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Einleitung
1.1 Das lineare und das nichtlineare Optimierungsproblem
Im vorliegenden Buch werden Optimierungsaufgaben betrachtet, die dadurch charakterisiert sind, dass eine lineare oder nichtlineare Zielfunktion f unter linearen oder nichtlinearen Ungleichungsnebenbedingungen minimiert wird, d. h.
wobei I
die Indexmenge der Ungeichungsrestriktionen bezeichnet. Gleichungsrestriktionen werden der Übersichtlichkeit halber zunächst weggelassen. An geeigneten Stellen werden sie zusätzlich berücksichtigt.
1.2 Definitionen und Bezeichnungen
Für die weiteren Überlegungen benötigen wir folgende Bezeichnungen:
- n-dimensionaler Euklidischer Raum: Rn,
- Menge der reellen Zahlen: R,
- nichtnegativer Orthant des n-dimensionalen Euklidischen Raumes: ,
- Euklidische Norm:
- Betragssummennorm:
- (m, n)-Matrix A: rechteckiges Zahlenschema A = (ai,j) von m ∗ n Zahlen, angeordnet in m Zeilen und n Spalten,
- quadratische Matrix: (m, n)-Matrix A mit m = n,
- Diagonalmatrix A: quadratische Matrix A mit ai j = 0 für i ≠ j und aii ≠ 0,
- Einheitsmatrix I: Diagonalmatrix A mit aii = 1,
- obere Dreiecksmatrix A: quadratische Matrix A mit ai j = 0, i > j,
- untere Dreiecksmatrix A: quadratische Matrix A mit ai j = 0, i < j,
- positiv definite Matrix A: quadratische Matrix A mit xTAx > 0 für alle x ≠ 0,
- symmetrische Matrix A: quadratische Matrix A mit ai j = aji,
- transponierte Matrix AT zu A: Matrix AT mit AT = (aji),
- inverse Matrix A−1 zur Matrix A: Matrix mit der Eigenschaft A ∗ A−1 = I,
- nichtsinguläre Matrix A: die inverse Matrix A−1 zu A existiert,
- orthogonale Matrix A: Matrix mit der Eigenschaft AT = A−1,
- transponierter Vektor: xT = (x1, …, xn),
- Gradient einer Funktion f : Rn → R
- Hesse-Matrix einer Funktion f : Rn → R
- Lagrange-Funktion für die Aufgabe (1.1)
- Ableitung der Lagrange-Funktion nach den Komponenten des 1. Arguments
- zweite Ableitung der Lagrange-Funktion nach den Komponenten des 1. Arguments
- Indexmenge I(x) der in x aktiven Restriktionen
- Vektor, dessen Komponenten alle gleich 1 sind: e = (1, …, 1)T,
- i-ter Einheitsvektor: ei = (0, …, 0, 1, 0, …, 0)T,
- die Menge G0 := {x : gi(x) < 0, i = 1, …, m}.
1.3 Spezialfälle linearer und nichtlinearer Optimierungsaufgaben
Besitzen Zielfunktion f und der zulässige Bereich G bzw. Nebenbedingungen gi und gj eine spezielle Gestalt, so können zur Lösung von (1.1) spezielle Verfahren herangezogen werden. Für die Zielfunktion f sind folgende Strukturen interessant:
- Allgemeine nichtlineare Zielfunktion f (x).
- Lineare Zielfunktion f (x) = cTx.
- Quadratische Zielfunktion
- Quadratsumme (Regression)
- Maximum von Funktionen f (x) = max fj(x) (j = 1, …, l).
In Bezug auf die Nebenbedingungen N sind folgende Situationen typisch:
- Allgemeine nichtlineare Nebenbedingungen.
- Lineare Nebenbedingungen .
- Keine Nebenbedingungen G = Rn.
In den folgenden Kapiteln werden spezielle Kombinationen von Zielfunktion und Nebenbedingungen eine besondere Rolle spielen:
- lineare Optimierung (L): f 2 + N2,
- quadratische Optimierung (Q): f 3 + N2,
- allgemeine nichtlineare Optimierungsaufgabe (C): f 1 + N1,
- unbeschränkte Minimierung (U): f 1 + N3,
- Regressionsprobleme (P): f 4 + N3, f 4 + N1.
Die Spezifikationen L, Q, C, U und P werden in der Charakterisierung der implementierten Beispiele im Programmsystem „Optisoft“ verwendet. Über die dargestellten Kombinationen von Zielfunktion und Nebenbedingungen hinaus spielen Aufgaben der nichtglatten Optimierung eine besondere Rolle. Diese finden im vorliegenden Buch keine Beachtung. Gleiches gilt auch für Optimierungsaufgaben mit sehr vielen Variablen: n > 100, sofern sie nicht als Teilprobleme zur Lösung von (1.1) auftreten.
Obwohl die spezifische Gestalt von Zielfunktion und Nebenbedingungen interessant ist, wie etwa in der geometrischen Optimierung
wird diese nicht explizit berücksichtigt.
In der Betrachtung von Optimierungsverfahren gehen wir von dem Grundmodell (1.1) aus. Für Least-Square-Probleme in Differenzialgleichungsmodellen und bei Strukturoptimierungsproblemen liegen spezielle Aufgaben zugrunde. Diese werden in den folgenden Kapiteln näher erläutert.
1.4 Anwendungen
Nichtlineare Optimierungsprobleme spielen in vielen Anwendungsbereichen eine wichtige Rolle, z. B. in der
- Luft- und Raumfahrt (Steuerung, Konstruktion),
- Mechanik (Optimierung mechanischer Strukturen, z. B. von Tragwerken),
- Elektrotechnik (Transformatorkonstruktion),
- Chemie (Gleichgewichtsprobleme),
- Medizin, Soziologie (Statistische Probleme),
- Betriebswirtschaft (Planungsmodelle),
- Physik (Kernforschung),
- Energiewesen (Energieverteilung).
Typische Anwendungsbeispiele finden sich in den Büchern von Bracken und McCormick [3] oder Beightler und Phillips [4]. Einige mathematische Fragestellungen, welche bei der Lösung praktischer Probleme auf Optimierungsverfahren zurückgreifen, werden im Buch näher betrachtet:
1.4.1 Strukturoptimierung
Die Strukturoptimierung wird schon seit einigen Jahren in der computergestützten Konstruktion eingesetzt. In der zugrundeliegenden Aufgabenstellung wird dabei zwischen Querschnitts-, Form-, und Topologieoptimierung (der eigentlichen Strukturoptimierung) unterschieden. Grundlegende Fragestellung ist dabei, die Struktur und die Abmessungen von Konstruktionen derart zu wählen, dass zum einen die mechanischen Randbedingungen erfüllt und zum anderen der Materialeinsatz und damit die Kosten möglichst gering sind.
Obwohl die Berücksichtigung der Nebenbedingungen oft die Koppelung mit komplizierten Berechnungsvorschriften – z. B. FEM-Solvern – erfordert, soll das Grundprinzip an folgendem Beispiel erläutert werden:
Beispiel 1.1 Ziel ist die Erstellung von Bemessungstafeln für geschweißte I-Träger mit Querschnitten minimalen Gewichts (Abb. 1.1).
Da das Gewicht eines Trägers mit vorgegebener Länge proportional zum Querschnitt ist, lautet die Zielfunktion
Tragsicherheitsnachweise (g1, g2), Beulsicherheitsnachweise (g3, g4) und konstruktive Restriktionen (g5 − g10) führen zu den Nebenbedingungen gi ≤ 0:
wobei Mpl(x) := σF((x1 − x4)x3x4 + (x1 − 2x4)2x2/4).
Die Größen Mv, Nv und σF sind konstante Parameter. Die Anzahl der Variablen ist 4, und es liegen 10 Ungleichheitsrestriktionen vor.
Abb. 1.1 Stahlträger.
1.4.2 Das Least-Squares-Problem
Spezielle nichtlineare Optimierungsaufgaben treten bei der Parameterbestimmung von Modellen auf, die einen in Natur- oder Technikwissenschaften vorliegenden Zusammenhang qualitativ beschreiben. Sind über diesen Zusammenhang Resultate von Experimenten bekannt, kann man die Methode der kleinsten Quadrate anwenden, um die Koeffizienten näherungsweise zu bestimmen. Das zugehörige Optimierungsproblem lautet:
bei
(1.2)
Hierbei sind
y(x, t) – die gewählte Modellfunktion,
x – der Parametervektor, dessen Komponentenwerte zu bestimmen sind
ti – der
i-te Wert der (u. U. vektorwertigen) unabhängigen Veränderlichen,
yi – die i-te Beobachtung der (u. U. vektorwertigen) unabhängigen Veränderlichen,
a, b – Schrankenvektoren für den Vektor x.
Entsprechend der Wahl der Norm haben wir es mit einer linearen oder quadratischen Zielfunktion zu tun. Die vorliegende Formulierung gestattet die Berücksichtigung zusätzlicher Nebenbedingungen. Beim Vorliegen von Differenzialgleichungen wird die Aufgabe wie folgt...
