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Grundbegriffe

In diesem Kapitel

• Summen- und Produktzeichen
• Mengenlehre
• Binomialkoeffizienten
• Vollständige Induktion

»Aller Anfang ist schwer« …sagt man gewöhnlich, doch nicht in diesem Buch! Das aktuelle Kapitel dient dazu, Ihnen den Anfang so einfach wie möglich zu machen. Hier werden die grundlegenden Ideen vorgestellt, und Ihnen wird das Werkzeug an die Hand gegeben, das Sie im Verlauf des Buchs immer wieder benötigen. Als erstes geht es um häufig verwendete mathematische Symbole, anschließend werden Mengen und der binomische Lehrsatz vorgestellt. Den Abschluss bildet die vollständige Induktion, die als einfaches Beweisverfahren an zahlreichen Stellen im Schnellkurs benötigt wird.

1.1 Summen- und Produktzeichen

In diesem kurzen Abschnitt wird auf einige in der Mathematik übliche Symbole eingegangen, die sehr oft Verwendung finden. Es geht um die kompakte Darstellung von Summen und Produkten, deren Ursache zum Teil in der Faulheit von Mathematikern zu finden ist. Diese Grundlagen sind im Rahmen einer Einführung zentral, und Sie sollten den Abschnitt aufmerksam lesen, sofern Sie mit der erklärten Symbolik nicht vertraut sind. Wissen Sie bereits Bescheid, dann können Sie das Kapitel problemlos überspringen.

In der höheren Mathematik können sowohl Summen als auch Produkte auftreten, die aus sehr vielen oder sogar unendlich vielen Gliedern bestehen. Um einem das Leben leichter zu machen, dient zur kurzen Darstellung von Summen das

Hierbei nennt man i den Summationsindex, über den die Summe läuft. Unterhalb des Summenzeichens wird dessen Startwert angegeben und oberhalb der Endwert. Wie Sie den Summationsindex nennen, ist nicht wichtig. Schauen Sie sich dazu die folgenden Beispiele an:

Summationsindizes lassen sich verschieben, wobei der Wert der Summe jedoch gleich bleibt. Für die Summe aus (Gl. 1.1) kann man z.B. die Ersetzung i = i′ + 1 vornehmen, wobei i′ ein neuer Summationsindex ist. Für i = 1 bzw. i = n gilt dann i′ = 0 und i′ = n - 1. Dem neuen Summationsindex gibt man oft wieder den Namen des alten Indexes:

Dabei wird der erste Schritt meistens weggelassen. Ebenso kann man Teile der Summe abspalten, womit sich der Startwert bzw. der Endwert des Summationsindex ändert, also

Zur Darstellung von Produkten dient das Produktzeichen, das ähnlich wie das Summenzeichen funktioniert:

Hier ist i der Produktindex. Unterhalb des Produktzeichens wird auch hier der Startwert angegeben und oberhalb der Endwert. Zum Verständnis dienen wieder einige Beispiele:

Ebenso lässt sich bei Produkten der Index verschieben. Führt man einen neuen Index i′ gemäß i = i′- 1 ein, so entsprechen i = 1 bzw. i = n den neuen Indexgrenzen i′ = 2 bzw. i′ = n + 1. Dann geht das Produkt aus (Gl. 1.5) in das folgende über, dessen Wert jedoch nach wie vor derselbe ist:

Analog zu Summen kann man einzelne Faktoren abspalten oder hinzufügen. Für (Gl. 1.5) gilt dann:

Diese Art, Summen und Produkte abkürzend zu schreiben, ist ungemein wichtig in der höheren Mathematik. Sowohl in Vorlesungen als auch in der einschlägigen Literatur wird davon ausgiebig Gebrauch gemacht. Deshalb ist es sehr wichtig, dass Sie mit den Symbolen umgehen können. Sie sollten sowohl ihre Definitionen verstehen als auch Indexverschiebungen beherrschen, die oft ohne weitere Erklärung durchgeführt werden.

1.2 Mengenlehre

Die Mengenlehre ist ein großer Teil des Fundaments, auf dem die Mathematik aufbaut. Sie beschäftigt sich mit den sogenannten Mengen an sich sowie dem Rechnen mit Mengen. Cantor leistete auf diesem Gebiet Bahnbrechendes, und seine Definition einer Menge wird auch heute noch verwendet. Laut Cantor ist eine Menge eine Zusammenfassung wohldefinierter, unterscheidbarer Dinge zu einem Ganzen. Das hört sich schon ziemlich abstrakt an, was für eine mathematische Definition nicht unüblich ist. Doch eigentlich ist eine Menge eines der normalsten Dinge der Welt.

In Ihrem Sprachgebrauch haben Sie diesen Begriff sicherlich schon oft verwendet, ohne darüber nachzudenken. Wenn Sie sagen, dass jemand eine Menge Geld hat oder die Kinder des Nachbarn eine Menge Spielzeug, dann sind das bereits geläufige Beispiele. In diesem Sinne steht eine Menge immer für viel, doch eine Menge in der Mathematik muss nicht notwendigerweise viele Dinge enthalten. Manchmal kann das nur eine einzige Sache sein oder es gibt auch Mengen, die leer sind! Schauen Sie sich die im folgenden Abschnitt aufgeführten Beispiele an, um sich mit dem mathematischen Begriff der Menge vertraut zu machen.

Abb. 1.1 Zwei Mengen, die verschiedene Dinge umfassen

Man kann Mengen anschaulich darstellen. Nehmen Sie ein Blatt Papier und zeichnen Sie darauf verschiedene Dinge. Um auf das Beispiel eine Menge Geld einzugehen, können Sie ein paar 20- und 50-Euro-Scheine zeichnen. Das ist dann sicherlich schon eine Menge Geld, wenn auch nur auf dem Papier. Umschließen Sie die Zeichnung danach mit einem Kreis oder einem Oval; dann haben Sie bereits die anschauliche Darstellung einer Menge (Abb. 1.1a). Geht es um eine Menge Spielzeug, können Sie ähnlich vorgehen. Malen Sie z.B. einen Teddybären, eine Spielzeugeisenbahn und eine Puppe, und umschließen Sie das alles wieder mit einem Oval (Abb. 1.1b). Im Allgemeinen nennt man die Dinge, die sich in einer Menge befinden, die Elemente dieser Menge.

Schreibweise

In der Mathematik an sich arbeitet man nicht mit Spielzeug oder Geld; als Mathematiker an der Universität wird man auch sicher nicht reich. Es geht dann eher darum, mit Zahlen oder anderen mathematischen Objekten umzugehen. Schreiben Sie auf ein Blatt Papier eine 2, 3, 5, 7, 13, und umschließen Sie das wieder mit einem Oval. Dann haben Sie eine Menge, die eben diese Zahlen als Elemente enthält. Mathematiker sind in der Regel faul und möchten das Ganze einfacher schreiben. Öffnen Sie eine geschweifte Klammer, und schreiben Sie die Elemente der Menge nacheinander auf. Dabei trennen Sie die einzelnen Elemente mit einem Komma voneinander und schließen die Klammer am Schluss wieder. Dann sollte {2, 3, 5, 7, 13} auf Ihrem Blatt stehen, und genau auf diese Weise schreiben Mathematiker Mengen.

Hantiert man mit unterschiedlichen Mengen, gibt man diesen Bezeichnungen, z.B. A = {2, 3, 5, 7, 13} und B = {5, 7, 11}. Dabei kommt es übrigens nicht auf die Reihenfolge der einzelnen Elemente an. Also handelt es sich bei A = {3, 2, 5, 7, 13} = {13, 7, 5, 3, 2} = {5, 13, 2, 7, 3} jeweils um dieselbe Menge. Wie Sie sehen, kommt auch jedes Element nur einmal vor, denn nach Cantor sollen die Elemente unterscheidbar sein. Von daher ist {2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 13, 13} = {2, 3, 5, 7, 13} = A. Es ist auch unnötig, gleiche Elemente mehrfach aufzuführen. Möchte man sagen, dass ein bestimmtes Element in einer Menge liegt oder nicht liegt, so tut man das durch die Schreibweise 7 ∈ A bzw. 13B. Übrigens gibt es auch eine Menge, die keinerlei Elementeenthält. Man bezeichnet sie als leere Menge und schreibt sie in der Form {} oder als ∅.

Mengendiagramme

Am Anfang des Kapitels haben Sie Mengen grafisch dargestellt, indem Sie deren Elemente aufgezeichnet und diese mit einem Oval umschlossen haben. Derartige Darstellungen sind nicht einfach nur dazu da, um Ihnen den Mengenbegriff näher zu bringen, sondern sie werden tatsächlich so auch von Mathematikern benutzt; man nennt sie Mengendiagramme. Wenn die Elementeeiner Menge nicht näher bestimmt sein sollen, malt man einfach ein leeres Oval und schreibt den Namen der Menge hinein. Eine derartige Darstellung ist vor allem am Anfang überaus hilfreich und erleichtert den Umgang mit Mengen ungemein.

Mengenoperationen

Eine bestimmte Menge an sich kann für den Mathematiker bereits interessant sein. Oft ist man jedoch nicht einfach nur an...