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E-Book

Tensoranalysis

Autor	Heinz Schade, Klaus Neemann
Verlag	Walter de Gruyter GmbH & Co.KG
Erscheinungsjahr	2006
Reihe	De Gruyter Lehrbuch
Seitenanzahl	429 Seiten
ISBN	9783110199765
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	39,95 EUR

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort	5
Vorwort der ersten Auflage	6
Inhalt	9
Kapitel 1: Algebraische Hilfsmittel	17
1.1 Die Summationskonvention	17
1.2 N-tupel	21
1.2.1 Definitionen	21
1.2.2 Rechenoperationen	22
1.2.3 Lineare Unabhängigkeit	22
1.3 Determinanten	23
1.3.1 Definitionen	24
1.3.2 Berechnung von Determinanten	25
1.3.3 Rechnen mit Determinanten	27
1.4 Kronecker-Symbole	28
1.4.1 dij	28
1.4.2 d	30
1.4.3 ei...	31
1.4.4 Darstellung einer Determinante mit ei...	34
1.4.5 ei	39
1.5 Matrizen	40
1.5.1 Definitionen	40
1.5.2 Rechenoperationen und einfache Folgerungen	42
1.5.3 Gleichungen zwischen Matrizen und Gleichungen zwischen Matrixelementen	47
1.5.4 Elementare Umformungen, Normalform, äquivalente Matrizen, ähnliche Matrizen	47
1.5.5 Orthogonale Matrizen	49
1.6 Algorithmen	50
1.6.1 Berechnung einer Determinante	50
1.6.2 Lösung eindeutiger linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizientenmatrix („Division durch eine reguläre Matrix“, gaußscher Algorithmus)	51
1.6.3 Bestimmung des Ranges einer Matrix oder Determinante	52
Kapitel 2: Tensoranalysis in symbolischer Schreibweise und in kartesischen Koordinaten	53
2.1 Kartesische Koordinaten, Punkte, Ortsvektoren	53
2.1.1 Ortsvektoren und Punktkoordinaten	53
2.1.2 Die Transformation kartesischer Koordinatensysteme	54
2.1.3 Eigenschaften der Transformationskoeffizienten	55
2.1.4 Das Transformationsgesetz für Basisvektoren	57
2.1.5 Das Transformationsgesetz für Punktkoordinaten	57
2.2 Vektoren	58
2.2.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Vektorkoordinaten	58
2.2.2 Das Transformationsgesetz für Vektorkoordinaten	59
2.3 Tensoren	63
2.3.1 Tensoren zweiter Stufe	63
2.3.2 Tensoren beliebiger Stufe	67
2.3.3 Symmetrien in der Physik	69
2.4 Symbolische Schreibweise, Koordinaten- und Matrizenschreibweise	70
2.5 Gleichheit, Addition und Subtraktion von Tensoren. Multiplikation von Tensoren mit einem Skalar. Lineare Unabhängigkeit	71
2.6 Transponierte, isomere, symmetrische und antimetrische Tensoren	73
2.7 Die tensorielle Multiplikation von Tensoren	75
2.7.1 Definition	75
2.7.2 Eigenschaften	76
2.7.3 Tensoren, Tensorkomponenten und Tensorkoordinaten	80
2.7.4 Tensorgleichungen, Transformationsgleichungen und Darstellungsgleichungen	81
2.8 d-Tensor, e-Tensor, isotrope Tensoren	82
2.8.1 Der d-Tensor	82
2.8.2 Der e-Tensor	82
2.8.3 Isotrope Tensoren	84
2.9 Die skalare Multiplikation von Tensoren	84
2.9.1 Definition	84
2.9.2 Eigenschaften	85
2.9.3 Überschiebung, Verjüngung, Spur	91
2.9.4 Mehrfache skalare Produkte	92
2.10 Die vektorielle Multiplikation von Tensoren	94
2.10.1 Definition	94
2.10.2 Eigenschaften	98
2.10.3 Das Spatprodukt	99
2.11 Übersicht über die tensoralgebraischen Operationen	100
2.12 Differentialoperationen	101
2.12.1 Der Fundamentalsatz der Tensoranalysis	102
2.12.2 Der Gradient	102
2.12.3 Das (vollständige) Differential	105
2.12.4 Die Divergenz	107
2.12.5 Die Rotation	109
2.12.6 Der Laplace-Operator	111
2.13 Indexbilanz und Strichbilanz	112
2.14 Integrale von Tensorfeldern	112
2.14.1 Kurvenintegrale von Tensorkoordinaten	113
2.14.2 Normalenvektor und Flächenvektor eines Flächenelements	115
2.14.3 Flächenintegrale von Tensorkoordinaten	118
2.14.4 Volumenintegrale von Tensorkoordinaten	122
2.14.5 Integrale von Tensorfeldern höherer Stufe	123
2.15 Gaußscher und stokesscher Satz	125
2.15.1 Der gaußsche Satz	125
2.15.2 Der stokessche Satz	129
Kapitel 3: Algebra von Tensoren zweiter Stufe	135
3.1 Die additive Zerlegung eines Tensors	135
3.2 Die Determinante eines Tensors	137
3.3 Der Vektor eines antimetrischen Tensors	138
3.4 Der Kotensor eines Tensors	139
3.5 Der Rang eines Tensors	140
3.6 Der inverse Tensor	140
3.7 Orthogonale Tensoren	142
3.8 Der Tensor als lineare Vektorfunktion	143
3.8.1 Rang 3	144
3.8.2 Rang 2	145
3.8.3 Rang 1	147
3.8.4 Rang 0	148
3.9 Reziproke Basen	148
3.9.1 Definition	148
3.9.2 Orthogonalitätsrelationen	149
3.9.3 Orthogonale und orthonormierte Basen	150
3.9.4 Reziproke Basen in der Ebene	151
3.10 Darstellung eines Tensors durch Vektoren	152
3.10.1 Rang 3	152
3.10.2 Rang 2	155
3.10.3 Rang 1	156
3.11 Eigenwerte und Eigenrichtungen. Die charakteristische Gleichung	158
3.11.1 Eigenwerte und Eigenrichtungen	158
3.11.2 Charakteristische Gleichung und Hauptinvarianten	159
3.11.3 Klassifikation von Tensoren nach der Art ihrer Eigenwerte, Sätze über Eigenwerte	161
3.11.4 Sätze über Eigenvektoren	164
3.11.5 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen	170
3.12 Symmetrische Tensoren	174
3.12.1 Die Hauptachsentransformation	174
3.12.2 Eigenwerte und Rang des Tensors	178
3.12.3 Eigenwerte und Definitheit des Tensors	179
3.12.4 Symmetrische quadratische Matrizen	180
3.13 Orthogonale polare Tensoren	184
3.13.1 Die Drehung in der Ebene	184
3.13.2 Transformation auf eine Eigenrichtung	184
3.13.3 Der orthogonale Tensor als Funktion von Drehachse bzw. Spiegelungsachse und Drehwinkel	188
3.13.4 Drehung und Koordinatentransformation	193
3.14 Potenzen von Tensoren. Die Cayley-Hamilton-Gleichung	194
3.14.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten	194
3.14.2 Potenzen mit reellen Exponenten	196
3.14.3 Die Cayley-Hamilton-Gleichung	198
3.15 Grundinvarianten	199
3.16 Die polare Zerlegung eines Tensors	201
Kapitel 4: Tensoranalysis in krummlinigen Koordinaten	207
4.1 Krummlinige Koordinaten	207
4.1.1 Krummlinige Koordinatensysteme	207
4.1.2 Koordinatenflächen und Koordinatenlinien	209
4.1.3 Holonome Basen	210
4.1.4 Geradlinige und kartesische Koordinatensysteme	213
4.1.5 Orthogonale Koordinatensysteme	215
4.2 Holonome Tensorkoordinaten	215
4.2.1 Allgemeines	215
4.2.2 Transformationen zwischen zwei krummlinigen Koordinatensystemen	218
4.2.3 Die Summationskonvention	221
4.2.4 Der d-Tensor	222
4.2.5 Herauf- und Herunterziehen von Indizes	226
4.2.6 Der e-Tensor	227
4.2.7 Isotrope Tensoren	231
4.2.8 Tensoralgebra in holonomen Koordinaten	231
4.3 Physikalische Basen und Tensorkoordinaten	237
4.4 Differentialoperationen	239
4.4.1 Partielle Ableitung und Differential des Ortsvektors	240
4.4.2 Partielle Ableitung und vollständiges Differential der holonomen Basen, Christoffel-Symbole	241
4.4.3 Christoffel-Symbole und Metrikkoeffizienten	242
4.4.4 Die partielle Ableitung von Tensoren. Die partielle und die ko-variante Ableitung von Tensorkoordinaten	243
4.4.5 Das vollständige Differential von Tensoren. Das vollständige und das absolute Differential von Tensorkoordinaten	245
4.4.6 Ableitungen nach einem Parameter	247
4.4.7 Der Gradient	247
4.4.8 Divergenz und Rotation	249
4.4.9 Physikalische Koordinaten von Differentialoperationen	250
4.4.10 Die zweite kovariante Ableitung einer Tensorkoordinate. Der Laplace-Operator	253
4.4.11 Integrale von Tensorfeldern	255
Kapitel 5: Darstellungstheorie	261
5.1 Der Grundgedanke der Darstellungstheorie	261
5.2 Die verallgemeinerte Cayley-Hamilton-Gleichung	263
5.3 Invarianten von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe	265
5.3.1 Invarianten von Vektoren	266
5.3.2 Invarianten eines Tensors zweiter Stufe	267
5.3.3 Simultaninvarianten von Tensoren zweiter Stufe und Vektoren	273
5.3.4 Zusammenfassung	277
5.4 Isotrope Tensorfunktionen	278
5.4.1 Invarianzbedingungen	278
5.4.2 Skalarwertige Funktionen	280
5.4.3 Vektorwertige Funktionen	280
5.4.4 Tensorwertige Funktionen	283
5.4.5 Zusammenfassung	286
5.5 Berücksichtigung von Anisotropien	287
Kapitel 6: Der Vektorraum	293
6.1 Einfache algebraische Systeme	293
6.1.1 Die Halbgruppe	293
6.1.2 Die Gruppe	295
6.1.3 Der Ring	298
6.1.4 Der Körper	300
6.2 Der (affine) Vektorraum	302
6.2.1 Vektorraum, Nullvektor, Subtraktion	302
6.2.2 Lineare Operationen, lineare Kombination, lineare Unabhängigkeit	306
6.2.3 Basis und Dimension	306
6.2.4 Koordinaten	310
6.2.5 Transformationsgleichungen	311
6.3 Abbildungen	312
6.3.1 Allgemeine Abbildungen	312
6.3.2 Lineare Abbildungen	313
6.3.3 Tabellarische Zusammenfassung	320
6.4 Dualität	321
6.4.1 Der Dualraum	321
6.4.2 Die natürliche skalare Multiplikation	322
6.4.3 Duale Basen	324
6.4.4 Transformationsgleichungen	325
6.5 Der (affine) Tensorraum	327
6.5.1 Die tensorielle Multiplikation	327
6.5.2 Affine Tensorräume und Tensoren	328
6.5.3 Transformationsgleichungen	329
6.6 Der euklidische Vektorraum	331
6.6.1 Die skalare Multiplikation	331
6.6.2 Die Metrik	333
6.6.3 Dualität	336
6.7 Der Punktraum	339
6.7.1 Der affine (Punkt-)Raum	339
6.7.2 Der euklidische (Punkt-)Raum	341
Literatur	343
Anhang A: Lösungen der Aufgaben	345
Anhang B: Zylinder- und Kugelkoordinaten	407
Sachwortregister	423

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