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E-Book

Numerische Mathematik

AutorMartin Hermann
VerlagDe Gruyter Oldenbourg
Erscheinungsjahr2011
Seitenanzahl579 Seiten
ISBN9783486719703
FormatPDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis49,95 EUR
Dieses einführende Werk deckt den gesamten Bereich der numerischen Mathematik von den klassischen Techniken wie Gaußscher Algorithmus und Newtonsches Verfahren bis hin zu den modernen Algorithmen wie Splinefunktion und Deflationstechnik ab. Die Verfahren werden mathematisch exakt beschrieben und ihre Umsetzung in eine Programmiersprache ist anhand von Beispielen in MATLAB illustriert. Die klare Sprache, anschauliche Beispiele und ein gelungener didaktischer Aufbau machen das Buch zum idealen Begleiter einer Vorlesung oder zur Grundlage eines erfolgreichen Selbststudiums.

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Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur ersten Auflage5
Vorwort zur zweiten Auflage7
Vorwort zur dritten Auflage9
1 Wichtige Phänomene des numerischen Rechnens15
1.1 Numerische Algorithmen und Fehler17
1.2 Fehlerfortplanzung, Kondition und numerische Instabilität22
1.3 Rundungsfehler bei Gleitpunkt-Arithmetik33
1.4 Aufgaben46
2 Lineare Gleichungssysteme53
2.1 Auflösung gestaffelter Systeme53
2.2 LU-Faktorisierung und Gauß-Elimination58
2.3 Pivot-Strategien und Nachiteration64
2.4 Systeme mit speziellen Eigenschaften85
2.4.1 Positiv definite Systeme85
2.4.2 Tridiagonale Gleichungssysteme90
2.4.3 Die Formel von Sherman und Morrison95
2.5 Genauigkeitsfragen, Fehlerabschätzungen98
2.5.1 Normen98
2.5.2 Singulärwertzerlegung, SVD104
2.5.3 Fehlerabschätzungen, Kondition109
2.5.4 Rundungsfehleranalyse der Gauß-Elimination116
2.6 Iterative Verfahren125
2.6.1 Konvergenz der Nachiteration125
2.6.2 Spektralradius und Konvergenz einer Matrix126
2.6.3 Spezielle Iterationsverfahren129
2.6.4 Ausblick: Entwicklung neuer Iterationsverfahren140
2.7 Aufgaben150
3 Eigenwertprobleme159
3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren159
3.1.1 Stetigkeitsaussagen161
3.1.2 Eigenschaften symmetrischer Matrizen164
3.1.3 Gerschgorin Kreise165
3.2 Nichtsymmetrisches Eigenwertproblem: die Potenzmethode169
3.2.1 Das Grundverfahren169
3.2.2 Inverse Potenzmethode174
3.2.3 Deflationstechniken176
3.3 Symmetrisches Eigenwertproblem: QR-Methode179
3.3.1 Transformationsmatrizen: Givens-Rotationen179
3.3.2 Transformationsmatrizen: Householder-Reflexionen186
3.3.3 Transformationsmatrizen: Schnelle Givens-Transformationen191
3.3.4 QR-Algorithmus für symmetrische Eigenwertprobleme196
3.4 Aufgaben201
4 Nichtlineare Gleichungen in einer Variablen209
4.1 Problemstellung209
4.2 Fixpunkt-Iteration213
4.3 Newton-Verfahren219
4.4 Das Verfahren von Müller225
4.5 Intervall-Verfahren229
4.6 Fehleranalyse der Iterationsverfahren233
4.7 Techniken zur Konvergenzbeschleunigung240
4.8 Globalisierung lokal konvergenter Verfahren245
4.8.1 Dämpfungsstrategien246
4.8.2 Homotopieverfahren248
4.9 Nullstellen reeller Polynome253
4.9.1 Anwendung des Newton-Verfahrens253
4.9.2 Das QD-Verfahren264
4.10 Aufgaben271
5 Nichtlineare Gleichungen in mehreren Variablen279
5.1 Fixpunkte von Funktionen mehrerer Variablen279
5.2 Newton-Verfahren282
5.3 Quasi-Newton-Verfahren288
5.4 Das Verfahren von Brown293
5.5 Nichtlineares Ausgleichsproblem300
5.5.1 Problemstellung300
5.5.2 Gauß-Newton-Verfahren302
5.5.3 Abstiegsverfahren306
5.5.4 Levenberg-Marquardt-Verfahren310
5.6 Deflationstechniken316
5.7 Zur Kondition nichtlinearer Gleichungen321
5.8 Aufgaben324
6 Interpolation und Polynom-Approximation331
6.1 Taylor-Polynome332
6.2 Interpolation und Lagrange-Polynome336
6.3 Vandermonde-Ansatz344
6.4 Iterierte Interpolation346
6.5 Dividierte Differenzen350
6.6 Hermite-Interpolation363
6.7 Kubische Spline-Interpolation370
6.8 Trigonometrische Interpolation, DFT und FFT384
6.9 Aufgaben398
7 Ausgleichsprobleme, Methode der Kleinsten Quadrate405
7.1 Diskrete Kleinste-Quadrate Approximation405
7.1.1 Polynomapproximationen405
7.1.2 Empirische Funktionen412
7.1.3 Nichtlineare Approximation418
7.2 Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation422
7.2.1 Polynomapproximation422
7.2.2 Approximation mit verallgemeinerten Polynomen427
7.2.3 Harmonische Analyse429
7.2.4 Konstruktion von Orthogonalsystemen432
7.3 Aufgaben442
8 Kleinste-Quadrate-Lösungen449
8.1 Einführung449
8.2 Eigenschaften der QR-Faktorisierung451
8.3 Gram-Schmidt-Verfahren453
8.4 Kleinste Quadrate Probleme457
8.5 Methode der Normalgleichungen462
8.6 LS-Lösung mittels QR-Faktorisierung468
8.7 LS-Lösung mittels MGS471
8.8 Schnelle Givens LS-Löser474
8.9 Das LS-Problem für eine Matrix mit Rangabfall476
8.10 Aufgaben485
9 Numerische Differentiation und Integration489
9.1 Numerische Differentiation490
9.1.1 Beliebige Stützstellenverteilung490
9.1.2 Äquidistante Stützstellenverteilung496
9.1.3 Numerische Differentiation mit gestörten Daten498
9.1.4 Differentiationsformeln ohne Differenzen501
9.1.5 Extrapolation nach Richardson505
9.2 Numerische Integration510
9.2.1 Grundformeln zur Integration511
9.2.2 Zusammengesetzte Quadraturformeln521
9.2.3 Adaptive Techniken526
9.2.4 Romberg-Integration530
9.2.5 Gaußsche Quadraturformeln535
9.3 Aufgaben542
Literaturverzeichnis549
Liste der verwendeten Symbole559
Verzeichnis der Algorithmen561
Verzeichnis der Matlab-Programme563
Tabellenverzeichnis565
Abbildungsverzeichnis567
Index14

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