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E-Book

Mathematik für Informatiker

AutorManfred Brill
VerlagCarl Hanser Fachbuchverlag
Erscheinungsjahr2005
Seitenanzahl455 Seiten
ISBN9783446400542
FormatPDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis23,99 EUR
Die Informatik entwickelt sich in einer unglaublichen Geschwindigkeit. Häufig ist die Mathematik Grundlage von Neuerungen. Deshalb ist sie unverzichtbares Werkzeug jedes Informatikers und Pflichtfach im Studium.Dieses Lehrbuch vermittelt die mathematischen Grundlagen der Informatik anschaulich und leicht nachvollziehbar. Dabei bleibt die Mathematik nicht reiner Selbstzweck. Vielmehr zeigt der Autor immer die Querverbindungen zur Informatik auf. Bei allen Themen, von der Aussagenlogik über die Lineare Algebra bis zur Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung, schlägt er die Brücke zur praktischen Anwendung. Vorgestellte Anwendungsgebiete sind z.B.: Relationale Datenbanken und SQL als Anwendung der relationalen Algebra, Public-Key-Kryptographie als Anwendung der Zahlentheorie, Landau'sche Symbole als Anwendung von Konvergenz von unendlichen Folgen, Transformationen in der Computergrafik als Anwendung von linearen Abbildungen.Jedes Kapitel enthält Übungsaufgaben und Verständnisfragen.

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Kapitelübersicht
  1. Inhaltsverzeichnis und Vorwort
  2. Zahlensysteme
  3. Mengenlehre
  4. Logik
  5. Relationen und Abbildungen
  6. Lineare Gleichungssysteme und Determinanten
  7. Zahlentheorie
  8. Graphentheorie
  9. Algebraische Strukturen
  10. Vektoralgebra
  11. Vektorräume
  12. Lineare Abbildungen
  13. Folgen und Reihen
  14. Differenzialrechnung
  15. Integralrechnung
  16. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
  17. Literatur- und Stichwortverzeichnis
Leseprobe
Kapitel 9 Vektoralgebra (S. 221)

Motivation

Vektoren im anschaulichen dreidimensionalen Raum und ihre Verallgemeinerung im Rn bilden die Basis f ür viele mathematische Modelle auf dem Computer. Es ist kein Zufall, dass Felder zu den ersten Datenstrukturen gehören, die Sie im Informatikstudium kennen lernen. Das Skalar- und das Vektorprodukt, die Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen im Rn sind elementare Grundlagen. Die in diesem Kapitel eingeführten Begriffe bilden die anschauliche Basis für den im folgenden Kapitel eingeführten abstrakten Vektorraum.

9.1 Geometrische Vektoren

Physikalische Werte wie Flächeninhalt, Längen, Masse oder Temperatur sind durch die Angabe ihres Betrages vollständig beschrieben. Vektorielle Größen dagegen benötigen zusätzlich die Angabe einer Richtung. Beispielsweise wird die Windbewegung als 10 km/h Südost, durch den Betrag der Geschwindigkeit und eine Richtung angegeben. Anschaulich werden diese Größen durch Pfeile dargestellt, die Richtung des Vektors entspricht der Pfeilrichtung. In der zweidimensionalen Ebene kann ein Vektor als ein geordnetes Paar von Punkten angesehen werden; der Vektor verbindet einen Anfangs- und einen Endpunkt. Um Vektoren und Skalare im Text zu unterscheiden, werden Vektoren in diesem Buch immer als fett gedruckte Kleinbuchstaben x geschrieben. Die auftretenden Zahlen werden Skalare genannt und mit kleinen griechischen Buchstaben gekennzeichnet. Punkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet

Motivation

Vektoren im anschaulichen dreidimensionalen Raum und ihre Verallgemeinerung im Rn bilden die Basis für viele mathematische Modelle auf dem Computer. Es ist kein Zufall, dass Felder zu den ersten Datenstrukturen gehören, die Sie im Informatikstudium kennen lernen. Das Skalar- und das Vektorprodukt, die Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen im Rn sind elementare Grundlagen. Die in diesem Kapitel eingeführten Begriffe bilden die anschauliche Basis für den im folgenden Kapitel eingeführten abstrakten Vektorraum.

9.1 Geometrische Vektoren

Physikalische Werte wie Flächeninhalt, Längen, Masse oder Temperatur sind durch die Angabe ihres Betrages vollständig beschrieben. Vektorielle Größen dagegen benötigen zusätzlich die Angabe einer Richtung. Beispielsweise wird die Windbewegung als 10 km/h Südost, durch den Betrag der Geschwindigkeit und eine Richtung angegeben. Anschaulich werden diese Größen durch Pfeile dargestellt, die Richtung des Vektors entspricht der Pfeilrichtung. In der zweidimensionalen Ebene kann ein Vektor als ein geordnetes Paar von Punkten angesehen werden; der Vektor verbindet einen Anfangs- und einen Endpunkt. Um Vektoren und Skalare im Text zu unterscheiden, werden Vektoren in diesem Buch immer als fett gedruckte Kleinbuchstaben x geschrieben. Die auftretenden Zahlen werden Skalare genannt und mit kleinen griechischen Buchstaben gekennzeichnet. Punkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis6
Vorwort10
DieWebsite zum Buch11
Kapitel 1 Zahlensysteme12
Motivation12
1.1 Von den natürlichen zu den reellen Zahlen12
1.2 Komplexe Zahlen17
1.3 Summen und Produkte22
1.4 Stellenwertsysteme25
1.5 Zahlendarstellung im Computer30
1.6 Matrizen40
1.7 Aufgaben46
Kapitel 2 Mengenlehre50
Motivation50
2.1 Mengen50
2.2 Mengenoperationen54
2.3 Permutationen und Kombinationen58
2.4 Das Inklusions-Exklusions-Prinzip64
2.5 Aufgaben67
Kapitel 3 Logik70
Motivation70
3.1 Aussagenlogik70
3.2 Logische Ausdrücke und Schaltkreise76
3.3 Prädikate und Quantoren80
3.4 Mathematische Beweise83
3.5 Aufgaben85
Kapitel 4 Relationen und Abbildungen88
Motivation88
4.1 Relationen88
4.2 Äquivalenzrelationen93
4.3 Ordnungsrelationen97
4.4 Abbildungen und Funktionen105
4.5 Relationen und Datenbanken108
4.6 Abzählbarkeit und Berechenbarkeit111
4.7 Aufgaben116
Kapitel 5 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten118
Motivation118
5.1 Lineare Gleichungssysteme118
5.2 Die Matrixdarstellung der Gauß -Elimination124
5.3 Die LU-Zerlegung129
5.4 Determinanten134
5.5 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix138
5.6 Aufgaben141
Kapitel 6 Zahlentheorie144
Motivation144
6.1 Primzahlen und Teiler144
6.2 Der Euklidische Algorithmus150
6.3 Modulare Arithmetik153
6.4 Zahlentheorie und Kryptographie161
6.5 Aufgaben169
Kapitel 7 Graphentheorie172
Motivation172
7.1 Grundlegende Begriffe und Definitionen172
7.2 Bäume180
7.3 Aufspannende Bäume und kürzeste Wege186
7.4 Planare Graphen und Färbungen194
7.5 Bipartite Graphen und Matchings200
7.6 Aufgaben205
Kapitel 8 Algebraische Strukturen210
Motivation210
8.1 Gruppen210
8.2 Homomorphismen214
8.3 Ringe und Körper218
8.4 Polynome und Polynomringe220
8.5 Boolesche Algebren227
8.6 Aufgaben229
Kapitel 9 Vektoralgebra232
Motivation232
9.1 Geometrische Vektoren232
9.2 Geraden und Ebenen im Rn235
9.3 Das euklidische Skalarprodukt im Rn239
9.4 Das Vektorprodukt im R3246
9.5 Vektoren, Punkte und Matrizen249
9.6 Aufgaben250
Kapitel 10 Vektorräume252
Motivation252
10.1 Vektorräume252
10.2 Linearkombinationen255
10.3 Basis und Dimension258
10.4 Zeilen- und Spaltenräume263
10.5 Vektorräume mit Skalarprodukt266
10.6 Aufgaben274
Kapitel 11 Lineare Abbildungen276
Motivation276
11.1 Lineare Abbildungen276
11.2 Lineare Abbildungen und Matrizen280
11.3 Affine Räume284
11.4 Das Diagonalisierungsproblem291
11.5 Kegelschnitte und quadratische Formen298
11.6 Aufgaben301
Kapitel 12 Folgen und Reihen304
Motivation304
12.1 Folgen und ihre Eigenschaften304
12.2 Konvergenz von Folgen307
12.3 Reihen312
12.4 Potenzreihen318
12.5 Die Landau´schen Symbole321
12.6 Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme326
12.7 Aufgaben329
Kapitel 13 Differenzialrechnung332
Motivation332
13.1 Funktionen332
13.2 Funktionen und Grenzwerte337
13.3 Der Ableitungsbegriff346
13.4 Mittelwertsätze und Taylor-Entwicklung355
13.5 Lokale Extrema362
13.6 Polynom-Interpolation367
13.7 Aufgaben374
Kapitel 14 Integralrechnung378
Motivation378
14.1 Flächeninhalte378
14.2 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale384
14.3 Integrationstechniken387
14.4 Numerische Integration391
14.5 Numerische Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen397
14.6 Aufgaben406
Kapitel 15 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik410
Motivation410
15.1 Beschreibende Statistik410
15.2 Wahrscheinlichkeitstheorie417
15.3 Zufallsvariable425
15.4 Diskrete und stetige Verteilungen435
15.5 Schätzverfahren in der schließenden Statistik443
15.6 Aufgaben447
Literaturverzeichnis450
Stichwortverzeichnis452
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