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E-Book

Tensoranalysis

AutorHeinz Schade, Klaus Neemann
VerlagWalter de Gruyter GmbH & Co.KG
Erscheinungsjahr2006
ReiheDe Gruyter Lehrbuch 
Seitenanzahl429 Seiten
ISBN9783110199765
FormatPDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis39,95 EUR
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Blick ins Buch
Inhaltsverzeichnis
Vorwort5
Vorwort der ersten Auflage6
Inhalt9
Kapitel 1: Algebraische Hilfsmittel17
1.1 Die Summationskonvention17
1.2 N-tupel21
1.2.1 Definitionen21
1.2.2 Rechenoperationen22
1.2.3 Lineare Unabhängigkeit22
1.3 Determinanten23
1.3.1 Definitionen24
1.3.2 Berechnung von Determinanten25
1.3.3 Rechnen mit Determinanten27
1.4 Kronecker-Symbole28
1.4.1 dij28
1.4.2 d30
1.4.3 ei...31
1.4.4 Darstellung einer Determinante mit ei...34
1.4.5 ei39
1.5 Matrizen40
1.5.1 Definitionen40
1.5.2 Rechenoperationen und einfache Folgerungen42
1.5.3 Gleichungen zwischen Matrizen und Gleichungen zwischen Matrixelementen47
1.5.4 Elementare Umformungen, Normalform, äquivalente Matrizen, ähnliche Matrizen47
1.5.5 Orthogonale Matrizen49
1.6 Algorithmen50
1.6.1 Berechnung einer Determinante50
1.6.2 Lösung eindeutiger linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizientenmatrix („Division durch eine reguläre Matrix“, gaußscher Algorithmus)51
1.6.3 Bestimmung des Ranges einer Matrix oder Determinante52
Kapitel 2: Tensoranalysis in symbolischer Schreibweise und in kartesischen Koordinaten53
2.1 Kartesische Koordinaten, Punkte, Ortsvektoren53
2.1.1 Ortsvektoren und Punktkoordinaten53
2.1.2 Die Transformation kartesischer Koordinatensysteme54
2.1.3 Eigenschaften der Transformationskoeffizienten55
2.1.4 Das Transformationsgesetz für Basisvektoren57
2.1.5 Das Transformationsgesetz für Punktkoordinaten57
2.2 Vektoren58
2.2.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Vektorkoordinaten58
2.2.2 Das Transformationsgesetz für Vektorkoordinaten59
2.3 Tensoren63
2.3.1 Tensoren zweiter Stufe63
2.3.2 Tensoren beliebiger Stufe67
2.3.3 Symmetrien in der Physik69
2.4 Symbolische Schreibweise, Koordinaten- und Matrizenschreibweise70
2.5 Gleichheit, Addition und Subtraktion von Tensoren. Multiplikation von Tensoren mit einem Skalar. Lineare Unabhängigkeit71
2.6 Transponierte, isomere, symmetrische und antimetrische Tensoren73
2.7 Die tensorielle Multiplikation von Tensoren75
2.7.1 Definition75
2.7.2 Eigenschaften76
2.7.3 Tensoren, Tensorkomponenten und Tensorkoordinaten80
2.7.4 Tensorgleichungen, Transformationsgleichungen und Darstellungsgleichungen81
2.8 d-Tensor, e-Tensor, isotrope Tensoren82
2.8.1 Der d-Tensor82
2.8.2 Der e-Tensor82
2.8.3 Isotrope Tensoren84
2.9 Die skalare Multiplikation von Tensoren84
2.9.1 Definition84
2.9.2 Eigenschaften85
2.9.3 Überschiebung, Verjüngung, Spur91
2.9.4 Mehrfache skalare Produkte92
2.10 Die vektorielle Multiplikation von Tensoren94
2.10.1 Definition94
2.10.2 Eigenschaften98
2.10.3 Das Spatprodukt99
2.11 Übersicht über die tensoralgebraischen Operationen100
2.12 Differentialoperationen101
2.12.1 Der Fundamentalsatz der Tensoranalysis102
2.12.2 Der Gradient102
2.12.3 Das (vollständige) Differential105
2.12.4 Die Divergenz107
2.12.5 Die Rotation109
2.12.6 Der Laplace-Operator111
2.13 Indexbilanz und Strichbilanz112
2.14 Integrale von Tensorfeldern112
2.14.1 Kurvenintegrale von Tensorkoordinaten113
2.14.2 Normalenvektor und Flächenvektor eines Flächenelements115
2.14.3 Flächenintegrale von Tensorkoordinaten118
2.14.4 Volumenintegrale von Tensorkoordinaten122
2.14.5 Integrale von Tensorfeldern höherer Stufe123
2.15 Gaußscher und stokesscher Satz125
2.15.1 Der gaußsche Satz125
2.15.2 Der stokessche Satz129
Kapitel 3: Algebra von Tensoren zweiter Stufe135
3.1 Die additive Zerlegung eines Tensors135
3.2 Die Determinante eines Tensors137
3.3 Der Vektor eines antimetrischen Tensors138
3.4 Der Kotensor eines Tensors139
3.5 Der Rang eines Tensors140
3.6 Der inverse Tensor140
3.7 Orthogonale Tensoren142
3.8 Der Tensor als lineare Vektorfunktion143
3.8.1 Rang 3144
3.8.2 Rang 2145
3.8.3 Rang 1147
3.8.4 Rang 0148
3.9 Reziproke Basen148
3.9.1 Definition148
3.9.2 Orthogonalitätsrelationen149
3.9.3 Orthogonale und orthonormierte Basen150
3.9.4 Reziproke Basen in der Ebene151
3.10 Darstellung eines Tensors durch Vektoren152
3.10.1 Rang 3152
3.10.2 Rang 2155
3.10.3 Rang 1156
3.11 Eigenwerte und Eigenrichtungen. Die charakteristische Gleichung158
3.11.1 Eigenwerte und Eigenrichtungen158
3.11.2 Charakteristische Gleichung und Hauptinvarianten159
3.11.3 Klassifikation von Tensoren nach der Art ihrer Eigenwerte, Sätze über Eigenwerte161
3.11.4 Sätze über Eigenvektoren164
3.11.5 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen170
3.12 Symmetrische Tensoren174
3.12.1 Die Hauptachsentransformation174
3.12.2 Eigenwerte und Rang des Tensors178
3.12.3 Eigenwerte und Definitheit des Tensors179
3.12.4 Symmetrische quadratische Matrizen180
3.13 Orthogonale polare Tensoren184
3.13.1 Die Drehung in der Ebene184
3.13.2 Transformation auf eine Eigenrichtung184
3.13.3 Der orthogonale Tensor als Funktion von Drehachse bzw. Spiegelungsachse und Drehwinkel188
3.13.4 Drehung und Koordinatentransformation193
3.14 Potenzen von Tensoren. Die Cayley-Hamilton-Gleichung194
3.14.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten194
3.14.2 Potenzen mit reellen Exponenten196
3.14.3 Die Cayley-Hamilton-Gleichung198
3.15 Grundinvarianten199
3.16 Die polare Zerlegung eines Tensors201
Kapitel 4: Tensoranalysis in krummlinigen Koordinaten207
4.1 Krummlinige Koordinaten207
4.1.1 Krummlinige Koordinatensysteme207
4.1.2 Koordinatenflächen und Koordinatenlinien209
4.1.3 Holonome Basen210
4.1.4 Geradlinige und kartesische Koordinatensysteme213
4.1.5 Orthogonale Koordinatensysteme215
4.2 Holonome Tensorkoordinaten215
4.2.1 Allgemeines215
4.2.2 Transformationen zwischen zwei krummlinigen Koordinatensystemen218
4.2.3 Die Summationskonvention221
4.2.4 Der d-Tensor222
4.2.5 Herauf- und Herunterziehen von Indizes226
4.2.6 Der e-Tensor227
4.2.7 Isotrope Tensoren231
4.2.8 Tensoralgebra in holonomen Koordinaten231
4.3 Physikalische Basen und Tensorkoordinaten237
4.4 Differentialoperationen239
4.4.1 Partielle Ableitung und Differential des Ortsvektors240
4.4.2 Partielle Ableitung und vollständiges Differential der holonomen Basen, Christoffel-Symbole241
4.4.3 Christoffel-Symbole und Metrikkoeffizienten242
4.4.4 Die partielle Ableitung von Tensoren. Die partielle und die ko-variante Ableitung von Tensorkoordinaten243
4.4.5 Das vollständige Differential von Tensoren. Das vollständige und das absolute Differential von Tensorkoordinaten245
4.4.6 Ableitungen nach einem Parameter247
4.4.7 Der Gradient247
4.4.8 Divergenz und Rotation249
4.4.9 Physikalische Koordinaten von Differentialoperationen250
4.4.10 Die zweite kovariante Ableitung einer Tensorkoordinate. Der Laplace-Operator253
4.4.11 Integrale von Tensorfeldern255
Kapitel 5: Darstellungstheorie261
5.1 Der Grundgedanke der Darstellungstheorie261
5.2 Die verallgemeinerte Cayley-Hamilton-Gleichung263
5.3 Invarianten von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe265
5.3.1 Invarianten von Vektoren266
5.3.2 Invarianten eines Tensors zweiter Stufe267
5.3.3 Simultaninvarianten von Tensoren zweiter Stufe und Vektoren273
5.3.4 Zusammenfassung277
5.4 Isotrope Tensorfunktionen278
5.4.1 Invarianzbedingungen278
5.4.2 Skalarwertige Funktionen280
5.4.3 Vektorwertige Funktionen280
5.4.4 Tensorwertige Funktionen283
5.4.5 Zusammenfassung286
5.5 Berücksichtigung von Anisotropien287
Kapitel 6: Der Vektorraum293
6.1 Einfache algebraische Systeme293
6.1.1 Die Halbgruppe293
6.1.2 Die Gruppe295
6.1.3 Der Ring298
6.1.4 Der Körper300
6.2 Der (affine) Vektorraum302
6.2.1 Vektorraum, Nullvektor, Subtraktion302
6.2.2 Lineare Operationen, lineare Kombination, lineare Unabhängigkeit306
6.2.3 Basis und Dimension306
6.2.4 Koordinaten310
6.2.5 Transformationsgleichungen311
6.3 Abbildungen312
6.3.1 Allgemeine Abbildungen312
6.3.2 Lineare Abbildungen313
6.3.3 Tabellarische Zusammenfassung320
6.4 Dualität321
6.4.1 Der Dualraum321
6.4.2 Die natürliche skalare Multiplikation322
6.4.3 Duale Basen324
6.4.4 Transformationsgleichungen325
6.5 Der (affine) Tensorraum327
6.5.1 Die tensorielle Multiplikation327
6.5.2 Affine Tensorräume und Tensoren328
6.5.3 Transformationsgleichungen329
6.6 Der euklidische Vektorraum331
6.6.1 Die skalare Multiplikation331
6.6.2 Die Metrik333
6.6.3 Dualität336
6.7 Der Punktraum339
6.7.1 Der affine (Punkt-)Raum339
6.7.2 Der euklidische (Punkt-)Raum341
Literatur343
Anhang A: Lösungen der Aufgaben345
Anhang B: Zylinder- und Kugelkoordinaten407
Sachwortregister423

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