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Handbuch der Mathematikdidaktik

VerlagSpringer Spektrum
Erscheinungsjahr2015
Seitenanzahl668 Seiten
ISBN9783642351198
FormatPDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis69,99 EUR

Das Handbuch gibt einen einzigartigen Überblick über die Didaktik der Mathematik, seine Lehr- und Lerninhalte, Denk- und Unterrichtsprozesse wie auch seine Forschungsthemen und -methoden. In 24 Kapitel leiten führende Vertreter der Mathematikdidaktik den Leser durch die vielfältigen Themen Ihres Fachgebietes. Ergänzt wird es durch drei Kapitel zu 'Mathematik als Bildungsgegenstand'.  

Das Handbuch vermittelt dem Leser tiefe Einblicke in das aktuelle Wissen der Mathematikdidaktik und bietet deshalb Studierenden wie Lehrern unverzichtbare Informationen.



Prof. Dr. Regina Bruder, Technische Universität Darmstadt, Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. Lisa Hefendehl-Hebecker, Universität Duisburg - Essen, Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. Barbara Schmidt-Thieme, Universität Hildesheim, Institut für Mathematik und Angewandte Informatik

 Prof. Dr. Hans-Georg Weigand, Universität Würzburg, Didaktik der Mathematik, Fakultät für Mathematik und Informatik

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Blick ins Buch
Inhaltsverzeichnis
Vorwort5
Inhaltsverzeichnis7
Mitarbeiterverzeichnis10
Teil I12
Mathematik als Bildungsgegenstand12
Kapitel 114
Gesellschaftliche Bedeutung der Mathematik14
1.1 Grundlegende Fragen14
1.2 Mathematik als Wissenskultur20
1.3 Mathematik als Werkzeug23
1.4 Mathematik als Wissenschaft24
Literatur26
Kapitel 229
Schulmathematik und Realität – Verstehen durch Anwenden29
2.1 Mathematik und die uns umgebende Welt31
2.1.1 Mathematik entsteht aus realen Problemen31
2.1.2 Mathematikunterricht und realitätsnahe Probleme34
2.1.3 Zielsetzungen eines realitätsnahen Mathematikunterrichts35
2.2 Modelle: Brücken zwischen „Mathematik und dem Rest der Welt“40
2.2.1 „Mathematik und der Rest der Welt“40
2.2.2 Was sind „Modelle“?42
2.2.3 Typen von Modellen44
2.3 Realitätsnaher Mathematikunterricht47
2.3.1 Problemzonen des Mathematikunterrichts47
2.3.2 Möglichkeiten und Grenzen eines realitätsnahen Mathematikunterrichts49
2.3.3 Horizontale und vertikale Vernetzung52
2.4 Realitätsnaher Mathematikunterricht in Zeiten von Standards und zentralen Prüfungen55
Literatur56
Kapitel 360
Bildungstheoretische Grundlagen des Mathematikunterrichts60
3.1 Pädagogische Aspekte61
3.2 Gesellschaftliche Aspekte64
3.3 Funktionen der Schule und die Rolle der Bildungsstandards66
3.4 Fachliche bildungsrelevante Charakterisierungen der Mathematik71
3.4.1 Hans Freudenthal: „Mathematik als pädagogische Aufgabe“71
3.4.2 „Fundamentale Ideen“ der Mathematik72
3.4.3 Allgemeine mathematische Lernziele nach Heinrich Winter 197573
3.4.4 „mathematical literacy“ und „mathematical proficiency“74
3.4.5 Charakteristika „moderner mathematischer Allgemeinbildung“76
3.5 Synthetisierend: Heinrich Winters „Grunderfahrungen“77
Literatur79
Teil II83
Mathematik als Lehr- und Lerninhalt83
Kapitel 485
Arithmetik: Leitidee Zahl85
4.1 Zur Entwicklung des Zahlensystems und des arithmetischen Denkens85
4.1.1 Ursprünge86
4.1.2 Die Entstehung arithmetischen Denkens in den antiken Hochkulturen87
4.1.3 Zahlen als ideelle Objekte im antiken Griechenland90
4.1.4 Die Entdeckung des Inkommensurablen92
4.1.5 Das indisch-arabische dezimale Stellenwertsystem93
4.1.6 Erweiterungen des Zahlensystems95
4.1.7 Die Konstruktion der reellen Zahlen96
4.2 Zahlen und Arithmetische Denkweisen97
4.2.1 Ursprünge arithmetischen Denkens97
4.2.2 Die Bedeutung von Darstellungsarten für arithmetisches Denken100
4.2.3 Natürliche Zahlen und arithmetisches Denken in Vorschule und Grundschule104
4.2.4 Zahlbereichserweiterungen in der Sekundarstufe108
4.2.5 Dyskalkulie113
4.3 Zahlen und Arithmetik im Unterricht115
4.3.1 Zur Geschichte des Arithmetikunterrichts115
4.3.2 Forschungen zum Arithmetikunterricht117
Literatur119
Kapitel 5124
Algebra: Leitidee Symbol und Formalisierung124
5.1 Entwicklung und Bedeutung der algebraischen Formelsprache124
5.1.1 Zur Entstehung der Formelsprache125
5.1.2 Zur Bedeutung der Formelsprache131
5.1.3 Die Rolle der Variablen133
5.1.4 Die Formelsprache aus semiotischer Perspektive135
5.2 Algebraische Denkweisen und Methoden137
5.2.1 Wurzeln algebraischen Denkens und ihre Weiterentwicklung137
5.2.2 Vom ursprünglichen Verstehen zum relationalen Denken - ein Beispiel140
5.2.3 Forschungen zum algebraischen Denken142
5.3 Algebraunterricht144
5.3.1 Zur Geschichte des Algebraunterrichts145
5.3.2 Forschungen zum Algebraunterricht147
Literatur151
Kapitel 6156
Analysis: Leitidee Zuordnung und Veränderung156
6.1 Historische und epistemologische Grundlagen157
6.1.1 Zur geschichtlichen Entwicklung157
6.1.2 Funktion als Leitbegriff der Mathematik und des Mathematikunterrichts162
6.1.3 Infinitesimales Denken und epistemologische Hürden165
6.2 Funktionales Denken im Lernprozess168
6.2.1 Aspekte funktionalen Denkens und ihre Rolle bei der Begriffsentwicklung168
6.2.2 Repräsentationsebenen und Übersetzungsprozesse171
6.3 Analysisunterricht174
6.3.1 Wege zur Ableitung und zum Integral174
6.3.2 Wachstum und Änderung181
6.3.3 Analysisunterricht zwischen Anschaulichkeit und formaler Exaktheit185
Literatur189
Kapitel 7192
Geometrie: Leitidee Raum und Form192
7.1 Geometrie und Geometrieunterricht aus der historisch-genetischen Perspektive193
7.1.1 Entwicklungslinien194
7.1.2 Akzentuierungen für die Beschäftigung mit Geometrie197
7.1.3 Niederschlag in der Geschichte des Geometrieunterrichts198
7.2 Geometrie und Geometrieunterricht – lern- und kognitions-psychologisch200
7.2.1 Aspekte geometrischen Denkens200
7.2.2 Entwicklung geometrischen Denkens208
7.3 Geometrieunterricht209
7.3.1 Geometrie und Curriculum209
7.3.2 Das weiter zu erforschende Verhältnis von Lehrenden und Lernenden zur Geometrie211
7.3.3 Eine aktuelle Strömung: Raumgeometrie und 3D-DGS214
7.3.4 Geometrie und Veranschaulichung im Mathematikunterricht215
7.3.5 Geometrieunterricht in internationaler Entwicklung218
7.4 Fazit und Ausblick219
Literatur220
Kapitel 8227
Stochastik: Leitidee Daten und Zufall227
8.1 Fachlich-epistemologische Überlegungen228
8.2 Empirische Untersuchungen zum probabilistischen und statistischen Denken237
8.3 Unterrichtspraktische Überlegungen: Stochastik in der Schule241
8.4 Schlussbemerkungen250
Literatur250
Teil III258
Mathematik als Denkprozesse259
Kapitel 9260
Begriffsbildung260
9.1 Begriffe in der Mathematik260
9.1.1 Die mathematik-didaktische Analyse261
9.1.2 Die erkenntnistheoretische Begriffskritik263
9.2 Lerntheoretische Grundlagen265
9.2.1 Die Idee der didaktischen Phänomenologie265
9.2.2 Grundvorstellungen267
9.2.3 Die didaktische Rekonstruktion268
9.3 Begriffslernen im Mathematikunterricht269
9.3.1 Aspekte des Begriffsverständnisses269
9.3.2 Arten des Begriffserwerbs272
9.3.3 Empirische Untersuchungen275
9.4 Strategien des Begriffslehrens277
9.4.1 Kurzfristiges Lehren mathematischer Begriffe278
9.4.2 Mittelfristiges Lehrenmathematischer Begriffe279
9.4.3 Langfristiges Lehren mathematischer Begriffe280
Literatur281
Kapitel 10284
Problemlösen lernen284
10.1 Begriffliche Grundlagen284
10.2 Problemtypologien285
10.3 Mathematische Problemlösekompetenz als Ziel schulischer Allgemeinbildung289
10.4 Zu Verlaufsmodellen mathematischer Problemlöseprozesse291
10.5 Zum Erwerb mathematischer Problemlösekompetenz294
10.5.1 Einflussfaktoren auf Inhalt und Verlauf von Problemlöseprozessen294
10.5.2 Fördermethoden und -konzepte für den Erwerb von Problemlösekompetenz295
10.6 Unterrichtskonzepte zur Ausbildung mathematischer Problemlösekompetenz298
10.7 Problemlösen und Begabtenförderung/-erkennung301
10.8 Offene Fragen302
Literatur303
Kapitel 11307
Algorithmik307
11.1 Vorbemerkungen307
11.2 Algorithmen: Entstehungsgeschichte, Etymologie, Grundbegriffe308
11.3 Die Methodologie des algorithmischen Arbeitens und fundamentale fachdidaktische Prinzipien der Mathematik313
11.3.1 Das genetische Prinzip und die historische Perspektive313
11.3.2 Konstruktivität319
11.3.3 Elementarität321
11.3.4 Vernetztheit, Beziehungshaltigkeit322
11.3.5 Experimentelles, exploratives Arbeiten, das operative Prinzip und mathematische Heuristik323
11.4 Werkzeuge für das algorithmische Arbeiten325
11.5 Algorithmik und mathematische Bildungsinhalte besonders im Bereich der Schulbildung328
11.6 Schlussbemerkungen330
Literatur332
Kapitel 12334
Argumentieren und Beweisen334
12.1.1 Die Natur des mathematischen Beweises334
12.1.2 Beweisen im Unterricht336
12.2 Argumentieren und Beweisen341
12.2.1 Begriffsklärung341
12.2.2 Toulmin’s Argumentationstheorie342
12.2.3 Beweisen und explorieren344
12.2.4 Einsicht in die Beweisnotwendigkeit344
12.3 Kognitive Aspekte346
12.3.1 Kognitive Voraussetzungen von Beweiskompetenz346
12.3.2 Vorstellungen von Schülerinnen und Schülern und Metawissen zum Beweisen347
12.3.3 Stufen- und Entwicklungsmodelle mathematischer Beweiskompetenz350
12.3.4 Interventionen zur Förderung von Beweiskompetenz351
12.4 Zusammenfassung352
Literatur354
Kapitel 13359
Anwendungen und Modellieren359
13.1 Curriculare Relevanz von mathematischem Modellieren359
13.2 Theoretische Diskussion zum Modellieren in der Mathematikdidaktik362
13.2.1 Theoretische Diskussion zum mathematischen Modellieren im Unterricht – Historische Entwicklung und aktueller Stand362
13.2.2 Der Modellierungsprozess als Rahmen für Modellierungsaktivitäten365
13.3 Unterrichtliche Beispiele zum Modellieren368
13.3.1 Die Leuchtturm-Aufgabe als Beispiel für reichhaltige Modellierungsprozesse368
13.3.2 Preisgestaltung eines Internet-Cafés als authentisches Modellierungsbeispiel370
13.4 Modellierungskompetenzen und ihre Förderung371
13.4.1 Definition und Konzept von Modellierungskompetenzen371
13.4.2 Förderung von Modellierungskompetenzen373
13.5 Modellieren mit digitalen Werkzeugen373
13.6 Ergebnisse empirischer Studien zur Förderung des Modellierens376
13.6.1 Studien zu kognitiven und affektiven Aspekten376
13.6.2 Studien zur Effektivität von Lernumgebungen, zu Lehrerinterventionen und adaptivem Lehrerverhalten bei Modellierungsprozessen377
13.7 Ausblick: Aktivitäten und Projekte zur Förderung von Anwendungen und Modellieren im Mathematikunterricht380
Literatur381
Kapitel 14386
Darstellen und Kommunizieren386
14.1 Einleitung386
14.2 Darstellen: Repräsentationsformen mathematischen Wissens387
14.2.1 Repräsentationsformen in Theorie und Praxis387
14.2.2 Hintergrundtheorien und ihre Anwendungen auf mathematikdidaktische Fragestellungen388
14.2.3 Einteilungen und Eigenschaften von Repräsentationen mathematischer Objekte und Sachverhalte390
14.2.4 Sprache und mathematische Fachsprache393
14.3 Formalisieren: Zeichengebrauch und Begriffsbildung395
14.3.1 Gebrauch von Repräsentationsformen396
14.3.2 Erwerb von und Wechsel zwischen Repräsentationsformen398
14.4 Kommunizieren: Interaktion im Mathematikunterricht399
14.4.1 Unterrichtskommunikation399
14.4.2 Interaktions- und Handlungsmuster400
14.4.3 Mimik, Gestik und Raumverhalten402
14.4.4 Erklären und Argumentieren402
14.4.5 Gesprächs- und Schreibanlässe403
14.5 Fazit405
Literatur405
Teil IV410
Mathematik im Unterrichtsprozess410
Kapitel 15412
Unterrichtsmethoden und Instruktionsstrategien412
15.1 Einleitung412
15.2 Sozial- und Arbeitsformen als Elemente des Unterrichts413
15.2.1 Lernen in kooperativen Sozialformen414
15.2.2 Lehrerzentrierte Sozialformen416
15.2.3 Offene Lernumgebungen417
15.2.4 Zusammenfassung418
15.3 Mathematikunterricht als Organisation von Lerngelegenheiten419
15.3.1 Kognitive Aktivierung420
15.3.2 Metakognitive Aktivierung und Förderung422
15.3.3 Konstruktive Lernunterstützung423
15.3.4 Inhaltliche und strukturelle Klarheit423
15.3.5 Zusammenfassung425
15.4 Instruktionsstrategien425
15.4.1 Cognitive Apprenticeship426
15.4.2 Four Component Instruction Design, 4C/ID427
15.4.3 Cognitive Load Theory428
15.4.4 Zusammenfassung429
15.5 Offene Fragen und aktuelle Entwicklungslinien429
Literatur431
Kapitel 16436
Aufgaben in Forschung und Praxis436
16.1 Kategorien zur Charakterisierung von Aufgaben438
16.1.1 Inhaltsbezogene Merkmale438
16.1.2 Kognitionsbezogene Merkmale439
16.1.3 Didaktische Merkmale439
16.2 Aufgaben in der fachbezogenen Lehr-Lernforschung und in der Unterrichtsforschung443
16.2.1 Aufgaben in der Lernprozessforschung443
16.2.2 Aufgaben in der Leistungsmessung444
16.2.3 Aufgaben in der Unterrichtsforschung445
16.2.4 Aufgaben in der Professionalitätsforschung448
16.3 Aufgaben in der fachdidaktischen Entwicklungsforschung449
16.4 Aufgaben in der Lehrerprofessionalisierung und in der Steuerung von Bildungssystemen452
16.5 Fazit: Perspektiven für die Aufgabenforschung453
Literatur454
Kapitel 17462
Medien462
17.1 Was sind Medien?462
17.1.1 Weiter und enger Medienbegriff462
17.1.2 Medien und die Vielfalt der Forschungsfragen463
17.1.3 Medien und Einsatzzweck463
17.1.4 Medien und Darstellungsebenen464
17.1.5 Medien und Bezeichnungsvielfalt464
17.2 Traditionelle Medien im Mathematikunterricht465
17.2.1 Arbeitsmittel465
17.2.2 Werkzeuge466
17.2.3 Anschauungsmittel467
17.2.4 Gedruckte Medien468
17.2.5 Übergreifende Konzepte469
17.2.6 Präsentationsmedien470
17.3 Digitale Medien im Mathematikunterricht470
17.3.1 Rechner/Hardware471
17.3.2 Programme/Software475
17.3.3 Netz und Vernetzung von Medien – das Internet479
17.4 Theoretische Grundlagen des Einsatzes digitaler Technologien (DT)481
17.4.1 DT und das didaktische Dreieck481
17.4.2 Die Theorie der instrumentellen Genese482
17.5 Forschungsbereiche zu den digitalen Medien bzw. digitalen Technologien (DT)483
17.5.1 Voraussetzungen für den DT-Einsatz483
17.5.2 Wirkungen des DT-Einsatzes484
17.5.3 Der Einsatz von DT in Prüfungen485
17.5.4 Multiple und dynamische Repräsentationen485
17.5.5 Hard- und Software-Design, Konstruktion von Lernumgebungen486
17.5.6 Digitale Medien in der Grundschule486
17.5.7 Digitale Medien in der Lehreraus- und -weiterbildung486
17.6 Ausblick487
Literatur488
Kapitel 18492
Diagnostik und Leistungsbeurteilung492
18.1 Grundsätzliche Überlegungen493
18.1.1 Diagnose und Diagnosekompetenz493
18.1.2 Förderdiagnostik494
18.1.3 Verhältnis von Diagnose und Bewertung495
18.1.4 Merkmale von Diagnosen495
18.1.5 Verhältnis Diagnose und Förderung497
18.2 Bewertungsmaßstab, Beurteilungsfehler und Grenzwerte498
18.3 Diagnostik als Forschungsgegenstand500
18.3.1 Untersuchungen zur Urteilsgenauigkeit500
18.3.2 Diagnosekompetenz und Fördermaßnahmen501
18.4 Diagnostik und Leistungsbeurteilung im Unterricht502
18.4.1 Instrumente und Maßnahmen zur Erhebung und Bewertung von Leistungen503
18.4.2 Instrumente und Maßnahmen zur Diagnose im Unterricht505
18.5 Resümee509
Literatur510
Kapitel 19514
Individualisieren und differenzieren514
19.1 Strukturmomente für eine Binnendifferenzierung im Mathematikunterricht515
19.2 Didaktisch-methodische Differenzierungsmaßnahmen im Mathematikunterricht in historischer Entwicklung520
19.3 Offene Fragen531
Literatur532
Teil V536
Didaktik der Mathematik als Forschungsdisziplin536
Kapitel 20539
Zur geschichtlichen Entwicklung der Mathematikdidaktik als wissenschaftlicher Disziplin539
20.1 Vorbemerkung539
20.2 Vom Beginn des 19. Jahrhunderts bis zum 1. Weltkrieg541
20.2.1 Zur Entwicklung der Mathematikdidaktik541
20.2.2 Die Diskussion um die „Neuere Geometrie“548
20.3 Die Zeit zwischen den Weltkriegen550
20.3.1 Zur Entwicklung der Mathematikdidaktik550
20.3.2 Die Diskussion um die Infinitesimalrechnung552
20.4 Die Zeit nach dem 2. Weltkrieg555
20.4.1 Zur Entwicklung der Mathematikdidaktik555
20.4.2 Die Diskussion um die „Abbildungsgeometrie“559
20.5 Schlussbemerkung562
Literatur563
Kapitel 21567
Forschungsgegenstände und Forschungsziele567
21.1 Einleitung567
21.2 Zur Rolle des Inhalts569
21.2.1 Auswahl von Inhalten569
21.2.2 Aufbereitung von Inhalten570
21.3 Unterricht und andere Lehr-Lern-Umgebungen573
21.4 Charakteristika der Lehrenden576
21.5 Charakteristika der Lernenden578
21.5.1 Struktur und Entwicklung mathematischer Kompetenz bei Schülerinnen und Schülern579
21.5.2 Fehlvorstellungen, Grundvorstellungen und Conceptual Change581
21.6 Perspektiven583
Literatur585
Kapitel 22590
Qualitative mathematikdidaktische Forschung: Das Wechselspiel zwischen Theorieentwicklung und Adaption von Untersuchungsmethoden590
22.1 Einleitung590
22.2 Die Rationale qualitativer Forschung591
22.3 Qualitative Unterrichtsforschung in der Mathematikdidaktik592
22.4 Schwerpunkt: „Theorieentwicklung auf der Grundlage eines qualitativen Forschungsansatzes“593
22.4.1 Theoretischer Startpunkt593
22.4.2 Theoretische Reflexionen zu einer Szene zum „kgV“594
22.5 Schwerpunkt: „Anpassung einer Forschungsmethode an einen Forschungsgegenstand“600
22.5.1 Die theoretische Einbettung602
22.5.2 Erweiterte und an den Forschungsgegenstand angepasste Analyse604
22.5.3 Folgerungen607
22.6 Abschließende Bemerkungen607
Literatur609
Kapitel 23612
Quantitative Forschungsmethoden in der Mathematikdidaktik612
23.1 Grundlagen613
23.1.1 Der Aufbau eines schriftlichen Forschungsberichts613
23.1.2 Welche Fragestellungen erfordern quantitative Methoden?613
23.1.3 Psychometrie615
23.2 Schritte des quantitativ-empirischen Forschungsprozesses618
23.2.1 Formulierung von Fragestellungen und Hypothesen618
23.2.2 Entwurf des Designs (Studienanlage, Gesamtplan) zur Untersuchung der Hypothesen619
23.2.3 Konstruktion der Untersuchungsinstrumente622
23.2.4 Wahl der Stichprobe625
23.2.5 Statistische Analysen625
23.3 Ausblick633
Anhang636
Literatur638
Kapitel 24641
Theorien und Theoriebildung in didaktischer Forschung und Entwicklung641
24.1 Herausforderungen im Umgang mit Theorien642
24.1.1 Herausforderungen bei der Rezeption von Theorien642
24.1.2 Herausforderungen in der (Weiter-)Entwicklung von Theorien643
24.2 Unterschiedliche Konzeptualisierungen von Theorien und ihrer Rolle in wissenschaftlichen Praktiken643
24.2.1 Theorien auf unterschiedlichen Ebenen643
24.2.2 Theorien als Ergebnis oder Rahmenbedingung wissenschaftlicher Praktiken646
24.2.3 Theorien als Rahmenbedingungen: Mittler zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematikdidaktik (Abb. 24.1)647
24.3 Theorien als Ergebnisse von Forschung: Struktur und Funktionen von Theorieelementen648
24.4 Theoriebildung als Prozess651
24.4.1 Empirische Absicherung von Theorieelementen in unterschiedlichen Forschungsdesigns652
24.4.2 Absicherung von Theorieelementen durch Vernetzung und Argumentation statt Empirie653
24.4.3 Unterschiedliche Wege zur Gewinnung empirisch beforschbarer Ansätze: Importe und innerdisziplinäre Diskurse654
24.4.4 Von isolierten Theorieelementen zu umfassenderen Theorien656
24.5 Zum Weiterlesen657
Literatur657
Sachverzeichnis661

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