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E-Book

Differenzialgleichungen für Einsteiger

AutorSybille Handrock-Meyer
VerlagFachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag
Erscheinungsjahr2007
Seitenanzahl201 Seiten
ISBN9783446413061
FormatPDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis15,99 EUR

Sybille Handrock-Meyer
Differenzialgleichungen für Einsteiger


Gewöhnliche Differenzialgleichungen sind in der Ingenieurausbildung ein unentbehrliches Hilfsmittel. In diesem Buch steht deshalb der Anwendungsaspekt im Vordergrund. Ein Teil der Beispiele und Aufgaben ist von der mathematischen Modellierung des Problems bis zur Interpretation der Lösung bearbeitet worden.

Gemäß dem einführenden Charakter des Buches werden im Wesentlichen lineare gewöhnliche Differenzialgleichungen und lineare Systeme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten behandelt. Außerdem ist eine Einführung in numerische Lösungsmethoden und in das Computeralgebrasystem Maple enthalten. Auf Beweise und Herleitungen wurde verzichtet, nicht aber auf mathematisch exakte Formulierungen.

Das Buch richtet sich vorrangig an Studierende technischer Bachelor-Studiengänge. Der Leser benötigt nur Grundkenntnisse der Differenzial- und Integralrechnung sowie der linearen Algebra. Ein umfangreicher Aufgabenteil ist zum selbstständigen Üben gedacht, dessen Lösungen sich im Anhang des Buches befinden.

Nicht zuletzt können auch Gymnasiallehrer in diesem Buch Anregungen und Beispiele für den Mathematik- bzw. Physikunterricht finden.

Die im Buch aufgelisteten Maple-Worksheets finden sich auf der persönlichen Webseite der Autorin an der Universität Chemnitz.

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Leseprobe

Prüfungsangst ( S. 19)

Das Herz rast, das Hemd ist durchgeschwitzt, rote Flecken zieren den Hals und die Stimme versagt. Angst. Angst ist etwas Natürliches und erfüllt Schutzfunktionen. Sie ist eine normale Reaktion auf ein als bedrohlich eingestuftes Ereignis. Doch nimmt sie überhand oder ist sie (in ihrem Ausmaß) unbegründet, so behindert sie uns. Umfragen zeigen, dass etwa 10 % der Studierenden unter Prüfungsangst leiden, unmittelbar vor einer Prüfung sogar 50 %. Bei etwa einem Viertel sind sowohl Prüfungsvorbereitung als auch Prüfungsleistung hierdurch beeinträchtigt (vgl. [31]).

Dieser Abschnitt wendet sich an Leserinnen und Leser, die bei Prüfungen sehr aufgeregt oder ängstlich sind und die sich dadurch in ihrer Leistung eingeschränkt fühlen, weil sie sich zum Beispiel nicht konzentrieren können, sie plötzlich alles vergessen haben oder nicht mehr schreiben können. Unser Ziel ist es, Ihnen aufzuzeigen, welche Ursachen und Auswirkungen Prüfungsangst hat und mit welchen Methoden Sie Prüfungsstress begegnen und Ihre Prüfungsangst überwinden können.

Wir kommen nicht umhin, Sie darauf hinzuweisen, dass Sie von Prüfungsangst leider nicht en passant befreit werden können. Vielmehr bedarf es Ihrer aktiven Anstrengung in einem längeren Prozess der Veränderung. Das Ziel besteht darin, mehr Kontrolle über sich und die belastende Situation zu erlangen. Verstehen Sie unsere Tipps bitte als eine Anregung. Wenngleich unsere Vorschläge auf einer soliden Basis stehen, so können wir Ihnen doch eine Besserung nicht garantieren.

Probieren Sie unsere Hinweise aus und finden Sie Ihren eigenen Weg. Und wenn Ihnen ein Tipp lächerlich vorkommt, dann bedenken Sie: Niemand sieht oder hört Ihnen beim Ausprobieren zu. Sollte Ihnen eine Übung einmal unangenehm sein, so brechen Sie diese ab und probieren eine andere. Veränderung braucht Zeit und die meisten Techniken zur Bewältigung von Prüfungsangst beruhen auf übenden Verfahren.

Nehmen Sie sich daher während der Prüfungsvorbereitung die Zeit, sich mit Ihrer Prüfungsangst auseinanderzusetzen. Freuen Sie sich auch über kleine Erfolge! Die Bewältigung von Angst ist ein dynamischer Prozess mit großen und kleinen Veränderungen, vielen Fortschritten und gelegentlichen Misserfolgen. Es ist ein Prozess des inneren Wachsens.

Ein wesentlicher Baustein bei der Bewältigung von Angst ist es, sich anderen mitzuteilen und sich so in Beziehung zu anderen zu setzen. Der Hintergrund dafür ist, dass Sie über die Kommunikation mit anderen zu mehr Klarheit über Ihr eigenes Empfinden, Ihre eigenen Gedanken und Ihr Verhalten gelangen. Au erdem ermöglicht Ihnen der Austausch mit anderen, sich deren Erfahrungen zu Nutze zu machen, das eigene Verhalten gespiegelt zu bekommen und Unterstützung und Zuspruch zu erhalten.

Sollte es Ihnen unmöglich erscheinen, sich anderen mitzuteilen, oder fühlen Sie sich häufig unverstanden, so empfehlen wir Ihnen, sich an einen Psychologischen Psychotherapeuten zu wenden. Auf tieferliegende Konikte oder massive Angste können wir hier nicht eingehen.

Bei sehr starken, immer wiederkehrenden Angstzuständen, Panikattacken oder allgemeiner Niedergeschlagenheit und Verstimmung oder wenn Angste und innere Erregung di us sind und sich nicht konkretisieren lassen ( " Warum habe ich gerade jetzt und wovor eigentlich Angst?") empfehlen wir Ihnen ebenfalls, ärztlichen oder psychologischen Rat einzuholen. Entsprechende Adressen nden Sie über die auf Seite 32 angegebenenWebseiten. Warum bloß habe ich diese Angst?

Inhaltsverzeichnis
Vorwort6
Inhaltsverzeichnis8
1 Grundlegende Begriffe10
1.1 Was ist eine gewöhnliche Differenzialgleichung?10
1.2 Einteilung gewöhnlicher Differenzialgleichungen13
1.3 Lösungen und ihre geometrische Interpretation14
1.4 Anfangs- und Randwertprobleme18
1.5 Einige Beispiele zur Modellierung20
1.6 Direkte und inverse Probleme25
1.7 Bis hierher alles klar?30
2 Differenzialgleichungen 1. Ordnung32
2.1 Ein grafisches Lösungsverfahren32
2.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen34
2.3 Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen40
2.4 Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung44
2.5 Wiederholung ist die Mutter der Weisheit47
3 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung49
3.1 Homogene und inhomogene Differenzialgleichungen49
3.2 Lösungsstruktur linearer Gleichungen50
3.3 Variation der Konstanten51
3.4 Ein algebraisches Lösungsverfahren54
3.5 Die Schwingungsgleichung59
3.6 Die Methode der Laplace-Transformation68
3.6.1 Definition und Existenz der Laplace-Transformation68
3.6.2 Eigenschaften der Laplace-Transformation71
3.6.3 Regeln für die Rücktransformation74
3.6.4 Anwendung zur Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen76
3.7 Haben Sie alles verstanden?84
4 Systeme linearer Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten86
4.1 Homogene und inhomogene Systeme87
4.2 Lösungsstruktur linearer Systeme91
4.3 Variation der Konstanten94
4.4 Ein algebraisches Lösungsverfahren95
4.4.1 Matrixeigenwertprobleme96
4.4.2 Konstruktion eines Fundamentalsystems103
4.5 Lösung von Anfangswertproblemen für Systeme mit dem algebraischen Lösungsverfahren113
4.6 Lösung von Anfangswertproblemen für Systeme mit der Laplace-Transformation118
4.7 Jetzt wiederholen wir noch mal!125
5 Einführung in die Stabilitätstheorie127
5.1 Stetige Abhängigkeit von den Eingangsdaten und Stabilität127
5.2 Stabilität der trivialen Lösung132
5.3 Stabilität und Gleichgewichtslagen136
5.4 Alles stabil?144
6 Etwas zur numerischen Lösung145
6.1 Das EULER-Verfahren146
6.2 Das HEUN-Verfahren148
6.3 Das klassische RUNGE-KUTTA-Verfahren150
6.4 Konvergenz und Schrittweite152
6.5 Annäherungsversuche154
7 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen mit MAPLE156
7.1 Vorbemerkungen156
7.2 Lösung einer skalaren gewöhnlichen Differenzialgleichung160
7.3 Lösung von Systemen168
7.4 Grafische Lösung von Differenzialgleichungen172
Anhang 1: Lösungen der Modellierungsbeispiele176
Anhang 2: Lösungen der Aufgaben180
Anhang 3: Testklausur mit Lösungen190
Anhang 4: Tabelle von Laplace-Transformationen193
Literaturverzeichnis199
Index200

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