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E-Book

Messung beendet

was nun?

AutorW.H. Heini Gränicher
Verlagvdf Hochschulverlag AG
Erscheinungsjahr2010
Seitenanzahl158 Seiten
ISBN9783728122582
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis10,40 EUR

In allen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften besteht ein wachsender Bedarf nach Messergebnissen von grosser Zuverlässigkeit und hoher Messgenauigkeit. Unvermeidlicherweise – man kann sagen naturgesetzlich bedingt – treten aber Messfehler auf. Die Beherrschung der Probleme dieser Messfehler gehört deshalb zum Grundwissen nicht etwa nur von Physikern, sondern auch von Ingenieuren aller Richtungen, von Chemikern, Biologen und selbst von Medizinern, wenn für ihre Arbeit genaue messbare Grössen wichtig sind.

Das Lehrbuch ist eine kurzgefasste Einführung in das Gebiet der Auswertung von Messungen. In bezug auf systematische Fehler ist bereits die Auswahl des Messverfahrens und gut geeichter Messgeräte ausschlaggebend, denn sie wirkt sich auch auf die zufälligen Messunsicherheiten aus, die man mit den Werkzeugen der mathematischen Statistik in den Griff bekommt.

Fehlerfortpflanzungsgesetz, statistische Tests sowie Ausgleichs- und Korrelationsrechnung sind hier wichtige Stichworte. Wenn auch die Auswertungen heute meist mit Computern durchgeführt werden, so ist es dennoch unerläßlich, die verfügbaren statistischen Werkzeuge sachgerecht einzusetzen. Dazu muss man die zugrundeliegenden mathematischen Begriffe und Methoden verstehen, denn nur so können die Auswertungen richtig vorbereitet und die Resultate korrekt interpretiert werden.

Das Buch ist so gestaltet, dass es als Nachschlagewerk für die tägliche Arbeit im Laboratorium dient, aber auch die Planung von Meßverfahren und Auswertungen im Rahmen eines präventiven Fehlermanagements (z.B. für Qualitätssicherung) erleichtert.

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Leseprobe

9. Das Schlussresultat und seine Unsicherheit sowie die Planung von Experimenten (S. 117-118)

9.1 Rückblick auf das Problem der Messgenauigkeit

Die mathematische Statistik als Theorie der zufälligen Fehler (DIN 1319–1: Messabweichungen) besitzt eine durchgestaltete und weit verzweigte Struktur. In die wichtigsten Teile haben wir soweit Einblick genommen, als es für ihre Anwendung in der praktischen Arbeit nötig erscheint. Eine Übersicht soll uns die Unterschiede zwischen systematischen und zufälligen Messfehlern bewusst machen (siehe Seite 9–3). In Kenntnis der dargestellten Eigenschaften der zwei Arten von Messfehlern gilt es in der Folge zu überlegen, welche Lehren für die Planung, Durchführung und Auswertung von Messungen und Experimenten daraus zu ziehen sind.

Auf Grund der in der Übersicht vorgelegten Ergebnisse können wir den Standpunkt der Physik des 19. Jahrhunderts, der «klassischen» Physik, verstehen: Wenn man durch Verwendung pfiffig guter, experimenteller Methoden systematische Messfehler vermeidet, sollte eine physikalische Grösse mit beliebig hoher Genauigkeit bestimmbar sein, sofern man nur die Messung genügend oft wiederholt. Dabei ist allerdings vorauszusetzen, dass die gesuchte Grösse zeitlich hinreichend konstant ist und jedenfalls einen definierten zeitlichen Mittelwert besitzt.

Es ist ein zentrales Anliegen jedes Forschers, im Rahmen der gestellten Aufgabe und der verfügbaren Mittel, möglichst genaue Resultate zu erhalten und dazu muss er sich stets statistischer Methoden der Auswertung bedienen. Solchem Bemühen sind aber aus verschiedenen, naturgesetzlichen Gründen Grenzen gesetzt. Wie die moderne Physik lehrt, sind dies in bestimmten Fällen erkannte und grundsätzliche, von der Natur vorgegebene Grenzen: Die eine Art von Grenzen der Messgenauigkeit (ggf. der Nachweisbarkeit) ist bedingt durch die thermischen Schwankungen wie z.B. die Brownsche Bewegung und das elektrische Widerstandsrauschen. Eine andere Art liegt in der Quantennatur vieler physikalischer Grössen und Gesetze, so z.B. die endliche Grösse der Elementarladung und als Konsequenz daraus der Schroteffekt in elektrischen stromführenden Elementen, ferner die Lichtquanten-Fluktuationen, die Heisenbergsche Unschärfenrelation und dgl.

Die in neuerer Zeit bekannt gewordenen und intensiv untersuchten Erscheinungen des deterministischen Chaos können eine sinnvolle Messung überhaupt verunmöglichen.

Kommentare zur «Gegenüberstellung der Arten von Messfehlern»
Siehe die Tabelle rechts auf der Seite 9–3.

• Diese Tabelle stellt eine Zusammenfassung der wichtigsten Aussagen (Begriffe und Ergebnisse) dar, insbesondere der Kap. 2, 3, 5 und 8. Die sich entsprechenden Aussagen stehen —soweit möglich— sich jeweilen auf gleicher Höhe gegenüber.

• Die Kennzeichnung der Messfehler als systematisch oder statistisch ist von der Art der Messung, bzw. Art der Anwendung abhängig. Ein statistischer Messfehler —im Schlussresultat als Standardabweichung angegeben— wird für einen anderen Experimentator zu einer systematischen Unsicherheit, nämlich dann, wenn das Resultat dieser Messgrösse in den Auswertungen des anderen Experiments als Hilfsgrösse verwendet wird.

• Die groben Fehler (siehe den Hinweis auf Seite 1–3) sind in diesem Kapitel und in der Tabelle nicht erwähnt und werden nicht (mehr) behandelt. Es wird davon ausgegangen, dass sie durch grosse Sorgfalt und Kontrollen vermieden worden sind!
Rückblende zum Thema Terminologie (vgl. auch Abschnitt 1.3)

• Die DIN 1319–1 und zugehörige Normen verwenden auf deutsch den Begriff systematische bzw. zufällige «Messabweichung». Auf englisch und französisch lauten diese Begriffe im ISO Guide und in DIN 1319–1 «error» bzw. «erreur». Dies entspricht auch der traditionellen deutschen Terminologie «Messfehler» oder kurz «Fehler», wie sie auch im vorliegenden Buch Verwendung findet. Dies geschieht aus didaktischen Gründen und um den Anschluss an die heute vorhandene Literatur sowie die gegenwärtig verbreiteten Gewohnheiten der Praxis nicht zu verlieren. Insbesondere bei ihrem ersten Auftreten sind aber den in diesem Buche verwendeten Namen zusätzlich die Begriffe des ISO Guide und der DIN beigefügt.

Inhaltsverzeichnis
Vorwort5
Inhaltsverzeichnis6
1. Einleitung (Inhaltsübersicht und Terminologie)9
1.1 Inhaltsübersicht10
1.2 Grobe Fehler11
1.3 Auswertekonzepte und Terminologie11
1.4 Praktische Hinweise für den Leser12
2. Systematische Fehler und ihre Fortpflanzung13
2.1 Einleitung13
2.2 Arten systematischer Fehler13
2.3 Entdeckung und Vermeidung systematischer Fehler16
2.4 Fortpflanzung systematischer Fehler19
2.5 Schlussbetrachtung22
3. Zufällige Fehler23
3.1 Einleitung23
3.2 Häufigkeitsverteilung und Verteilungsfunktion24
3.3 Grundgesamtheit und Stichprobe25
3.4 Kennzeichnung von Verteilungen: Lagegrössen27
3.5 Kennzeichnung von Verteilungen: Dispersionsgrössen30
3.6 Standardabweichung und Varianz berechnet aus den Daten einer Stichprobe31
3.7 Mittlerer Fehler (Standardabweichung) eines Mittelwertes33
3.8 Kennzeichnung einer Verteilung durch ihre Momente36
3.9 Fehlerfortpflanzung von Zufallsmessfehlern38
3.1 Genauigkeit (Standardabweichung) des mittleren Fehlers43
3.11 Schlussbemerkung44
4. Modellverteilungen der Statistik45
4.1 Einleitung45
4.2 Binomial- oder Bernoulli-Verteilung45
4.3 Normalverteilung auch Gauss-Verteilung genannt49
4.4 Poisson-Verteilung56
4.5 Intervallverteilung und Exponentialverteilung60
4.6 Lorentz-Verteilung auch Cauchy-Verteilung genannt63
4.7 Abschliessende Bemerkungen zu Verteilungsfunktionen65
4.8 Hinweise zu Tabellen von Verteilungsfunktionen66
5. Statistische Tests67
5.1 Problemstellung67
5.2 Elementare Tests67
5.3 Graphische Methoden68
5.4 t -Test für die Konsistenz zweier Mittelwerte70
5.5 F - Test zur Prüfung von Varianzen74
5.6 Chi-Quadrat-Test75
5.7 Schlussbemerkungen über statistische Tests77
6. Ausgleichsrechnung79
6.1 Einleitung79
6.2 Ausgleichung einer einzigen fehlerbehafteten Grösse80
6.3 Ausgleichung bei funktionalen Zusammenhängen87
6.4 Ausgleichung bei Bestehen von Nebenbedingungen104
7. Korrelation von Zufallsgrössen107
7.1 Einleitung107
7.2 Lineare Korrelation107
7.3 Nichtlineare Korrelation109
7.4 Korrelationsfunktionen110
8. Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz und seine Anwendung für die universellen Konstanten115
8.1 Problemstellung: Gibt es korrelierte Fehler?115
8.2 Korrelationskoeffizient für statistische Fehler116
8.3 Allgemeines Fortpflanzungsgesetz zufälliger Fehler117
8.4 Die universellen fundamentalen Konstanten der Physik119
9. Das Schlussresultat und seine Unsicherheit sowie die Planung von Experimenten125
9.1 Rückblick auf das Problem der Messgenauigkeit125
9.2 Vorgehen bei der Auswertung von Messungen128
9.3 Arbeitsschema für die Bestimmung der Unsicherheiten, allgemeiner Fall mit mehreren Eingangsgrössen131
9.4 Folgerungen für die Planung und Durchführung von Experimenten134
9.5 Schlussbemerkung136
Anhänge137
Sachverzeichnis152

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