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Dynamik meromorpher Funktionen auf der Riemannschen Zahlenkugel

Zur Charakterisierung von Julia-Mengen

Autor	Christoph Dötsch
Verlag	diplom.de
Erscheinungsjahr	2014
Seitenanzahl	101 Seiten
ISBN	9783836610261
Format	PDF
Kopierschutz	kein Kopierschutz/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	48,00 EUR

Inhaltsangabe:Gang der Untersuchung: Diese Diplomarbeit vollzieht den für die Entwicklung der komplexen Dynamik so bedeutsamen Schritt der Anwendung des Konzeptes der normalen Familie nach. Während wir in Kapitel 1 funktionentheoretische Grundlagen und grundlegende Definitionen einführen und insbesondere zeigen, dass die rationalen Funktionen genau die auf C meromorphen Funktionen sind, wird im 2. Kapitel bereits der Begriff der normalen Familie meromorpher Funktionen eingeführt. In Abschnitt 2.2 beweisen wir den Satz von Arzelà und Ascoli (vergl. Satz 2.4), welcher normale Familien mit gleichgradig stetigen Familien in Zusammenhang bringt. In Abschnitt 2.3 wird der für die Arbeiten von Fatou und Julia sehr bedeutende Satz von Montel zitiert, mit dessen Hilfe besonders im 3. Kapitel viele Beweise geführt werden. Dieser Satz besagt anschaulich formuliert, dass, wenn jede Funktion einer Familie meromorpher (rationaler) Funktionen (mindestens) drei paarweise verschiedene Werte a, b, c 2 C nicht annimmt (diese müssen für jede Funktion dieselben drei paarweise verschiedenen Werte sein), diese Familie normal ist (vergl. Satz 2.5). Im 3. Kapitel werden die Julia - und Fatou - Menge über den Begriff der normalen Familie definiert und grundlegende Eigenschaften dieser Mengen bewiesen. In Abschnitt 3.2 werden die periodischen Orbits eingeführt und anhand ihrer Eigenwerte klassifiziert. Ein Ergebnis dieses Abschnittes ist, dass die (super)attraktiven periodischen Orbits in der Fatou - Menge und die repulsiven periodischen Orbits in der Julia - Menge liegen. In Abschnitt 3.3 wird die so genannte Ausnahmemenge eingeführt (vergl. Def. 3.19), anhand welcher deutlich wird, dass die für Julia - Mengen typische, bereits angedeutete lokale Abstoßung tatsächlich globaler Natur ist. Am Ende von Kapitel 3 beweisen wir den Satz, dass die Menge [ n2N0 {z 2 CIRn(z) = z0} (wobei z0 Element aus der Julia - Menge ist und R eine rationale Funktion vom Grad größer gleich 2) dicht in der Julia - Menge liegt. Aus diesem Satz werden wir im 4. Kapitel einen Algorithmus zum Zeichnen von Julia - Mengen mit einem Computer entwickeln und Julia - Mengen anhand ausgewählter Beispiele betrachten. Im 4. Kapitel wird insbesondere noch einmal das Newtonverfahren an einem Beispiel genauer betrachtet. Im 5. Kapitel werden wir dann die in Kapitel 3 über den Begriff der normalen Familie funktionentheoretisch definierten Julia - Mengen dynamisch charakterisieren, nämlich als den Abschluss [...]

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Inhaltsverzeichnis

Dynamik meromorpher Funktionen auf der Riemannschen Zahlenkugel	1
Inhaltsverzeichnis	3
Abbildungsverzeichnis	5
Notationen	6
Einleitung	7
1 Hintergrund und Bezeichnungen	14
1.1 Rationale Abbildungen R : C . C	14
1.2 Rationale und meromorphe Funktionen auf C	19
1.3 Diskrete dynamische Systeme und grundlegende Definitionen	23
1.4 Möbiustransformation und Konjugation	24
2 Normale Familien und gleichgradige Stetigkeit	26
2.1 Definitionen und Sätze über metrische Räume	26
2.2 Normale und gleichgradig stetige Familien	27
2.3 Satz von Montel	30
3 Julia - Mengen	32
3.1 Definition und grundlegende Eigenschaften	32
3.2 Periodische Punkte und periodische Orbits	39
3.3 Folgerungen aus dem Satz von Montel	44
3.3.1 Folgerungen für Ausnahmemengen	44
3.3.2 Folgerungen für Julia-Mengen	50
4 Graphische Darstellungen von Julia-Mengen	54
4.1 Ein Algorithmus zum Zeichnen von Julia-Mengen	54
4.2 Julia - Mengen zum Anschauen: komplizierte dynamische Zerlegung von C	63
4.3 Das Newton-Fraktal	71
5 Der Zusammenhang von Julia-Mengen und periodischen Repellern	76
5.1 Teil 1: J(R) . Per(R)	77
5.1.1 Kritische Punkte und Werte, Defekt	77
5.1.2 Anzahl der kritischenWerte	79
5.1.3 Beweis von J(R) . Per(R)	84
5.2 Teil 2: J(R) ist der Abschluss der repulsiven periodischen Punkte	86
5.2.1 Funktionentheoretische Vorbereitungen	86
5.2.2 Die Anzahl (super)attraktiver periodischer Punkte ist endlich	87
5.2.3 Die Anzahl nicht hyperbolischer periodischer Punkte ist endlich	93
Literatur	98

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