameterdarstellung der Kugel199
12.1.3 Plattkarte im Hochformat200
12.2 Immer gerade aus203
12.2.1 Geodätische Linien203
12.2.2 Großkreise statt Geraden203
12.2.3 Großkreis auf der Plattkarte204
12.2.4 Großkreise als Geraden auf der Karte?205
12.2.5 Gnomonische Projektion205
12.3 Maßstab eins zu eins207
12.4 Das Theorema egregium209
12.5 Flächentreu und winkeltreu210
12.5.1 Flächentreue Karten210
12.6 Winkeltreue Karten213
12.6.1 Gerhard Mercator213
12.6.2 Loxodromen214
12.6.3 Die schöne Kugel215
12.7 Literatur216
12.7.1 Websites216

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