Kapitel 1

Mathematische Buddelkiste

IN DIESEM KAPITEL

• Physikalische Einheiten kennenlernen
• Rechnen mit Skalaren und Vektoren
• Mit Sinus, Kosinus und komplexen Zahlen rechnen
• Differentiation und Integration verstehen
• Näherungen mathematischer Funktionen mittels Reihenentwicklung

Vieles in der Physik wird mit mathematischen Methoden behandelt. Sie brauchen aber keine Angst zu haben, ein volles Mathematikstudium ist nicht nötig, um Physik zu verstehen. In diesem Kapitel können Sie sich mit einigen mathematischen Vorgehensweisen vertraut machen. Wahrscheinlich haben Sie vieles davon schon einmal gehört und können es bereits einsetzen. Falls nicht, können Sie jederzeit auf dieses Kapitel zurückgreifen, wenn konkreter Bedarf bei der Behandlung eines physikalischen Themas besteht. Außerdem lernen Sie hier die Bedeutung von physikalischen Einheiten, die (fast) alle Größen, die in diesem Buch behandelt werden, begleiten. Wenn Sie diese Grundbegriffe schon beherrschen, können Sie dieses Kapitel auch glatt überspringen.

Physikalische Größen und Einheiten

Eine Grundunterscheidung physikalischer Größen ist die in Skalare und Vektoren. Skalare Größen haben einen Wert, vektorielle Größen einen Wert und eine Richtung.

Ein Skalar ist eine Größe, die nur einen Betrag beziehungsweise eine Länge hat.

Beispielsweise ist ein Skalar, die Temperatur.

Ein Vektor ist eine Größe, die außer ihrem Betrag noch eine Richtung hat, in die sie zeigt.

Zum Beispiel bezeichnet einen Vektor, die Kraft.

Offensichtlich hat Temperatur keine Richtung, in der sie zeigt, daher ist sie ein Skalar. Kraft hingegen hat sowohl einen Wert (wie groß ist die Kraft?) als auch eine Richtung (wohin zeigt die Kraft?).

Physiker unterscheiden Skalare und Vektoren in ihrer Schreibweise. Skalare physikalische Größen sind üblicherweise mit kursiven Buchstaben gekennzeichnet, Vektoren mit fetten und kursiven. In handgeschriebenen Texten, manchmal auch in Büchern, wird bei Vektoren ein Pfeil über den Buchstaben gesetzt oder ein Strich unter dem Buchstaben , da man handschriftlich zwischen fetten und nicht-fetten Buchstaben nur schwer unterscheiden kann. Manchmal interessiert man sich nicht für die Richtung einer vektoriellen Größe, zum Beispiel wenn klar ist, wohin sie zeigt. Dann berechnet man nur den Betrag einer vektoriellen Größe (ihren Wert). Die Schreibweise lautet dabei

und das Symbol für die physikalische Größe kann wieder in skalarer Schreibweise (nicht-fett und kursiv) geschrieben werden.

Welche Einheit hat die Größe

Physikalische Größen haben meist eine Einheit. Für den Begriff »Einheit einer Größe« gibt es eine spezielle Schreibweise: Die Größe wird in eckige Klammern gesetzt, die Einheit selbst wird immer nicht-kursiv gesetzt, also zum Beispiel

heißt, dass die Einheit der Temperatur das Kelvin ist und

bedeutet, dass die Einheit des elektrischen Feldes oder auch ist. Raumtemperatur wird also zum Beispiel mit angegeben, während ein elektrisches Feld sein könnte.

Manchmal werden mehrere Einheiten zu neuen zusammengefasst, um sich die Schreibarbeit zu erleichtern, aber auch um die Bedeutung einer bestimmten physikalischen Größe hervorzuheben. Als Beispiel sei hier die Einheit der Kraft aufgeführt, die sich ergibt zu

Die aus Kilogramm, Meter und Sekunde bestehende Einheit der Kraft bekommt einen neuen Namen, das Newton (N). Allgemein gibt es die so genannten SI Einheiten (Système International d'unités), die festgelegt werden. Es sind dies das Kilogramm (kg), der Meter (m), die Sekunde (s), das Ampère (A), das Kelvin (K), das Mol (mol) und das Candela (cd). Die zusammengesetzten Größen heißen abgeleitete Einheiten wie zum Beispiel das Newton (N).

Einen weiteren Punkt gibt es noch im Zusammenhang mit Einheiten. Viele Einheiten sind mit einem Multiplikator von zehn hoch irgendetwas versehen, nämlich dann, wenn der Zahlenwert besonders groß oder klein ist. Zum Beispiel kommen Kondensatoren, Bauelemente zur Speicherung elektrischer Ladung, oft in Millionstel oder Milliardstel der Grundeinheit F (Farad) her. Ein Millionstel schreiben die Physiker entweder als oder indem sie der Einheit ein voranstellen, also . Ein Milliardstel wird als geschrieben oder durch ein vorangesetztes gekennzeichnet, also . Diese Faktoren müssen bei der Multiplikation von Einheiten korrekt berücksichtigt werden. In Tabelle 1.1 finden Sie die am häufigsten verwendeten Vorfaktoren.

Tabelle 1.1: Häufig verwendete Vorfaktoren

Rechnen mit Skalaren

Rechenoperationen mit Skalaren verlaufen so, wie sie es von den natürlichen Zahlen gewohnt sind. Zur Addition werden die Skalare einfach addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert. Da bei eingesetzten Zahlenwerten oft eine Einheit dabei ist, müssen Sie darauf achten, dass Sie nur Skalare mit der gleichen Einheit addieren oder subtrahieren. Bei der Multiplikation oder Division multiplizieren und dividieren Sie die Einheit einfach mit. Im Allgemeinen erhalten Sie dann eine neue, andere Einheit, aber das ist in Ordnung. Ein Beispiel, das Sie physikalisch noch nicht verstehen müssen, ist

und erklärt die Enthalpie als die Summe von innerer Energie und dem Produkt aus Druck und Volumen . Über den physikalischen Inhalt erfahren Sie viel im Teil B, Thermodynamik. Hier ist nur interessant, dass alle Größen Skalare sind und wie Sie beim Addieren mit der Einheit umgehen sollen. Die vorkommenden Einheiten sind (Joule), wobei ist, also Energie die Einheit von Kraft (Newton) mal Weg (Meter) hat. Die Einheit des Drucks ist und die vom Volumen . Das Produkt aus Druck und Volumen müsste jetzt die gleiche Einheit ergeben wie die Enthalpie beziehungsweise die inneren Energie, nämlich das Joule, für das J steht, sonst dürften Sie sie nicht addieren. Multiplizieren Sie einmal die Einheiten von und miteinander, finden Sie, dass

Das Produkt aus Druck und Volumen hat somit ebenfalls die Einheit J. Sie können also getrost die Terme und addieren. Eine wertvolle Hilfe kann es in diesem Zusammenhang sein, alle Einheiten auf SI Einheiten zurückzuführen.

Beispiel zur Addition von Skalaren mit physikalischen Einheiten

Berechnen Sie die Enthalpie eines idealen Gases in einem geschlossenen Behälter mit Volumen und einem Druck von und einer inneren Energie von .

Der Ausdruck für die Enthalpie, die Sie in Kapitel 10, Abschnitt »Mit Enthalpie Gase verschieben« genauer kennen lernen werden, lautet

und Sie können direkt einsetzen:

Der Punkt, den Sie bei diesem Beispiel verstanden haben sollten, ist dass sich die beiden Terme, und , nur addieren lassen, weil sie die gleiche physikalische Einheit haben.

Wenn Sie einmal bei einer Rechnung oder beim Herleiten eines physikalischen Zusammenhangs stecken geblieben sind, können Sie einen Einheitencheck machen, um zu sehen, ob Ihre Einheiten noch richtig sind. Häufig erkennt man so einen Fehler in einer Herleitung, den man anders nicht so leicht finden würde.

Mit Vektoren rechnen

Bei Vektoren haben die Rechenoperationen andere Regeln als bei Skalaren. Bevor Sie loslegen müssen Sie deshalb immer wissen, ob Sie über einen Vektor oder einen Skalar reden. Da Vektoren immer auch eine Richtung beinhalten, muss diese beim Zahlenwert des Vektors mit angegeben sein. Wie macht man das? Nun, Sie denken sich die Richtung und Größe als durch drei Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben. Man gibt an, wie weit man erst in -Richtung, dann in -Richtung und dann in -Richtung gehen muss, um vom Anfang bis an die Pfeilspitze des Vektors zu gelangen. Die komponentenweise Darstellung für den elektrischen...