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Häufig vorkommende Funktionstypen

In diesem Kapitel

• Funktionen ganz allgemein
• Polynome, gebrochen rationale Funktionen und Wurzelfunktionen
• Exponential‐, Logarithmus‐ und Hyperbelfunktionen
• Trigonometrische Funktionen
• Betragsfunktion und Gaußklammerfunktion

Funktionen werden in den Natur‐, Ingenieur‐ und Wirtschaftswissenschaften verwendet, um quantitative Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen zu beschreiben (beispielsweise zwischen Geschwindigkeit und Bremsweg eines Autos, zwischen Dauer und Kosten eines Telefonats oder zwischen der Laufzeit eines Satellitensignals und der Position eines GPS‐Empfängers). Ich stelle Ihnen zunächst die Eigenschaften vor, die bei jeder Funktion vorkommen können.

Die Vielfalt der möglichen Funktionen ist unüberschaubar. Einige Typen tauchen in diesen Zusammenhängen aber so häufig auf, dass es sich lohnt, ihre speziellen Eigenschaften parat zu haben. In den darauf folgenden vier Abschnitten dieses Kapitels werden sie zu Gruppen zusammengefasst vorgestellt.

Funktionen ganz allgemein

Der Begriff „Funktion“ ist Ihnen mit ziemlicher Sicherheit auf der Schule schon begegnet. So wird Ihnen manches in diesem Abschnitt bereits bekannt sein. Wenn Sie ihn also zunächst überschlagen und erst dann genauer anschauen, wenn Sie etwas nachschlagen oder auffrischen wollen, ist das völlig in Ordnung.

Eine Funktion besteht aus einem Definitionsbereich , einem Wertebereich und einer Zuordnungsvorschrift, die jeder Zahl genau eine(! nicht mehr und nicht weniger) Zahl zuordnet. Ob dabei alle Zahlen aus verwendet werden und ob Zahlen aus möglicherweise mehrmals vorkommen, ist an dieser Stelle egal.

Tipp

Der mathematische Funktionsbegriff ist nicht auf das Rechnen mit Zahlen beschränkt. Wenn Sie etwa eine Menge von Personen haben und jeder Person ihren Geburtsort zuordnen, handelt es sich auch dabei um eine Funktion. Wichtig dafür ist nur die Eindeutigkeit auf Seiten des Definitionsbereichs: Jeder Mensch hat einen Geburtsort und jeder Mensch hat (nur) einen Geburtsort. Streng genommen hören daher die Funktionen, bei denen mit reellen Zahlen gerechnet wird, auf die Bezeichnung „reelle Funktionen“. Aber da in diesem Buch ohnehin von nichts anderem die Rede sein wird, lasse ich diesen Vornamen stillschweigend weg.

Die Verwendung des Buchstabens x ist dabei pure Gewohnheit. Wenn der Definitionsbereich ausdrücklich eine bestimmte Größe (beispielsweise aus der Physik) repräsentiert, kommen auch andere Buchstaben zum Einsatz – zum Beispiel t, wenn die Elemente des Definitionsbereichs Zeitangaben sind. Der Buchstabe, der in der Zuordnungsvorschrift die Elemente des Definitionsbereichs repräsentiert, wird auch als Argument der Funktion bezeichnet. So ist beispielsweise t das Argument in der Weg‐Zeit‐Formel für den freien Fall: .

Die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion können Sie oft auf einen Blick erfassen, wenn Sie die Kurve der Funktion (auch Graph der Funktion genannt) zeichnen. Das geschieht meistens in einem kartesischen Koordinatensystem mit einer waagerechten Achse, auf der die Werte von x aufgetragen werden und einer senkrechten Achse, deren Werte mit dem Buchstaben y bezeichnet werden. Die Kurve entsteht dann dadurch, dass in der Zeichenebene alle Wertepaare markiert werden, bei denen die y‐Koordinate dem Funktionswert entspricht. Deshalb sagt man hierzu auch abkürzend „die Kurve “. In diesem Zusammenhang heißt x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable. Die Koordinatenachse, die die unabhängige Variable wiedergibt (also die X‐Achse) heißt die Abszisse, und die Koordinatenachse, die die abhängige Variable wiedergibt (also die Y‐Achse), heißt die Ordinate des Koordinatensystems.

Umkehrung einer Funktion

Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn jedes Element des Wertebereichs genau einmal verwendet wird. Dann können Sie die Rollen von Definitions‐ und Wertebereich vertauschen, und die Vorschrift für diese neue Zuordnung wird als bezeichnet.

Um eine Funktion umkehrbar zu machen, müssen Sie zunächst den Wertebereich so weit verkleinern, dass er keine überflüssigen Elemente mehr enthält (man spricht vom Bildbereich , wenn man sich ausschließlich auf die Zahlen konzentriert, die als Funktionswerte tatsächlich vorkommen). Anschließend schränken Sie den Definitionsbereich so weit ein, dass kein Funktionswert mehrmals angenommen wird.

Die Zuordnungsvorschrift der Umkehrfunktion erhalten Sie, indem Sie die Gleichung nach x auflösen und am Ende den Buchstaben x durch sowie den Buchstaben y durch x ersetzen. Für den Definitions‐ und den Bildbereich der Umkehrfunktion gilt sowie . Die Kurve entsteht durch Spiegelung der Kurve an der Geraden .

Beispiel

In Abbildung 1.1 sehen Sie die Kurve der Funktion . Ihr Bildbereich umfasst alle reellen Zahlen, die größer oder gleich minus drei sind: (diese Schreibweise wird in Anhang A erläutert). Durch die Einschränkung taucht jede Zahl aus Bf nur noch einmal als Funktionswert auf (das entspricht dem fett gezeichneten rechten Teil der Kurve). Wenn Sie nun die Gleichung unter Beachtung der Einschränkung mit der p‐q‐Formel nach x auflösen, bekommen Sie:

Jetzt werden noch die Namen der Variablen vertauscht, damit x wieder die unabhängige Variable verkörpert. Dadurch entsteht die Zuordnungsvorschrift

und mit dem Definitionsbereich sowie dem Bildbereich ist die Umkehrfunktion komplett. Die Kurve ist in Abbildung 1.1 gestrichelt eingezeichnet. Sie entspricht genau der Spiegelung des fett gezeichneten Kurvenstücks an der Geraden .

Abbildung 1.1: Die Funktion ist umkehrbar, wenn ihr Wertebereich auf die Menge der tatsächlich angenommenen Funktionswerte (diese Menge wird als Bildbereich bezeichnet) und ihr Definitionsbereich auf alle Zahlen ab 1 eingegrenzt wird: , . Dies entspricht dem durchgezogenen Teil der Parabel. Die Umkehrfunktion hat die Zuordnungsvorschrift mit dem Definitionsbereich und dem Bildbereich . Ihre Kurve (gestrichelt) entsteht dadurch, dass der durchgezogene Teil der Parabel an der Geraden x = y gespiegelt wird. Alternativ wäre es auch möglich, die Parabel stattdessen auf den gepunkteten Teil zu beschränken. Dann ergäbe sich aber eine andere Umkehrfunktion.

Im weiteren Verlauf dieses Kapitels werden Sie an mehreren Stellen Umkehrfunktionen begegnen. Achten Sie doch einmal darauf, wie leicht oder schwer es in den unterschiedlichen Situationen ist, die Ausgangsfunktion so zurechtzustutzen, dass sie sich umkehren lässt.

Rechenoperationen bei Funktionen

Durch die vier Grundrechenarten und durch Verkettung können Funktionen zu neuen Funktionen zusammengesetzt werden.

• Unproblematisch sind Addition, Subtraktion und Multiplikation: Die resultierenden Funktionen sind überall definiert, wo die Ausgangsfunktionen definiert sind.
• Wenn Sie zwei Funktionen dividieren, ist das Ergebnis überall dort definiert, wo Dividend (= der Zähler) und Divisor (= der Nenner) definiert sind und der Divisor ungleich null ist.
• Ein wenig genauer hinschauen müssen Sie bei der Verkettung von Funktionen, wenn Sie also aus einer Funktion und einer Funktion die Funktion bilden: Die neue Funktion ist überall definiert, wo definiert ist und der Funktionswert im Definitionsbereich von liegt.

Beispiel

• Die Funktion ist für jede reelle Zahl x definiert. Deshalb ist die Funktion ebenfalls für jede reelle Zahl x definiert:
• Die Funktion ist für alle positiven Zahlen x definiert. Die Funktion ist zwar für jede reelle Zahl definiert, hat aber für und den Wert null. Deshalb ist nur für positive Zahlen x ungleich 1 definiert:
• Die Funktion ist definiert, solange gilt. Die Funktion ist zwar für jede reelle Zahl definiert, hat aber für negative Werte. Deshalb ist nur für definiert.

Wichtige Eigenschaften von Funktionen

Eine Funktion heißt monoton steigend auf einem Intervall, wenn dort bei zunehmendem x die Funktionswerte niemals fallen (sie dürfen aber konstant bleiben). Die Funktion heißt streng monoton steigend, wenn die Funktionswerte bei zunehmendem x tatsächlich steigen (und nicht etwa konstant bleiben). Entsprechend sind monotones und streng monotones Fallen definiert.

Eine Funktion heißt nach oben beschränkt, wenn Sie eine Zahl angeben können, die von den Funktionswerten garantiert nie überschritten wird (die Zahl muss selbst kein Funktionswert sein und muss auch nicht knapp oberhalb der tatsächlichen Funktionswerte liegen). Entsprechend wird Beschränktheit nach unten definiert. Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.

Eine Funktion heißt achsensymmetrisch zur Y‐Achse, wenn gilt. Sie heißt punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt.

Tipp

• Achsensymmetrische Funktionen werden auch als gerade Funktionen bezeichnet (weil unter anderem die geraden Potenzen diese Eigenschaft haben).
• Punktsymmetrische Funktionen werden auch als ungerade Funktionen bezeichnet (weil unter anderem die ungeraden Potenzen diese Eigenschaft haben).
• Die Summe und die Differenz gerader Funktionen sowie das Produkt und der Quotient zweier...