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E-Book

Was ist Mathematik?

AutorRichard Courant, Herbert Robbins
VerlagSpringer-Verlag
Erscheinungsjahr2010
Seitenanzahl400 Seiten
ISBN9783642137013
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis19,99 EUR
'Was ist Mathematik?' lädt jeden ein, das Reich der Mathematik zu betreten, der neugierig genug ist, sich auf ein Abenteuer einzulassen. Das Buch richtet sich an Leser jeden Alters und jeder Vorbildung. Gymnasiallehrer erhalten eine Fülle von Beispielen, Studenten bietet es Orientierung, und Dozenten werden sich an den Feinheiten der Darstellung zweier Meister ihres Faches erfreuen.

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Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur vierten Ausgabe6
Vorwort zur etsten deutschen Ausgabe8
Vorwort zur zweiten deutschen Ausgabe9
Ratschlage fur die Leser10
Inhaltsverzeichnis11
Was ist Mathematik?17
Erstes Kapitel Die natiirlichen Zahlen Einleitung21
§ 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen21
1. Gesetze der Arithmetik21
2. Die Darstellung der positiven ganzen Zahlen24
3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen26
* § 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems Mathematische Induktion28
1. Das Prinzip der mathematischen Induktion28
2. Die arithmetische Reihe30
3. Die geometrische Reihe31
4. Die Summe der ersten n Quadrate32
*5. Eine wichtige Ungleichung133
*6. Der binomische Satz33
*7. Weitere Bemerkungen zur mathematischen Induktion35
Erganzung zu Kapitel I Zahlentheorie Einleitung37
§ 1. Die Primzahlen37
1. Grundtatsachen37
2. Die Verteilung der PrimzahIen40
§ 2. Kongruenzen46
1. Grundbegriffe46
2. Der kleine Fermatsche Satz50
3. Quadratische Reste51
§ 3. Pythagoreische Zahlen und groBer Fermatscher Satz52
§ 4. Det euklidische Algorithmus54
1. Die allgemeine Theorie54
2. Anwendung auf den Fundamentalsatz der Arithmetik58
3. EULERs 9l-FUnktion. NochmaIs kleiner Fermaischer Satz59
4. Kettenbriiche. Diophantische Gleichungen60
Zweites Kapitel Das Zahlensystem der Mathematik Einleitung62
§ 1. Die rationalen Zahlen62
1. Messen und Zihlen62
2. Die innere Notwencligkeit der rationalen Zahlen Das Prinzip der Verallgemeinerung64
3. Geometrische Deutung der rationalen Zahlen66
§ 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff67
1. Einleitung67
2. UnendHche Dezimalbriiche69
3. Grenzwerte. Unendliche geometrische Reihen71
4. Rationale Zahlen und perioclische Dezimalbriiche74
5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Intervallschacbtelungen75
*6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsche Schnitte77
§ 3. Bemerkungen liber analytische Geometrie*78
1. Das Grundprinzip78
*2. Gleichungen von Geraden und Kurven79
§ 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen82
1. Grundbegriffe82
2. Die Abziihlbarkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabziihlbarkeit des Kontinuums83
3. CANTORs "Kardinalzahlen"87
4. Die indirekte Beweismethode88
5. Die Paradoxien des Unendlichen89
6. Die Grundlagen der Mathematik90
§ 5. Komplexe Zahlen91
1. Der Ursprung der komplexen Zablen91
2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen94
3. Die Moivresche Formel und die Einheitswurzeln98
*4. Der Fundamentalsatz der Algebra100
*§ 6. Algebraische und transzendente Zahlen102
1. Definition und Existenz102
**2. Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen103
Erganzung zu Kapitel II Mengenalgebra (Boolesche Algebra)106
1. Allgemeine Theorie106
2. Anwendung auf die mathematische Logik109
3. Eine Anwendung auf die WahrscheinIichkeitsrechnung111
Drittes Kapitel Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkorper Einleitung113
I. Teil Unmoglichkeitsbeweise und Algebra115
§ 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen115
1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln115
2. RegelmiUSige Vielecke117
*3. Das Problem des APoLLoNlUs119
* § 2. Konstruierbare Zahlen und Zahlkorper121
1. Allgemeine Theorie121
2. Alle konstruierbaren Zahlen sind algebraisch126
*§ 3. Die Unlosbarkeit der drei griechischen Probleme127
1. Verdoppelung des Wiirfels127
2. Ein Satz tiber kubische Gleichungen128
3. Wiukeldreitellung129
4. Das regelmia8ige Siebeneck131
II. Teil Verschiedene Konsttuktionsmethoden132
§ 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion132
1. Allgemeine Bemerkungen132
2. Eigenschaften der Inversion133
3. Geometriscbe Konstruktion inverser Punkte135
4. Halbierung emer Strecke und Bestimmung des Kreismittelpunktesmit dem Zirkel allein136
§ 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln Mascheroni-Konstruktionen mit dem Zirkel allein137
*1. Eine klassische Konstruktuion zur Verdoppelung des Wurfels137
2. Beschrinkung auf die Benutzung des Zirkels allein137
3. Das Zeichnen mit mechanischen Geraten.Mechanische Kurven. Zykloiden141
*4. Gelenkmechanismen. PEAUCELLlER8 und HART8 Inversoren143
§ 6. Weiteres liber die Inversion und ihre Anwendungen145
1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen145
2. Anwendung auf das Problem des APOLLONIUS147
*3. Mehrfache Reflexionen148
Viertes Kapitel Projektive Geometrie. Axiomatik.Nichteuklidische Geometrien150
§ 1. Einleitung150
1. Klassifizierung geometrischer Eigenschaften. Invarianz bei Transformationen150
2. Projektive Transformationen151
§ 2. Grundlegende Begriffe152
1. Die Gruppe der projektiven Transformationen152
2. Der Satz von DESARGUES154
§ 3. Das Doppelverhaltnis155
1. Definition und Beweis der Invarianz155
2. Anwendung auf das vollstandige Vierseit159
§ 4. Parallelitat und Unendlichkeit160
1. Unendlich feme Punkte aIs "uneigentliche Punktelt"160
2. Uneigentliche Elemente und Projektion163
3. Doppelverhiiltnisse mit unenjlich femen Elementen164
§ 5. Anwendungen164
1. Vorbereitende Bemerkungen164
2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der Ebene165
3. Der PascaIsche Satz1166
4. Der Satz von Brianchon167
5. Das Dualitatsprinzip167
§ 6. Analytische Darstellung168
1. Einleitende Bemerkungen168
*2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualitat169
§ 7. Aufgaben uber Konstruktionen mit dem Lineal allein172
§ 8. Kegelschnitte und FIachen zweiter Ordnung173
1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte173
2. Projektive Eigenschaften der KegeIschnitte176
3. Kegelschnitte aIs Hiillkurven178
4. Pascals und Brianchons allgemeine Sitze fUr Kegelschnitte181
5. Das Hyperboloid182
§ 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie183
1. Die axiomatische Methode183
2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie186
3. Geometrie und Wirklichkeit190
4. POINCARi8 Modell191
5. Elliptiscbe oder Riemannsebe Geometrie192
Anhang* Geometrie in mehr als drei Dimensionen194
1. Einleitung194
2. Die analytische Definition194
*3. Die geometrische oder kombinatorische Definition196
Fünftes Kapitel Topologie Einleitung200
§ 1. Die Eulersche Polyederformel201
§ 2. Topologische Eigenschaften von Figuren204
1. Topologische Eigenschaften204
2. Zusammenhang205
§ 3. Andere Beispiele topologischer Satze206
1. Der Jordansche Kurvensatz206
2. Das Vierfarbenproblem208
*3. Der Begriff der Dimension209
*4. Ein Fixpunktsatz212
5. Knoten215
§ 4. Topologische Klassifikation der Flichen215
1. Das Geschlecht einer Fliche215
*2. Die Eulersche Charakteristik einer Flache217
3. Einseitige Fllchen218
Anhang220
*1. Der FiinHarbensatz220
2. Der Jordansche Kurvensatz fUr Polygone222
**3. Der Fundamentalsatz der Algebra224
Sechstes Kapitel Funktionen und Grenzwerte Einleitung227
§ 1. Variable und Funktion228
1. Definitionen und Beispiele228
2. Das Bogenma8 eines Winkels231
3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen232
4. Zusammengesetzte Funktionen234
*6. Funktionen von mehreren VerinderHchen237
*7. Funktionen und Transformationen239
§ 2. Gremzwerte240
1. Der Grenzwert einer Folge an240
2. Monotone Folgen244
3. Die Eulersche Zahl e246
4. Die Zahl :c247
*5. Kettenbriiche249
§ 3. Grenzwerte bei stetiger Anniherung251
1. Einleitung. Allgemeine Definition251
2. Bemerkungen zum Begriff des Grenzwertes252
3. Der Grenzwert von --:-254
4. Grenzwerte fUr x -+ 00255
§ 4. Genaue Definition der Stetigkeit256
§ 5. Zwei grundlegende Sitze liber stetige Funktionen257
1. Der Satz von BOLZANO257
*2. Beweis des Bolzanoschen Satzes258
*3. Der Satz von WEIERSTRASS tiber Extremwerte259
*4. Ein Satz tiber ZahlenfoIgen. Kompakte Hengen260
§ 6. Einige Anwendungen des Satzes von BOLZANO261
1. Geometrische Anwendungen261
*2. Anwendung auf em mechanisches Problem263
Erganzung zum Kapitel VI Weitere Beispiele für Grenzwerte und Stetigkeit265
§ 1. Beispiele von Grenzwerten265
1. Allgemeine Bemerkungen265
2. Der Grenzwert von qn265
3. Der Grenzwert von iiP266
4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen267
*'5. Grenzwerle durch Iteration268
§ 2. Ein Beispiel fUr Stetigkeit269
Siebentes Kapitel Maxima und Minima Einleitung271
§ 1. Probleme aus der elementaren Geometrie272
1. Die maximale Flache eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten272
2. Der Satz des HERON. Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen272
3. Anwendungen auf Probleme fUr Dreiecke273
4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel Entsprechende Extremaleigenschaften274
*5. Extremale Abstiinde von einer gegebenen Kurve276
*§ 2. Ein allgemeines Prinzip bei Extremalproblemen278
1. Das Prinzip278
2. Beispiele279
§ 3. Stationire Punkte und Differentialrechnung280
1. Extremwerte und stationiire Punkte280
2. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variabeln. Sattelpunkte281
3. Minimupunkte und Topologie282
4. Der Abstand eines Punktes von einer Flkhe283
§ 4. Das Schw8nsche Dreiecksproblem284
1. Det Schwarzsche Spiegelungsbeweis284
2. Ein zweiter Beweis285
3. StumpfwinkJige Dreiecke287
4. Dreiecke aus Lichtstrahlen287
*5. Bemerkungen tiber Reflexionsprobleme und ergodische Bewegung288
§ 5. Das Steinersche Problem289
1. Das Problem und seine LOsung289
2. Diskussion der beiden Altemativen290
3. Ein komplementares Problem292
4. Bemerkungen und Ubungen292
5. Verallgemeinerung auf das StraBennetz-Problem293
§ 6. Extrema und Ungleichungen294
1. Das arithmetische und geometrische Mittel zweier positiver GroBen294
2. VeraIlgemeinerung auf n Variable295
3. Die Methode der kleinsten Quadrate296
§ 7. Die Existenz eines Extremums. Das Dirichletsche Prinzip297
1. Allgemeine Bemerkungen297
2. Beispiele299
3. Elementare Extremalprobleme300
4. Schwierigkeiten bei komplizierteren Problemen302
§ 8. Das isoperimetrische Problem303
*§ 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen Zusammenhang zwischen dem Steinerschen Problem und dem isoperimetrischen Problem305
§ 10. Die Variationsrechnung308
1. Einleitung308
2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der Optik309
3. BERNOULLI8 Behancllung des Problems der Brachystochrone310
4. Geodatische Linien auf einer Kugel. Geodatische Linien und Maxi-Minima311
§ 11. Experimentelle Losungen von Minimumproblemen Seifenhautexperimente312
1. Einfiibrung312
2. Seifenhautexperimente313
3. Neue Experimente zum Plateauschen Problem314
4. Experimentelle LOsungen anderer mathematischer Probleme317
Achtes Kapitel Die Infinitesimalrechnung Einleitung322
§ 1. Das Integral323
1. Der Flacheninhalt als Grenzwert323
2. Das Integral324
3. Allgemeine Bemerkoogen zum Integralbegriff. Endgiiltige Definition327
4. Beispiele. Integration von xn328
5. Regeln der Integralrecbnung332
§ 2. Die Ableitung335
1. Die Ableitung als Steigung335
2. Die Ableitung als Grenzwert336
3. Beispiele337
4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen340
*5. DiHerentiation und Stetigkeit340
6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung341
7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung343
8. Maxima und Minima344
§ 3. Die Technik des Differenzierens344
§ 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das "Unendlich Kleine"349
§ 5. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung351
1. Der Fundamentalsatz351
2. Erste AnwendUDgen. Integration von xr, cos x, sin x, arc tan x354
3. Die Leibnizsche Forme. fUr n356
§ 6. Die Exponentialfunktion und der Logarithmu8357
1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl 8357
2. Die Exponentialfunktion359
3. Differentiationsformeln fUr ex, ax, x8361
4. Explizite Auschiicke rur e, ex und In x als Limites362
5. Unendliche Reihen fiir den Logarithmus. Numerische Berechnung364
§ 7. DiHerentialgleichungen366
1. Definition366
2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion Radioaktiver Zerfall. Wachstumsgesetz. Zinseszins366
3. Weitere Beispiele. Einfachste Schwingungen369
4. Newtons Grundgesetz der Dynamik371
Erganzung zu Kapitel VIII373
§ 1. GrundsitzUche Fragen373
1. Differenzierbarkeit373
2. Das Integral375
§ 2. Grooenordnungen378
1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x378
2. Die Groobenorclnung von In (n!)380
§ 3. Unendliche Reihen und Produkte381
1. Unendliche Reihen von Funktionen381
2. Die Eulenche Formelcos:t + sin:t = "III385
3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt fUr den Sinus387
**§ 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden389
Anhang393
Erganzungen, Probleme und Vbungsaufgaben393
Arithmetik und Algebra393
Analytische Geometrie394
Geometrische Koustruldionen399
Projektive und nichteuklidische Geometrie400
Topologie401
Maxima und Minima404
Infinitesimalrechnung406
Integrationstechnik408
Hinweise auf weiterfiihrende Literatur412
Kapitel I412
Kapitel lI412
Kapitel III412
Kapitel IV413
Kapitel V413
Kapitel VI413
Kapitel VII413
Kapitel VIII413
Sachvetzeichnis414

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