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Bewegungen in zwei Dimensionen

In zwei Dimensionen müssen Sie die Größen zur Beschreibung einer Bewegung (Translation, Geschwindigkeit und Beschleunigung) als Vektoren schreiben. Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das einen Betrag und eine Richtung besitzt. Gleichungen, die Vektoren enthalten, können Sie immer in sogenannte Vektorkomponenten zerlegen. Auf diese Weise erhalten Sie zwei unabhängige Gleichungen, die dem eindimensionalen Fall sehr ähnlich sind und sich wesentlich einfacher lösen lassen als die zweidimensionale Gleichung.

Themenfelder der Aufgaben

In diesem Kapitel üben Sie den Umgang mit dem Rüstzeug zur Beschreibung zweidimensionaler Bewegungen:

Addition und Subtraktion von Vektoren

Multiplizieren eines Vektors mit einem Skalar

Zerlegung eines Vektors in seine Komponenten

Betrag und Richtung eines Vektors bestimmen

Translation, Geschwindigkeit und Beschleunigung in zwei Dimensionen

Flugbahnen und -zeiten von Geschossen

Wichtige Lerninhalte

Um beim Rechnen nicht die Richtung zu verlieren, müssen Sie auf folgende Punkte besonders achtgeben:

Identifizieren Sie den richtigen Quadranten, wenn Sie die Richtung eines Vektors bestimmen möchten!

Zerlegen Sie Vektoren in ihre Komponenten, bevor Sie sie addieren oder subtrahieren!

Denken Sie daran, dass die vertikale Komponente des Geschwindigkeitsvektors am höchsten Punkt einer Flugbahn immer null ist!

Beim freien Fall eines Körpers ist die horizontale Komponente der Beschleunigung immer null!

Das kleine Einmaleins der Vektoren

71.  Wie viele Zahlen benötigen Sie, um einen zweidimensionalen Vektor eindeutig zu beschreiben?

72. Markus fährt 45 Kilometer in einem Winkel von 11 in nordwestliche Richtung. Welcher der unterstrichenen Begriffe gibt den Betrag von Markus’ Verschiebungsvektor an?

Vektoren addieren und subtrahieren

73. Der Vektor zeigt nach Westen, der gleich lange Vektor nach Norden. In welche Richtung zeigt der daraus resultierende Vektor + ?

74. Drei Vektoren , und zeigen allesamt nach rechts und haben die Längen 3, 5 beziehungsweise 2 Zentimeter. Wie lang (in cm) ist der resultierende Vektor, wenn Sie die drei Vektoren addieren?

75. Peter steht direkt bei einer Markierung am Boden. Dann dreht er sich nach links und läuft 12 Meter weit. Dort angekommen, dreht er sich um 180 und läuft dann 14 Meter in die entgegengesetzte Richtung. Um wie viele Meter weiter entfernt von der Markierung wäre Peter angekommen, wenn er stattdessen zuerst 14 Meter weit nach rechts und anschließend 12 Meter in die entgegengesetzte Richtung gelaufen wäre?

Vektoraddition in Komponentendarstellung

76.  Seien zwei Vektoren = und = gegeben. Wie sieht in diesem Koordinatensystem der Vektor + aus?

77. Sei = . Was ist dann der Vektor ?

78. Sei = und = . Berechnen Sie 3 + 5.

79. Seien drei Vektoren = , = und = gegeben. Lösen Sie die Vektorgleichung 2 - 3 = - 3 nach auf und geben Sie in Komponentendarstellung an.

Vektoren fachgerecht zerlegen

80.  Der Vektor hat einen Betrag von 28 Zentimetern und zeigt in eine Richtung von 80 bezüglich der positiven x-Achse. Wie groß ist die y-Komponente des Vektors? Runden Sie Ihr Ergebnis auf Zehntelzentimeter.

81. Der Vektor ist 8 Meter lang und zeigt von der positiven x-Achse aus gesehen 40 nach unten. Berechnen Sie die vertikale Komponente des Vektors auf eine Nachkommastelle genau.

82. Mit einem Seil zieht Stefan eine Kiste 15 Meter den Boden entlang. Er übt dabei eine Kraft von 150 N in einem Winkel von 35 (vom Boden gemessen) aus. Die von Stefan verrichtete Arbeit ist definiert als das Produkt der zurückgelegten Strecke und der Kraft in Bewegungsrichtung. Wie viel Arbeit hat Stefan verrichtet? Runden Sie das Ergebnis auf Zehnerstellen.

83. Drei Kräfte mit den zahlenmäßigen Beträgen 100, 60 und 140 ziehen an einem Stuhl. Bezogen auf die positive x-Achse setzen sie in einem Winkel von 20, 80 und 150 an. Wie sieht der resultierende Kraftvektor in Komponentendarstellung aus? Runden Sie auf ganze Zahlen.

So basteln Sie Vektoren aus Komponenten zusammen

84.  Welchen Betrag und welche Richtung (in bezüglich der positiven x-Achse) hat der Vektor = ? Runden Sie das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

85. Es seien die beiden Vektoren = und = gegeben. Welchen Winkel bezüglich der positiven x-Achse schließt der Summenvektor = + ein? Runden Sie auf eine Nachkommastelle.

86. Sie laufen 12 Schritte nach Norden, 11 nach Osten, 6 nach Süden und schließlich noch 20 Schritte nach Westen. Welchen Betrag (in Schritten) und welche Richtung (in bezüglich der positiven x-Achse) hat der resultierende Verschiebungsvektor? Runden Sie auf ganze Zahlen.

87. Angelika lebt ganz in der Nähe des Berliner Flughafens Tegel. Von dort fährt sie mit einem Mietwagen 500 Kilometer nach Süden und 150 Kilometer nach Westen bis zum Flughafen München. Dort steigt sie in ein Flugzeug und fliegt zum Flughafen Frankfurt. Am nächsten Tag fliegt sie von dort wieder nach Berlin Tegel zurück. Dabei beträgt die Flugstrecke 450 Kilometer und das Flugzeug fliegt in einem Winkel von 40 (von der nach Osten weisenden x-Achse aus gezählt) in nordöstliche Richtung. Wie weit (in ganzzahligen Kilometern) sind die Flughäfen München und Frankfurt voneinander entfernt?

Bewegungen in zwei Dimensionen

88.  Leon fährt mit einer Geschwindigkeit von 50 m∕s unter einem Winkel von 70 in nordöstliche Richtung. Wie schnell bewegt sich Leon in nördlicher Richtung fort? Runden Sie Ihr Ergebnis auf ganze Zahlen.

89. Sie laufen erst 25 Meter unter einem Winkel von 30 in nordwestliche Richtung, anschließend geht es 15 Meter in Richtung 30 Nordost. Wie weit sind Sie insgesamt in Richtung Norden beziehungsweise Süden gelaufen?

90. Jonas steht an der Ecke eines rechteckigen Parkplatzes. Er möchte zu einem Briefkasten laufen, der in der entgegengesetzten Ecke aufgehängt ist. Der Briefkasten ist 34 Meter entfernt und befindet sich in einem Winkel von 70 in nordöstlicher Richtung. Dummerweise wird der Parkplatz gerade neu asphaltiert, so dass Jonas nicht diagonal über den Parkplatz kommt, sondern am Rand des Parkplatzes entlang laufen muss. Wie viele Meter muss Jonas dabei zurücklegen? Runden Sie Ihr Ergebnis auf ganze Meter.

91. Sei = ++ die Summe dreier Vektoren. Sie haben folgende Informationen: Der Vektor ist 45 Meter lang und zeigt in Richtung 20; der Vektor ist 18 Meter lang und zeigt in Richtung 65; der Vektor ist 32 Meter lang und zeigt in Richtung -20. Alle Winkel beziehen sich auf die positive x-Achse. Bestimmen Sie die Komponenten des Vektors auf einen Zehntelmeter genau.

92. Ein Fußballplatz ist 100 Meter lang und 55 Meter breit. Sie stehen mit Ihrer Freundin Petra an einer der Eckfahnen und wollen zur diagonal gegenüberliegenden Eckfahne gelangen. Petra läuft am Spielfeldrand entlang. Sie hingegen wollen wertvolle Laufenergie sparen und marschieren darum diagonal über den Platz. Wie viel kürzer ist Ihr Laufweg als der von Petra?

93. Kevin läuft erst 5 Meter nach Osten und anschließend 5 Meter nach Süden. Welchen Winkel schließt seine Gesamtverschiebung mit der positiven x-Achse ein (unter der Annahme, dass die positive x-Achse nach Osten zeigt)?

94.  Ein Schwimmer kann sich in einem stehenden Gewässer mit 2 m∕s fortbewegen. Er möchte nun einen 500 Meter breiten Fluss durchschwimmen. Der Fluss hat eine konstante Strömungsgeschwindigkeit von 8 m∕s parallel zum Ufer. Welche Gesamtstrecke muss der Schwimmer zurücklegen, um das andere Ufer zu erreichen? Runden Sie Ihr Ergebnis auf Zehntelkilometer.

95. Ein Fußball rollt mit einer Geschwindigkeit von 10 m∕s unter einem Winkel von 15 in nordöstlicher Richtung in einen Sandkasten. Der Sandkasten ist 5 Meter breit und parallel zur Nord-Süd-Achse ausgerichtet. Durch den Sand wird der Ball mit einer negativen Beschleunigung von -3 m∕s2 abgebremst. Schafft es der Ball, den gesamten Sandkasten zu durchqueren, oder bleibt er mittendrin liegen? Falls er es schafft: Wie groß ist seine Austrittsgeschwindigkeit in östlicher Richtung? Falls er es nicht schafft: Wie viele Meter in östlicher Richtung legt der Ball im Sandkasten zurück? Runden Sie Ihr Ergebnis auf ganze Zahlen.

96. Johannes fährt 180 Kilometer unter einem Winkel von 70 in nordwestliche Richtung. Anschließend setzt er noch 45...