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Springer-Handbuch der Mathematik II

Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler

Autor	Eberhard Zeidler, Eberhard Zeidler
Verlag	Springer Spektrum
Erscheinungsjahr	2012
Seitenanzahl	340 Seiten
ISBN	9783658002978
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	109,99 EUR

Als mehrbändiges Nachschlagewerk ist das Springer-Handbuch der Mathematik in erster Linie für wissenschaftliche Bibliotheken, akademische Institutionen und Firmen sowie interessierte Individualkunden in Forschung und Lehre gedacht. Es ergänzt das einbändige themenumfassende Springer-Taschenbuch der Mathematik (ehemaliger Titel Teubner-Taschenbuch der Mathematik), das sich in seiner begrenzten Stoffauswahl besonders an Studierende richtet. Teil II des Springer-Handbuchs enthält neben den Kapiteln 2-4 des Springer-Taschenbuchs zusätzliches Material zu folgenden Gebieten: multilineare Algebra, höhere Zahlentheorie, projektive Geometrie, algebraische Geometrie und Geometrien der modernen Physik.

Prof. Dr. Eberhard Zeidler, MPI für Mathematik in den Naturwissenschaften, Leipzig

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort	6
Inhaltsverzeichnis	10
KAPITEL 2 ALGEBRA	13
2.1 Elementare Methoden	13
2.1.1 Kombinatorik	13
2.1.2 Determinanten	16
2.1.3 Matrizen	20
2.1.4 Lineare Gleichungssysteme	24
2.1.5 Das Rechnen mit Polynomen	30
2.1.6 Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra von Gauß	32
2.1.7 Partialbruchzerlegung	39
2.2 Matrizenkalkül	40
2.2.1 Das Spektrum einer Matrix	40
2.2.2 Normalformen von Matrizen	42
2.2.3 Matrizenfunktionen	50
2.3 Lineare Algebra	52
2.3.1 Grundideen	52
2.3.2 Lineare Räume	53
2.3.3 Lineare Operatoren	55
2.3.4 Das Rechnen mit linearen Räumen	60
2.3.5 Dualität	64
2.4 Multilineare Algebra	65
2.4.1 Algebren	66
2.4.2 Das Rechnen mit Multilinearformen	66
2.4.3 Universelle Produkte	72
2.4.4 Liealgebren	76
2.4.5 Superalgebren	77
2.5 Algebraische Strukturen	78
2.5.1 Gruppen	78
2.5.2 Ringe	84
2.5.3 Körper	87
2.6 Galoistheorie und algebraische Gleichungen	90
2.6.1 Die drei berühmten Probleme der Antike	90
2.6.2 Der Hauptsatz der Galoistheorie	90
2.6.3 Der verallgemeinerte Fundamentalsatz der Algebra	93
2.6.4 Klassifikation von Körpererweiterungen	94
2.6.5 Der Hauptsatz über Gleichungen, die durch Radikale lösbar sind	95
2.6.6 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal	97
2.7 Zahlentheorie	100
2.7.1 Grundideen	100
2.7.2 Der Euklidische Algorithmus	102
2.7.3 Die Verteilung der Primzahlen	105
2.7.4 Additive Zerlegungen	111
2.7.5 Die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale Zahlen und Kettenbrüche	114
2.7.6 Transzendente Zahlen	120
2.7.7 Anwendung auf die Zahl p	123
2.7.8 Gaußsche Kongruenzen	128
2.7.9 Minkowskis Geometrie der Zahlen	131
2.7.10 Das fundamentale Lokal-Global-Prinzip der Zahlentheorie	131
2.7.11 Ideale und höhere Teilbarkeitslehre	133
2.7.12 Anwendungen auf quadratische Zahlkörper	135
2.7.13 Die analytische Klassenzahlformel	137
2.7.14 Die Hilbertsche Klassenkörpertheorie für allgemeine Zahlkörper	138
Literatur zu Kapitel 2	139
KAPITEL 3 GEOMETRIE	141
3.1 Die Grundidee der Geometrie (Erlanger Programm)	141
3.2 Elementare Geometrie	142
3.2.1 Ebene Trigonometrie	143
3.2.2 Anwendungen in der Geodäsie	150
3.2.3 Sphärische Trigonometrie	152
3.2.4 Anwendungen im Schiffsund Flugverkehr	158
3.2.5 Die Hilbertschen Axiome der Geometrie	159
3.2.6 Das Parallelenaxiom des Euklid	163
3.2.7 Die nichteuklidische elliptische Geometrie	163
3.2.8 Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie	164
3.3 Anwendungen der Vektoralgebra in der analytischen Geometrie	167
3.3.1 Geraden in der Ebene	167
3.3.2 Geraden und Ebenen im Raum	169
3.3.3 Volumina	171
3.4 Euklidische Geometrie (Geometrie der Bewegungen)	171
3.4.1 Die euklidische Bewegungsgruppe	171
3.4.2 Kegelschnitte	172
3.4.3 Flächen zweiter Ordnung	175
3.5 Projektive Geometrie	179
3.5.1 Grundideen	179
3.5.2 Projektive Abbildungen	181
3.5.3 Der n-dimensionale reelle projektive Raum	182
3.5.4 Der n-dimensionale komplexe projektive Raum	184
3.5.5 Die Klassifikation der ebenen Geometrien	185
3.6 Differentialgeometrie	188
3.6.1 Ebene Kurven	189
3.6.2 Raumkurven	195
3.6.3 Die lokale Gaußsche Flächentheorie	199
3.6.4 Globale Gaußsche Flächentheorie	209
3.7 Beispiele für ebene Kurven	210
3.7.1 Einhüllende und Kaustik	210
3.7.2 Evoluten	210
3.7.3 Evolventen	211
3.7.4 Die Traktrix von Huygens und die Kettenlinie	212
3.7.5 Die Lemniskate von Jakob Bernoulli und die Cassinischen Kurven	213
3.7.6 Die Lissajou-Kurven	214
3.7.7 Spiralen	214
3.7.8 Strahlkurven (Konchoiden)	216
3.7.9 Radkurven	217
3.8 Algebraische Geometrie	221
3.8.1 Grundideen	221
3.8.2 Beispiele ebener algebraischer Kurven	230
3.8.3 Anwendungen in der Integralrechnung	235
3.8.4 Die projektiv-komplexe Form einer ebenen algebraischen Kurve	237
3.8.5 Das Geschlecht einer Kurve	241
3.8.6 Diophantische Geometrie	244
3.8.7 Analytische Mengen und der Vorbereitungssatz von Weierstraß	250
3.8.8 Die Auflösung von Singularitäten	251
3.8.9 Die Algebraisierung der modernen algebraischen Geometrie	253
3.9 Geometrien der modernen Physik	254
3.9.1 Grundideen	254
3.9.2 Unitäre Geometrie, Hilberträume und Elementarteilchen	257
3.9.3 Pseudounitäre Geometrie	264
3.9.4 Minkowskigeometrie	267
3.9.5 Anwendungen in der speziellen Relativitätstheorie	271
3.9.6 Spingeometrie und Fermionen	277
3.9.7 Fast komplexe Strukturen	286
3.9.8 Symplektische Geometrie	286
Literatur zu Kapitel 3	288
KAPITEL 4 GRUNDLAGEN DER MATHEMATIK	292
4.1 Der Sprachgebrauch in der Mathematik	292
4.1.1 Wahre und falsche Aussagen	292
4.1.2 Implikationen	293
4.1.3 Tautologien und logische Gesetze	295
4.2 Beweismethoden	297
4.2.1 Indirekte Beweise	297
4.2.2 Induktionsbeweise	297
4.2.3 Eindeutigkeitsbeweise	298
4.2.4 Existenzbeweise	298
4.2.5 Die Notwendigkeit von Beweisen im Computerzeitalter	300
4.2.6 Falsche Beweise	302
4.3 Anschauliche Mengentheorie	303
4.3.1 Grundideen	303
4.3.2 Das Rechnen mit Mengen	305
4.3.3 Abbildungen	308
4.3.4 Gleichmächtige Mengen	312
4.3.5 Relationen	313
4.3.6 Mengensysteme	315
4.4 Mathematische Logik	316
4.4.1 Aussagenlogik	316
4.4.2 Prädikatenlogik	319
4.4.3 Die Axiome der Mengentheorie	321
4.4.4 Cantors Strukturierung des Unendlichen	322
4.5 Geschichte der axiomatischen Methode und ihr Verhältnis zur philosophischen Erkenntnistheorie	325
Literatur zu Kapitel 4	328
Index	329

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