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E-Book

Affine Ebenen

eine konstruktive Algebraisierung desarguesscher Ebenen

AutorArtur Bergmann, Erich Baumgartner
VerlagDe Gruyter Oldenbourg
Erscheinungsjahr2013
Seitenanzahl346 Seiten
ISBN9783486747102
FormatPDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis119,95 EUR
Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen.

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Inhaltsverzeichnis
Einleitung11
1 Affine Inzidenzebenen17
1.1 Definition affiner Inzidenzebenen17
1.2 Einfache Folgerungen19
1.3 Kollineationen22
1.4 Punktabbildung einer Kollineation24
1.5 Dilatationen25
1.6 Schließungssätze27
1.6.1 Der große und der kleine Satz von Desargues27
1.6.2 Der große und der kleine Satz von Pappos30
1.6.3 Der Schließungssatz (D*)31
1.6.4 Der große und der kleine Scherensatz33
1.6.5 Zusammenhange zwischen den Schließungssätzen34
1.6.6 (D)-Ebenen u. ä35
2 Parallelverschiebungen in (d)-Ebenen37
2.1 Definition von Parallelogrammen37
2.2 Zur Definition uneigentlicher Parallelogramme41
2.3 Eigenschaften von Parallelogrammen42
2.4 Definition von Parallelverschiebungen46
2.5 Einige Eigenschaften der Parallelverschiebungen48
2.6 Die abelsche Gruppe der Parallelverschiebungen49
2.7 Parallelverschiebungen respektieren die Kollinearitat51
2.8 Parallelverschiebungen als Kollineationen52
2.9 Parallelverschiebungen als Dilatationen53
2.10 Fixpunkte, Fixgeraden, Spuren, Richtung von Parallelverschiebungen53
2.11 Die Untergruppen Tg von T54
2.12 Zusammenhang zwischen T und P, sowie zwischen Tg und Pg55
2.13 Konjugationen in Gruppen56
2.14 Konjugation von Parallelverschiebungen mit Kollineationen57
2.15 Algebraische Struktur der Gruppe (T, o)58
2.16 Zusammenhang zwischen Parallelverschiebungen und Translationen59
2.17 Operieren der Translationsgruppe T auf der Punktmenge P62
Ergänzungen zu Kapitel 267
2.18 Parallelgleichheit Vektoren als Äquivalenzklassen67
2.19 Ortsvektoren68
2.20 Ein geometrischer Beweis von Eigenschaft 2.5 (2)69
3 Streckungen in (D)-Ebenen71
3.1 Definition von Z-Trapezen72
3.2 Zur Definition von uneigentlichen Z-Trapezen74
3.3 Eigenschaften von Z-Trapezen75
3.4 Definition von Streckungen78
3.5 Einige Eigenschaften der Streckungen80
3.6 Die Gruppe der Streckungen mit Zentrum Z81
3.7 Streckungen erhalten die Kollinearität84
3.8 Streckungen als Kollineationen85
3.9 Streckungen als Dilatationen85
3.10 Fixpunkte, Fixgeraden, Spuren von Streckungen86
3.11 Zusammenhang in (D)-Ebenen zwischen der Menge aller Z-Streckungen und der Menge aller Punkte einer Geraden durch Z86
3.12 Konjugation von Streckungen mit Kollineationen88
3.13 Isomorphie aller Streckungsgruppen88
3.14 Konjugation von Parallelverschiebungen mit Streckungen89
3.15 Zusammenhang zwischen Streckungen und Dilatationen mit einem Fixpunkt90
3.16 Die Streckungsgruppe mit Zentrum Z operiert in (D)-Ebenen auf jeder Geraden durch Z92
3.17 Z-Streckungsgleichheit95
3.18 Ein geometrischer Beweis von Satz 3.1496
3.19 (D) ist eine notwendige Voraussetzung fär Satz 3.1198
4 Schiefkörper der spurtreuen Endomorphismen von T101
4.1 Zwei Ergebnisse aus der Linearen Algebra103
4.1.1 Der Endomorphismenring einer abelschen Gruppe103
4.1.2 Abelsche Gruppen als Linksmoduln äber ihrem Endomorphismenring103
4.2 Anwendung auf die abelsche Gruppe (T, o) der Parallelverschiebungen104
4.3 Spurtreue Endomorphismen von (T, o)107
4.4Geometrische Verhaältnisse bei der Anwendung spurtreuer Endomorphismen von (T, o) in (d)-Ebenen109
4.5 Spurtreue Endomorphismen von (T, o) in (D)-Ebenen111
4.6 Der Gruppenhomomorphismus konj : Dil (A) ^ Aut(T, o)115
4.7 Der Schiefkörper K der spurtreuen Endomorphismen von (T, o) in (D)-Ebenen117
4.8 Der einer (D)-Ebene zugeordnete Linksvektorraum KT122
Ergänzungen zu Kapitel 4123
4.9 Eigenschaften der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen123
4.10 Der Schiefkärper K der spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen128
4.11 Algebraischer Beweis der Injektivitat der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen132
4.12 Algebraischer Beweis der Surjektivitäat der von O verschiedenen spurtreuen Endomorphismen in (d)-Ebenen132
4.13 Algebraischer Beweis von K = Konj5o U {O} in (D)-Ebenen133
5 Beziehungen zwischen (D)-Ebenen und algebraisch affinen Ebenen137
5.1 Algebraisch affine Ebenen137
5.1.1 Algebraische affine Raäume und Ebenen138
5.1.2 Affine Standardräume140
5.1.3 Unterraume eines algebraisch affinen Raumes140
5.1.4 Einige Eigenschaften affiner Unterraäume143
5.1.5 Semi-Affinitäten und Affinitaten zwischen affinen Raumen144
5.2 Die einer algebraisch affinen Ebene A kanonisch zugeordnete (D)-Ebene G (A)150
5.3 Die einer (D)-Ebene A kanonisch zugeordnete algebraisch affine Ebene F (A)153
5.4 Kollineationen zwischen (D)-Ebenen induzieren Semi-Affinitäten zwischen den kanonisch zugeordneten algebraisch affinen Ebenen154
5.5 Semi-Affinitaäten zwischen algebraisch affinen Ebenen induzieren Kollineationen zwischen den kanonisch zugeordneten (D)-Ebenen160
5.6 Das Kompositum G o F der kanonischen Zuordnungen liefert eine Kollineation A ^ G o F (A) von (D)-Ebenen162
5.7 Das Kompositum F o G der kanonischen Zuordnungen liefert eine Semi-Affinität A ^ F o G (A) algebraisch affiner Ebenen163
5.7.1 Bezeichnungen163
5.7.2 Bestimmung von T(G (A))164
5.7.3 Bestimmung der Untergruppen Tg von T (G (A))166
5.7.4 Bestimmung des Schiefkörpers K(G (A))166
5.7.5 Streckungen mit Zentrum O in G (A)169
5.7.6 Semi-Affinität von A auf F (G (A))169
5.7.7 Ergebnis170
5.8 Bijektion zwischen der Menge der Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und der Menge der Isomorphieklassen von algebraisch affinen Ebenen171
5.9 Der Hauptsatz der affinen Geometrie und sein Analogon172
5.10 Koordinaten in (D)-Ebenen174
Ergaänzungen zu Kapitel 5177
5.11 Ist der Grundkärper von A kommutativ, so gilt in G (A) der große Satz von Pappos177
6 Affine Kollineationen, insbesondere axiale Kollineationen in (D)-Ebenen Affinitäten und Achsenaffinitäten in algebraisch affinen Ebenen179
6.1 Affine Kollineationen in (D)-Ebenen180
6.2 (ng , a)- Vierecke182
6.3 Eigenschaften von (ng , a) - Vierecken186
6.4 Zur Definition uneigentlicher (ng , a)-Vierecke191
6.5 (ng , a) - Abbildungen192
6.6 (ng , a) - Abbildungen induzieren Kollineationen196
6.7 Eigenschaften der (ng , a) - Kollineationen200
6.8 Axiale Kollineationen202
6.9 Aquivalenz von (ng , a)-Kollineationen und axialen Kollineationen202
6.10 Fundamentalsatz der affinen Geometrie in (D)-Ebenen206
6.11 Komposition axialer Kollineationen mit gleicher Achse208
Erganzungen zu Kapitel 6211
6.12 (ng , a) - Äquivalenz211
6.13 Axiale Kollineationen und Achsenaffinitäaten212
6.14 Algebraische Beschreibung, insbesondere Matrizendarstellung von Achsenaffinitaäten213
6.14.1 Algebraische Beschreibung von Achsenaffinitaäten213
6.14.2 Matrizendarstellung von Scherungen214
6.14.3 Matrizendarstellung von Achsenaffinitäaten, die keine Scherungen sind215
7 Hilbertsche Streckenrechnung in (D)-Ebenen217
7.1 Einleitung217
7.2 Wiederholung aus der Algebra218
7.3 Der Schiefkorper der HlLBERTschen Streckenrechnung219
7.4 Geometrische Konstruktion der Addition von Strecken224
7.5 Geometrische Konstruktion der Multiplikation von Strecken226
7.6 Koordinaten bei der HlLBERTschen Streckenrechnung228
7.7 Kennzeichnung der Geraden als lineare Mannigfaltigkeiten229
7.8 Zusammenhang zwischen den Koordinaten gemäß der HlLBERTschen Streckenrechnung und unseren Koordinaten237
Anhang241
8 Teilverhältnis und Proportionen in (D)-Ebenen243
8.1 Definition und Eigenschaften des Teilverhäaltnisses243
8.2 Strahlensäatze245
8.3 Teilverhäaltnis bei affinen Kollineationen und bei Parallelprojektionen247
8.4 Proportionen in der HlLBERTschen Streckenrechnung249
9 Beweise der verwendeten Zusammenhänge zwischen den Schließungssatzen251
9.1 Aus (D) folgt (d)252
9.2 Aus (d) folgt (p)255
9.3 Aus (p) folgt (s)259
9.4 Aus (P) folgt (D)262
9.5 Aus (D) folgt (D*)276
9.6 Aus (D) folgt (S)284
10 Konstruktive Definition von Zentralkollineationen in projektiven (D)-Ebenen291
10.1 Projektive Ebenen293
10.2 Zusammenhang zwischen projektiven und affinen Ebenen295
10.3 Der Satz von Desargues in projektiven Ebenen297
10.3.1 Der Satz von Desargues in projektiven Ebenen297
10.3.2 Zusammenhang der beiden affinen Schließungssätze (D) und (D*)299
10.3.3 Zusammenhang zwischen (Daff) und (Dproj)300
10.3.4 Allgemeinere Formulierung von (Dproj)301
10.4 (Z, a)-Vierecke301
10.5 Eigenschaften von (Z, a)-Vierecken305
10.6 Zur Definition uneigentlicher (Z, a)-Vierecke307
10.7 (Z, a)-Punktabbildungen308
10.8 (Z, a)-Punktabbildungen induzieren Kollineationen313
10.9 Zentralkollineationen in projektiven Ebenen315
10.10 Äquivalenz der axiomatischen Definition von Zentralkollineationen und der konstruktiven Definition von (Z, a)-Kollineationen in projektiven (D)-Ebenen319
10.11 Beziehungen der (Z, a)-Kollineationen zu den in den Kapiteln 2,321
Ergaönzungen zu Kapitel 10323
10.12 (Z, a)-Äquivalenz323
10.13 Komposition zentraler Kollineationen mit derselben Achse, aber verschiedenen Zentren323
10.14 Äquivalenz des Schließungssatzes D(Z, a) mit der linearen Transitivität der Gruppe Z(Z,a)328
10.15 Anmerkungen zur Gruppe T(a)331
Literaturverzeichnis333
Bezeichnungen335
Index339

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