Kapitel 3

Grundlagen aus der Mathematik

Die Mathematik ist natürlich viel zu umfangreich, um hier vollständig dargestellt zu werden. Im Folgenden sollen nur die für die Niedere Geodäsie, Kartographie und Geoinformatik wesentlichen Teilgebiete herausgenommen werden.

3.1 Trigonometrie

Die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens, deren Inverse und weitere trigonometrische Funktionen treten sowohl in der Geodäsie (z.B. bei Transformationen) als auch in der Kartographie (z.B. bei Projektionen) häufig auf.

Bei der Programmierung ist zu beachten, daß die meisten Programmiersprachen Funktionsargumente in Radiant erwarten. Radiant ist die Angabe in Vielfachen von π und wird in Formeln als rad geschrieben.

3.1.1 Das Bogenmaß

Das Bogenmaß ist die Länge des Bogens, der zwischen den Schenkeln des Mittelpunktswinkels im Einheitskreis (Radius = 1) liegt.

Der Umrechnungsfaktor zwischen Gradmaß (Altgrad) und Bogenmaß beträgt:

Für Neugrad (Gon) gilt folgender Umrechnungsfaktor:

Diese Erwähnung klingt banal, der falsche oder vergessene Umrechnungsfaktor führt jedoch in längeren Berechnungen (Programmen) oft zu ärgerlichen Ergebnissen.

3.1.2 Das Rechtwinklige Dreieck

Formeln zur Auflösung des Rechtwinkligen Dreiecks treten in der Geodäsie sehr häufig auf. Die dem Rechten Winkel gegenüberliegende Seite bezeichnet man als Hypotenuse, die beiden anderen Seiten als Katheten. Deshalb hier die Definitionen der grundlegenden Trigonometrischen Funktionen im Rechtwinkligen Dreieck als Merkregeln:

• Sinus = Gegenkathete zu Hypotenuse
• Cosinus = Ankathete zu Hypotenuse
• Tangens = Gegenkathete zu Ankathete

Weitere mathematische Zusammenhänge wie z.B. trigonometrische Identitäten entnehme man einer Formelsammlung!

3.2 Statistik

Auch die Statistik ist ein großes Teilgebiet der Mathematik; hier werden nur grundlegende Verfahren und Teilbereiche skizziert (mehr dazu im zweiten Teil dieses Buchs!).

3.2.1 Beschreibende Statistik

Die Beschreibende Statistik berechnet aus einem Datenbestand empirische Größen, welche diese Daten charakterisieren. Das Ergebnis sind z.B. Häufigkeitsverteilungen (Histogramme), Mittelwerte (arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel, gewichtetes Mittel, Median) und Streuungsgrößen (Varianz, Standardabweichung).

Arithmetisches Mittel und Varianz σ2 bzw. Standardabweichung σ sind die am häufigsten verwendeten Größen, daher hier ihre Formeln (für n Werte xi):

Der Median q50 ist ein Mittelwert, der von Ausreißern weniger stark beeinflusst wird als die anderen Mittelbildungen. Die zu verarbeitenden Zahlenwerte xi müssen zuerst sortiert werden und der „mittlere“ Index gebildet werden, dann gibt es zwei Fälle:

Hierbei ist FIX() die Fixum-Funktion, die zum nächsten ganzzahligen Wert abrundet.

3.2.2 Analytische Statistik

In der Analytischen Statistik werden Beziehungen innerhalb der Daten aufgedeckt. Hier treten z.B. Fragen nach den Zusammenhängen zwischen zwei oder mehr Variablen auf (Korrelation, Regression), die bis zu Klassifikationsmethoden(Minimum-Box-Klassifikation, Distanz-Klassifikation, Maximum-Likelihood-Klassifikation) reichen.

3.3 Matrizenrechnung

Die Matrizenrechnung ist im Zeitalter des Computers die optimale Form zur Darstellung und direkten Umsetzung von bestimmten Gleichungssystemen. Die meisten Computeralgebra-Systeme bauen auf Matrizen und ihren Anwendungen auf, z.B. MATLAB, Maple und Mathematica (kommerziell) oder FreeMat und Scilab (Open-Source).

3.3.1 Vektoren und Matrizen

Matrizen können als eine rechteckige Anordnung von Zahlenwerten bzw. Ausdrücken beschrieben werden. Die angeordneten Zahlenwerte werden auch als Elemente der Matrix bezeichnet.

Es folgen einige grundlegende Vektor- und Matrix-Eigenschaften:

Ordnung einer Matrix

Die Ordnung einer Matrix A ist durch die Anzahl ihrer Zeilen und Spalten bestimmt. Hinweis: Dieser Begriff ist nicht mit dem Rang einer Matrix zu verwechseln, der die linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten angibt.

Transponierte einer Matrix

Eine Matrix A kann transponiert werden, indem Zeilen und Spalten vertauscht werden. Die transponierte Matrix schreibt man A′ oder manchmal auch AT.

Vektor als Sonderfall einer Matrix

Eine Matrix, die nur aus einer einzelnen Zeile oder Spalte besteht, wird als Vektor bezeichnet. Es gibt Zeilen- und Spaltenvektoren, je nachdem welche Dimension die Ordnung 1 hat.

3.3.2 Matrizenalgebra

Für Matrizen können ähnliche Rechenregeln definiert werden wie für einzelne Zahlen, die im Zusammenhang mit Matrizen auch als Skalare bezeichnet werden.

Das Skalarprodukt

Ein Zeilenvektor a′ und ein Spaltenvektor b gleicher Ordnung n bilden ein Skalarprodukt wie folgt (das Ergebnis ist eine Zahl, ein Skalar):

a′ · b = a1 · b1 + a2 · b2 + ... + an · bn

Addition und Subtraktion von Matrizen

Zwei Matrizen A und B gleicher Ordnung werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die an gleicher Stelle stehenden Elemente addiert bzw. subtrahiert:

A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij)

A – B = (aij) – (bij) = (aij – bij)

Multiplikation von Matrizen

Das Produkt einer Matrix A mit einer Matrix B ist nur möglich, falls die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt. Jedes Element der neuen Matrix entsteht aus dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B:

Inverse von Matrizen

Die Division von Matrizen ist nicht definiert. Für Gleichungsumformungen, die der Division entsprechen, ist die Multiplikation mit der Matrix-Inversen A–1 von links notwendig (hierbei gilt: A–1 · A = E, E · x = x, mit Einheitsmatrix E):

A · x = B

x = A–1 · B

Nicht immer existiert die Inverse; falls dies der Fall ist, gibt es zu deren Ermittlung bestimmte Rechenverfahren. Das bekannteste ist die Gauß-Elimination, die auch zur Lösung von Gleichungssystemen in Matrizenform verwendet wird.

3.3.3 Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme können mit Matrizen und Vektoren gut dargestellt werden. Sie treten in vielen Ingenieurwissenschaften auf, in der Geodäsie u.a. in der Ausgleichungsrechnung (siehe Kapitel Höhere Geodäsie).

Obige Gleichung zur Matrix-Inversen kann ausführlich für n = 3 auch folgendermaßen geschrieben werden:

Es wird ersichtlich, daß es sich im Fall von gesuchten dreidimensionalen Koordinaten xi um drei Gleichungen handelt. Mittels sogenannter Eliminationsverfahren können die Unbekannten bestimmt werden. Für nähere Informationen siehe entsprechende Mathematik-Literatur (bzw. Beispiele im zweiten Teil dieses Buchs).

3.4 Analytische Geometrie

Die Analytische Geometrie beschreibt Geraden, Ebenen und andere Körper im dreidimensionalen Raum mit Hilfe von parametrisierten Gleichungen. Auch Schnitte dieser Objekte und andere Berechnungen sind auf diese Weise lösbar.

3.4.1 Gleichungen von Geraden und Ebenen

In die parametrisierten Gleichungen gehen die Koordinaten der definierenden Punkte ein. Die Gleichung einer Geraden mit den Endpunkten p und q hat folgende Formen:

Die Gleichung einer Ebene durch die Punkte p, q und r hat folgende Formen:

3.4.2 Schnitte von Geraden und Ebenen

Bei Schnitten zwischen Geraden und Ebenen entsteht ein Lineares Gleichungssystem, für das die Parameter gesucht sind.

Als Beispiel sei hier der Schnitt zweier Geraden vorgestellt. Zum Finden der Lösung werden die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt:

p + λ · t = q + μ · u

3.5 Interpolationsverfahren

Interpolationsverfahren erlauben die Berechnung von Werten (z.B. Höhe) an Stellen, wo keine Messung stattgefunden hat. Da es unterschiedliche (statistische) Verfahren gibt, die auch zu unterschiedlichen Werten führen können, spricht man auch von einer Schätzung. Drei grundlegende Interpolationsverfahren sollen kurz beschrieben sein.

3.5.1 Lineare Interpolation auf der Linie

Lineare Interpolation auf der Linie tritt z.B. bei der Interpolation von Höhenlinien auf. Seien hU und h0 die...