Sie sind hier
E-Book

Numerik-Algorithmen

Verfahren, Beispiele, Anwendungen

AutorGisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka
VerlagSpringer-Verlag
Erscheinungsjahr2006
Seitenanzahl677 Seiten
ISBN9783540263531
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis6,99 EUR

Das Buch ist eine praxisnahe Einführung in die Numerische Mathematik zu grundlegenden Aufgabengebieten wie lineare und nichtlineare Gleichungen und Systeme, Eigenwerte von Matrizen, Approximation, Interpolation, Splines, Quadratur und Kubatur. Die Autoren beschreiben die mathematischen und numerischen Prinzipien wichtiger Verfahren und stellen leistungsfähige Algorithmen für deren Durchführung dar. Zahlreiche Beispiele und erläuternde Skizzen erleichtern das Verständnis. Für jeden Problemkreis werden Entscheidungshilfen für die Auswahl der geeigneten Methode angegeben. Zu allen Verfahren wurden Programme in C entwickelt, die auf einer CD-ROM beigefügt sind. Eine zweite CD-ROM enthält Spline-Funktionen als Demo-Version aus der interaktiven Lernumgebung NUMAS.

Kaufen Sie hier:

Horizontale Tabs

Leseprobe

4.17 Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens (S. 219-220)

Trotz der Vielzahl numerischer Verfahren, die zur Lösung linearer Gleichungssysteme zur Verfügung stehen, ist die praktische Bestimmung der Lösungen für große Werte von n eine problematische numerische Aufgabe. Die Gründe hierfür sind (1) der Arbeitsaufwand (die Rechenzeit), (2) der Speicherplatzbedarf, (3) die Verfälschung der Ergebnisse durch Rundungsfehler oder mathematische Instabilität des Problems.

Zu (1): Der Arbeitsaufwand lässt sich über die Anzahl erforderlicher Punktoperationen (Multiplikationen, Divisionen) abschätzen. Die folgende Tabelle liefert die Anzahl der Punktoperationen, die erforderlich sind, um ein lineares Gleichungssystem aus n Gleichungen mit n Unbekannten nach den angegebenen Verfahren zu lösen. Die Anzahl erforderlicher Additionen und Subtraktionen bleibt in diesem Vergleich unberücksichtigt.

Zu (2): Vom Computer her gesehen ergeben sich bez¨uglich des Speicherplatzes zwei kritische Größen f¨ur sehr große n: (a) der für die Speicherung der aik verfügbare Platz im Arbeitsspeicher (Hauptspeicher), (b) der dafür verfügbare Platz in den Hintergrundspeichern. Der Speicherplatzbedarf verringert sich, wenn A spezielle Eigenschaften, z. B. Bandstruktur, besitzt, dünn besetzt ist oder symmetrisch ist. Es entsteht praktisch kein Speicherplatzbedarf, wenn sich die aik aufgrund einer im Einzelfall gegebenen Vorschrift jeweils im Computer berechnen lassen ("generated Matrix"), siehe auch die folgende Bemerkung.

Zu (3): Durch geeignete Gestaltung des Ablaufs der Rechnung kann die Akkumulation von Rundungsfehlern unter Kontrolle gehalten werden, sofern die Ursache nicht in mathematischer Instabilit¨a t des Problems liegt. Deshalb sollte grundsätzlich mit skalierter teilweiser Pivotisierung gearbeitet werden, es sei denn, die spezielle Struktur des Systems garantiert numerische Stabilität. Mit relativ geringem Aufwand lassen sich die Ergebnisse jeweils durch Nachiteration verbessern. Im Allgemeinen lassen sich weder die Kondition des Systems noch die Frage, ob die Bedingungen f¨ur die eindeutige Lösbarkeit erfüllt sind, vor Beginn der numerischen Rechnung prüfen. Daher sollten die Programme so gestaltet sein, dass sie den Benutzern im Verlaufe der Rechnung darüber Auskunft geben.

Bemerkungen zu großen Systemen und dünnbesetzten Matrizen:

Bei sehr großen Systemen, bei denen die Elemente von A und a nicht vollst¨a ndig im Arbeitsspeicher unterzubringen sind (selbst nicht in gepackter Form), können sogenannte Blockmethoden angewandt werden, s. dazu Abschnitt 4.15. Solche Systeme treten vorwiegend im Zusammenhang mit der numerischen Lösung partieller Di.erentialgleichungen auf. Sind die Matrizen d¨unn besetzt, wie es häufig bei der Lösung von Randwertproblemen für gewöhnliche und partielle Di.erentialgleichungen durch Differenzenverfahren oder die Finite-Elemente-Methode auftritt, sollten entsprechende Lösungsalgorithmen verwendet werden, siehe dazu z. B. [MAES1985] und [WEIS1990],

1. Die Anwendung des Algorithmus von Cuthill-McKee [CUTH1969] überführt die dünnbesetzte Matrix (z. B. Stei.gkeitsmatrix) in eine Bandmatrix mit fast optimaler Bandbreite, aber eben im Allgemeinen noch nicht mit der möglichen minimalen Bandbreite.

2. Anschließend wird mit den Nummerierungen aus Cuthill-McKee als Startnummerierung der Algorithmus von Rosen angewandt, der im Allgemeinen die Bandbreite weiter verringert. Es gibt aber auch Fälle, wo damit keine weitere Verminderung der Bandbreite erzielt werden kann. Weitere geeignete Verfahren, insbesondere auch Iterationsverfahren, sind in [WEIS1990] zu finden.

Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur 9. Auflage7
Informationen zur beigefügten Software (CD-1, CD-2)9
Bezeichnungen13
Inhaltsverzeichnis15
Kapitel 1 Darstellung von Zahlen und Fehleranalyse,Kondition und Stabilität22
1.1 Definition von Fehlergrößen22
1.2 Zahlensysteme24
1.3 Rechnung mit endlicher Stellenzahl32
1.4 Fehlerquellen38
Kapitel 2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen48
2.1 Aufgabenstellung und Motivation48
2.2 Definitionen und Sätze über Nullstellen50
2.3 Allgemeines Iterationsverfahren52
2.4 Konvergenzordnung eines Iterationsverfahrens70
2.5 Newtonsche Verfahren72
2.6 Das Sekantenverfahren84
2.7 Einschlussverfahren87
2.8 Anwendungsbeispiele106
2.9 Effzienz der Verfahren und Entscheidungshilfen110
Kapitel 3 Verfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen112
3.1 Vorbemerkungen112
3.2 Das Horner-Schema113
3.3 Methoden zur Bestimmung sämtlicher Lösungen algebraischer Gleichungen122
3.4 Anwendungsbeispiel133
3.5 Entscheidungshilfen134
Kapitel 4 Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme136
4.1 Aufgabenstellung und Motivation136
4.2 Definitionen und Sätze141
4.3 Lösbarkeitsbedingungen für ein lineares Gleichungssystem153
4.4 Prinzip der direkten Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme154
4.5 Der Gauß-Algorithmus157
4.6 Matrizeninversion mit dem Gauß-Algorithmus172
4.7 Verfahren für Systeme174
4.8 Das Gauß-Jordan-Verfahren185
4.9 Gleichungssysteme mit tridiagonaler Matrix186
4.10 Gleichungssysteme mit zyklisch tridiagonaler Matrix193
4.11 Gleichungssysteme mit fünfdiagonaler Matrix198
4.12 Gleichungssysteme mit Bandmatrix204
4.13 Lösung überbestimmter linearer Gleichungssysteme mit Householdertransformation215
4.14 Fehler, Kondition und Nachiteration220
4.15 Gleichungssysteme mit Blockmatrix231
4.16 Algorithmus von Cuthill-McKee für dünn besetzte, symmetrische Matrizen236
4.17 Entscheidungshilfen für die Auswahl des Verfahrens240
Kapitel 5 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme244
5.1 Vorbemerkungen244
5.2 Vektor- und Matrizennormen244
5.3 Das Iterationsverfahren in Gesamtschritten246
5.4 Das Gauß-Seidelsche Iterationsverfahren, Iteration in Einzelschritten255
5.5 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren257
5.6 Relaxation beim Einzelschrittverfahren – SOR-Verfahren257
Kapitel 6 Systeme nichtlinearer Gleichungen262
6.1 Aufgabenstellung und Motivation262
6.2 Allgemeines Iterationsverfahren für Systeme265
6.3 Spezielle Iterationsverfahren271
6.4 Entscheidungshilfen für die Auswahl der Methode279
Kapitel 7 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen280
7.1 Definitionen und Aufgabenstellungen280
7.2 Diagonalähnliche Matrizen281
7.3 Das Iterationsverfahren nach v. Mises283
7.4 Konvergenzverbesserung mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten im Falle hermitescher Matrizen292
7.5 Das Verfahren von Krylov293
7.6 Bestimmung der Eigenwerte positiv definiter, symmetrischer, tridiagonaler Matrizen mit Hilfe des QD-Algorithmus296
7.7 Transformationen auf Hessenbergform, LR- und QR-Verfahren297
7.8 Ermittlung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix nach den Verfahren von Martin, Parlett, Peters, Reinsch und Wilkinson304
7.9 Entscheidungshilfen305
7.10 Anwendungsbeispiel306
Kapitel 8 Lineare und nichtlineare Approximation312
8.1 Aufgabenstellung und Motivation312
8.2 Lineare Approximation315
8.3 Diskrete nichtlineare Approximation363
8.4 Entscheidungshilfen369
Kapitel 9 Polynomiale Interpolation sowie Shepard-Interpolation372
9.1 Aufgabenstellung372
9.2 Interpolationsformeln von Lagrange374
9.3 Aitken-Interpolationsschema für beliebige Stützstellen377
9.4 Inverse Interpolation nach Aitken381
9.5 Interpolationsformeln von Newton383
9.6 Abschätzung und Schätzung des Interpolationsfehlers389
9.7 Zweidimensionale Interpolation394
9.8 Entscheidungshilfen406
Kapitel 10 Interpolierende Polynom-Splines zur Konstruktion glatter Kurven408
10.1 Polynom-Splines dritten Grades408
10.2 Hermite-Splines fünften Grades463
10.3 Polynomiale kubische Ausgleichssplines473
10.4 Entscheidungshilfen für die Auswahl einer geeigneten Splinemethode486
Kapitel 11 Akima- und Renner-Subsplines492
11.1 Akima-Subsplines492
11.2 Renner-Subsplines499
11.3 Abrundung von Ecken bei Akima- und Renner-Kurven509
11.4 Berechnung der Länge einer Kurve513
11.5 Flächeninhalt einer geschlossenen ebenen Kurve516
11.6 Entscheidungshilfen519
Kapitel 12 Zweidimensionale Splines, Oberflchensplines, Bezier-Splines, B-Splines520
12.1 Interpolierende zweidimensionale Polynomsplines dritten Grades zur Konstruktion glatter Flächen520
12.2 Zweidimensionale interpolierende Oberflächensplines534
12.3 Bezier-Splines537
12.4 B-Splines551
12.5 Anwendungsbeispiel562
12.6 Entscheidungshilfen567
Kapitel 13 Numerische Differentiation570
13.1 Aufgabenstellung und Motivation570
13.2 Differentiation mit Hilfe eines Interpolationspolynoms571
13.3 Differentiation mit Hilfe interpolierender kubischer Polynom-Splines574
13.4 Differentiation mit dem Romberg-Verfahren576
13.5 Entscheidungshilfen580
Kapitel 14 Numerische Quadratur582
14.1 Vorbemerkungen582
14.2 Konstruktion von Interpolationsquadraturformeln585
14.3 Newton-Cotes-Formeln588
14.4 Quadraturformeln von Maclaurin607
14.5 Die Euler-Maclaurin-Formeln612
14.6 Tschebysche.sche Quadraturformeln614
14.7 Quadraturformeln von Gauß616
14.8 Berechnung von Gewichten und Stützstellen verallgemeinerter Gauß-Quadraturformeln620
14.9 Quadraturformeln von Clenshaw-Curtis623
14.10 Das Verfahren von Romberg624
14.11 Fehlerschätzung und Rechnungsfehler629
14.12 Adaptive Quadraturverfahren631
14.13 Konvergenz der Quadraturformeln633
14.14 Anwendungsbeispiel634
14.15 Entscheidungshilfen für die Auswahl der geeigneten Methode635
Kapitel 15 Numerische Kubatur638
15.1 Problemstellung638
15.2 Konstruktion von Interpolationskubaturformeln640
15.3 Newton-Cotes-Formeln für rechteckige Integrationsbereiche643
15.4 Das Romberg-Kubaturverfahren für Rechteckbereiche651
15.5 Gauß-Kubaturformeln für Rechteckbereiche654
15.6 Berechnung des Riemannschen Flächenintegrals mit bikubischen Splines657
15.7 Vergleich der Verfahren anhand von Beispielen657
15.8 Kubaturformeln für Dreieckbereiche662
15.9 Entscheidungshilfen676
Literaturverzeichnis678
Sachwortverzeichnis690

Weitere E-Books zum Thema: Programmiersprachen - Softwareentwicklung

Kombination aus Produkt und Dienstleistung

E-Book Kombination aus Produkt und Dienstleistung
Potentiale für Unternehmen aus der Unterhaltungselektronikbranche Format: PDF

Inhaltsangabe:Einleitung: Für Unternehmen des produzierenden Gewerbes wird es immer schwieriger nachhaltige Wettbewerbsvorteile allein über Produkte zu erzielen. Wettbewerbsvorteile ergeben sich aus…

Apps effektiv managen und vermarkten

E-Book Apps effektiv managen und vermarkten
Die eigene App erfolgreich veröffentlichen: Von der Konzeption bis zur Vermarktung Format: PDF

Lernen Sie Ihre App effektiv, strukturiert und begeisternd weltweit zu vermarkten. In diesem praxisorientierten Buch erhalten Sie einen prägnanten Überblick von der Idee und Konzeption einer App,…

Prozessübergreifendes Projektmanagement

E-Book Prozessübergreifendes Projektmanagement
Grundlagen erfolgreicher Projekte Format: PDF

Projektmanagement ist in Zeiten von enger werdenden Projektbudgets und Projektzeitplänen eine zunehmende Herausforderung geworden. Die Autoren geben wertvolle Hilfestellungen in Krisensituationen und…

Management von IT-Projekten

E-Book Management von IT-Projekten
Von der Planung zur Realisierung Format: PDF

Projektmanagement (PM) wird immer noch zu selten und zu inkonsequent eingesetzt. Viele problematische Projekte sprechen eine eindeutige Sprache. Kenntnisse des PM und seine Anwendungsmöglichkeiten…

Python 3 - Intensivkurs

E-Book Python 3 - Intensivkurs
Projekte erfolgreich realisieren Format: PDF

Python ist eine vollwertige Programmiersprache, mit der sich auch größere Anwendungen entwickeln lassen. In den letzten Jahren hat sie an Beliebtheit gewonnen, und mit Python 3 steht eine stark…

Management von IT-Projekten

E-Book Management von IT-Projekten
Von der Planung zur Realisierung Format: PDF

Kenntnisse des Projektmanagements und seine Anwendungsmöglichkeiten sind für IT-Manager und IT-Entwickler unentbehrlich. In diesem Buch werden die wichtigsten Verfahren und Methoden für das…

Weitere Zeitschriften

FESTIVAL Christmas

FESTIVAL Christmas

Fachzeitschriften für Weihnachtsartikel, Geschenke, Floristik, Papeterie und vieles mehr! FESTIVAL Christmas: Die erste und einzige internationale Weihnachts-Fachzeitschrift seit 1994 auf dem ...

BIELEFELD GEHT AUS

BIELEFELD GEHT AUS

Freizeit- und Gastronomieführer mit umfangreichem Serviceteil, mehr als 700 Tipps und Adressen für Tag- und Nachtschwärmer Bielefeld genießen Westfälisch und weltoffen – das zeichnet nicht ...

crescendo

crescendo

Die Zeitschrift für Blas- und Spielleutemusik in NRW - Informationen aus dem Volksmusikerbund NRW - Berichte aus 23 Kreisverbänden mit über 1000 Blasorchestern, Spielmanns- und Fanfarenzügen - ...

Deutsche Hockey Zeitung

Deutsche Hockey Zeitung

Informiert über das internationale, nationale und internationale Hockey. Die Deutsche Hockeyzeitung ist Ihr kompetenter Partner für Ihr Wirken im Hockeymarkt. Sie ist die einzige ...

IT-BUSINESS

IT-BUSINESS

IT-BUSINESS ist seit mehr als 25 Jahren die Fachzeitschrift für den IT-Markt Sie liefert 2-wöchentlich fundiert recherchierte Themen, praxisbezogene Fallstudien, aktuelle Hintergrundberichte aus ...

building & automation

building & automation

Das Fachmagazin building & automation bietet dem Elektrohandwerker und Elektroplaner eine umfassende Übersicht über alle Produktneuheiten aus der Gebäudeautomation, der Installationstechnik, dem ...

Euro am Sonntag

Euro am Sonntag

Deutschlands aktuelleste Finanz-Wochenzeitung Jede Woche neu bietet €uro am Sonntag Antworten auf die wichtigsten Fragen zu den Themen Geldanlage und Vermögensaufbau. Auch komplexe Sachverhalte ...

Evangelische Theologie

Evangelische Theologie

 Über »Evangelische Theologie« In interdisziplinären Themenheften gibt die Evangelische Theologie entscheidende Impulse, die komplexe Einheit der Theologie wahrzunehmen. Neben den ...