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E-Book

Graphentheorie

Eine anwendungsorientierte Einführung

AutorPeter Tittmann
VerlagCarl Hanser Fachbuchverlag
Erscheinungsjahr2011
Seitenanzahl166 Seiten
ISBN9783446428539
FormatPDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis11,99 EUR
Prof. Tittmann hält Vorlesungen zur Mathematik für Ingenieur- und Informatikstudenten an der Hochschule Mittweida.Dieses Buch liefert eine Einführung in die Graphentheorie - ein Lehrgebiet, das heute nicht nur in der Mathematikausbildung eine große Rolle spielt. Die vielfältigen Anwendungen der Graphentheorie erlangten auch für Informatiker, Wirtschaftler, Chemiker und Ingenieure eine große Bedeutung.

Die ersten acht Kapitel dieses Buches behandeln die Grundlagen der Theorie ungerichteter Graphen. Nach einer Einführung in den Sprachgebrauch der Graphentheorie im ersten Kapitel sind planare Graphen, Unabhängigkeit, Färbungsprobleme, der Zusammenhang von Graphen sowie Bäume und Kreise weitere Schwerpunkte. Das letzte Kapitel befasst sich mit dem Thema gerichtete Graphen.

Die hier vorliegende Einführung in die Graphentheorie entstand aus einer Vorlesungsreihe zur Graphentheorie für Studierende der Computertechnologie und der Angewandten Mathematik an der Hochschule Mittweida.leicht verständliche Einführung in das Thema
Zahlreiche Beispiele und Aufgaben
Hervorragend zum Selbststudium geeignetMathematikDieses Buch liefert eine Einführung in die Graphentheorie - ein Lehrgebiet, das heute nicht nur in der Mathematikausbildung eine große Rolle spielt. Die vielfältigen Anwendungen der Graphentheorie erlangten auch für Informatiker, Wirtschaftler, Chemiker und Ingenieure eine große Bedeutung.

Die ersten acht Kapitel dieses Buches behandeln die Grundlagen der Theorie ungerichteter Graphen. Nach einer Einführung in den Sprachgebrauch der Graphentheorie im ersten Kapitel sind planare Graphen, Unabhängigkeit, Färbungsprobleme, der Zusammenhang von Graphen sowie Bäume und Kreise weitere Schwerpunkte. Das letzte Kapitel befasst sich mit dem Thema gerichtete Graphen.

Die hier vorliegende Einführung in die Graphentheorie entstand aus einer Vorlesungsreihe zur Graphentheorie für Studierende der Computertechnologie und der Angewandten Mathematik an der Hochschule Mittweida.- Graphen
- Graphen und Matrizen
- Planare Graphen
- Unabhängige Knoten- und Kantenmengen
- Färbungen von Graphen
- Der Zusammenhang von Graphen
- Bäume
- Kreise
- Gerichtete Graphen

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Inhaltsverzeichnis
Vorwort6
Inhaltsverzeichnis8
1 Graphen12
1.1 Definitionen13
1.1.1 Knotengrade14
1.1.2 Wege und Kreise16
1.1.3 Zusammenhang16
1.2 Operationen mit Graphen17
1.2.1 Entfernen von Knoten und Kanten17
1.2.2 Fusion und Kontraktion18
1.2.3 Brücken und Artikulationen19
1.2.4 Operationen mit Graphen19
1.3 Spezielle Graphen21
1.3.1 Der vollständige Graph21
1.3.2 Weg und Kreis22
1.3.3 Bäume22
1.3.4 Bipartite Graphen24
1.3.5 Reguläre Graphen25
1.4 Isomorphe Graphen26
1.4.1 Isomorphie26
1.4.2 Gradfolgen27
2 Graphen und Matrizen30
2.1 Die Adjazenzmatrix eines Graphen30
2.1.1 Potenzen der Adjazenzmatrix31
2.1.2 Zerlegbare Matrizen32
2.2 Die Inzidenzmatrix33
2.2.1 Die Gradmatrix34
2.3 Abstände in Graphen34
2.3.1 Radius, Durchmesser und Zentrum35
2.3.2 Die Abstandsmatrix37
2.4 Gerüste38
2.4.1 Die Anzahl der Gerüste38
2.4.2 Die Admittanzmatrix und der Satz von Kirchhoff40
3 Planare Graphen44
3.1 Planare Einbettungen44
3.1.1 Ebene Kurven und Einbettungen44
3.1.2 Flächen eines planaren Graphen46
3.1.3 Einbettungen auf der Kugel46
3.1.4 Kreuzungszahl und Dicke47
3.2 Die Eulersche Polyederformel48
3.2.1 Polyeder48
3.2.2 Die Polyederformel für zusammenhängende Graphen49
3.2.3 Die Polyederformel für nicht zusammenhängende Graphen51
3.3 Anwendungen der Polyederformel51
3.3.1 Nichtplanare Graphen51
3.3.2 Der Satz von Kuratowski52
3.3.3 Maximale Kantenzahl planarer Graphen54
3.3.4 Knotengrade in planaren Graphen54
3.3.5 Platonische Körper55
3.4 Der duale Graph56
4 Unabhängige Knoten- und Kantenmengen60
4.1 Unabhängige Knotenmengen61
4.1.1 Die Unabhängigkeitszahl61
4.1.2 Cliquen64
4.1.3 Die Überdeckungszahl65
4.2 Matchings66
4.2.1 Alternierende Wege – der Satz von Berge67
4.2.2 Der Satz von König69
4.3 Der Kantengraph70
4.4 Faktoren72
5 Färbungen von Graphen75
5.1 Grundlagen75
5.1.1 Zulässige Färbungen75
5.1.2 Die chromatische Zahl76
5.1.3 Schranken für die chromatische Zahl77
5.2 Färbungen von planaren Graphen79
5.3 Das chromatische Polynom81
5.3.1 Der vollständige Graph82
5.3.2 Der Baum82
5.3.3 Die Dekompositionsgleichung82
5.3.4 Der Kreis84
5.3.5 Chromatisches Polynom und chromatische Zahl85
5.3.6 Partitionen der Knotenmenge86
5.4 Eine Anwendung87
6 Der Zusammenhang von Graphen92
6.1 Der Knotenzusammenhang92
6.2 Der Kantenzusammenhang95
6.2.1 Schnittmengen95
6.2.2 Schnitte96
6.2.3 Die Kantenzusammenhangszahl97
6.2.4 Knotenzusammenhang und Kantenzusammenhang97
6.3 Trennende Knotenmengen98
6.3.1 Anwendung zur Berechnung der Unabhängigkeitszahl98
6.3.2 Ein Berechnungsbeispiel99
6.3.3 Die Berechnung des chromatischen Polynoms100
6.4 Partielle k-Bäume102
6.4.1 k-Bäume102
6.4.2 Partielle k-Bäume103
6.4.3 Serien-Parallel-Graphen104
7 Bäume107
7.1 Eigenschaften von Bäumen107
7.1.1 Die Anzahl der Bäume108
7.1.2 Der Prüfercode und der Satz von Cayley109
7.1.3 Isomorphieklassen von Bäumen111
7.2 Wurzelbäume111
7.3 Binäre Bäume114
8 Kreise118
8.1 Kreise in Graphen118
8.1.1 Taille und Umfang119
8.1.2 Basiskreise120
8.2 Hamiltonkreise121
8.3 Eulerkreise124
9 Gerichtete Graphen128
9.1 Definitionen und Eigenschaften gerichteter Graphen128
9.1.1 Wege und Erreichbarkeit129
9.1.2 Zusammenhang und starker Zusammenhang129
9.1.3 Orientierungen130
9.1.4 Innen- und Außengrad131
9.1.5 Quellen und Senken132
9.1.6 Vektorräume133
9.1.7 Kozyklen134
9.1.8 Zyklen- und Kozyklenräume135
9.2 Turniere139
9.3 Flüsse in Graphen142
Lösungen147
Literaturverzeichnis159
Symbolverzeichnis161
Sachwortverzeichnis162

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