Textprobe: Kapitel 2.1.2, Entwicklungsverläufe: Trotz mehr als hundertjähriger Forschung bezüglich der Frage, wie sich das Verständnis von Zahlen, Mengen und Rechenoperationen entwickelt, lässt sich diese bis heute nicht eindeutig beantworten. Von einem geschlossenen Entwicklungsmodell kann daher nicht die Rede sein (vgl. GERLACH 2007, 6, Online im Internet). Besonders einflussreich waren in den Sechziger- und Siebzigerjahren Piagets Erkenntnisse zur Herausbildung der Zahlvorstellung bei Kindern. Er machte es sich zur Aufgabe, den logischen und den psychologischen Zugang zur Zahl zusammenzuführen. Der Entwicklungspsychologe definiert die Zahl als ordinal und kardinal zugleich, stellt also keinen Aspekt in den Vordergrund. Piaget versteht den Zahlbegriffserwerb als operativen Prozess, bei dem eine Synthese des kardinalen und ordinalen Aspekts erfolgt. Dementsprechend ist dieses Verständnis äußerst anspruchsvoll: Da Kinder erst im Alter von etwa sieben bis elf (auf der konkret-operationalen Stufe) über solche Operationsleistungen verfügen, haben sie auch erst dann den Zahlbegriff endgültig erworben. Eine herausragende Rolle spielt für Piaget der Begriff der Invarianz. Dabei geht es um die Einsicht, dass die Quantität einer Menge durch Transformationen wie Umschütten oder Vertauschen der Elemente unverändert bleibt. Die geistigen Aktivitäten, die für diese Invarianzaufgaben nötig sind, werden seiner Auffassung nach als Grundlage jedes Denkprozesses betrachtet und sind folglich als Voraussetzung für den Zahlbegriffserwerb zu sehen (vgl. MOSER OPITZ 2008, 33). Piagets Theorie erklärt den Erwerb des Zahlbegriffs aber nur unzureichend, vor allem die Bedeutung der Zahlinvarianz wird heute durch zahlreiche Befunde in Frage gestellt (vgl. ebd. 62). Säuglings- und Kleinkindstudien können belegen, dass Mathematiklernen von Geburt an stattfindet und angeborene bereichsspezifische Fähigkeiten im Entwicklungsverlauf ausgebaut und differenziert werden (vgl. GERLACH 2007, 36?39, Online im Internet). Die erläuterten Aspekte des Zahlverständnisses gründen auf unterschiedlichen, genetisch vorbereiteten kognitiven Schemata. Demnach gilt es, gewisse Muster, die in Ansätzen angelegt sind, im Verlauf der vorschulischen und schulischen Entwicklung auszubauen und miteinander zu verbinden. Der Prozess der Zahlbegriffsentwicklung folgt also keinem linearen Verlauf. Aufgrund der vielfältigen Zahlaspekte, die nicht nur erworben, sondern auch in Beziehung gesetzt werden müssen, ist der Entwicklungsverlauf nur schwer zu fassen und lässt sich nicht einfach durch das Erreichen einzelner Stufen erklären. Oft bleibt die Zahlbegriffsentwicklung anfänglich auch nur auf einen kleineren Zahlenraum beschränkt. Kinder machen also beispielsweise für die Zahlen oder Mengen von Eins bis Drei Entwicklungsfortschritte, die sie aber noch nicht auf größere Zahlen übertragen können. Diese Sachverhalte verdeutlichen, dass die Lernverläufe bezüglich der Zahlbegriffe am ehesten durch Wellenbewegungen beschrieben werden können. In der Folge ist auch Piagets Modell der Zahlbegriffsentstehung zu hinterfragen. Die von ihm beschriebenen Prinzipien sind sehr abstrakt und gelten eher für einen idealen Zahlbegriff. Sinnvolles Rechnen ist jedoch auch schon in Entwicklungsstadien möglich, in denen streng genommen nicht alle Piaget-Kriterien erfüllt sind. Unabhängig davon, welche Entwicklungsreihenfolge angenommen oder welchem Zahlaspekt mehr Bedeutung beigemessen wird, erfordert ein umfassendes Zahlverständnis grundsätzlich die Verfügbarkeit über Zahlwortreihe, Ordnungs- als auch Mengenvorstellungen. Die vollständige Integration aller Teilaspekte zu einem umfassenden Zahlbegriff erfolgt erst im Verlauf der Schulzeit (vgl. ebd., 9). Auch wenn sich allgemeingültige Erklärungsprinzipien zur Entwicklung von mathematischem Wissen und des Zahlbegriffs finden lassen, so durchläuft doch jedes Kind ganz unterschiedliche Lernprozesse. Dieser individuelle Entwicklungsprozess umfasst die ersten Lebensjahre und wird mit dem Ende der Kindheit und dem Beginn der Jugendphase im Wesentlichen abgeschlossen. Verschiedene Alltagssituationen machen dem Kind grundlegende kognitive Operationen wie Seriation, Klassifikation und Invarianz bewusst. Bei allen Untersuchungen zu den Entwicklungsetappen mathematisch relevanter Begriffe lässt sich kein eindeutiges Ergebnis für die Rangfolge von Ordination, Kardination und Zahlinvarianz ableiten. Festhalten lässt sich: - 'Die Ordination entwickelt sich vor der Kardination. -Ordnungszahlaspekte werden früher erworben als einfache Formen der Addition und Subtraktion. -Kinder können Additions- und Subtraktionsaufgaben im Zahlenraum bis 10 lösen, bevor sie die Kardination verstehen. [...]. -Es führen verschiedene Entwicklungswege zum Zahlbegriff' (Werner 2007, 580 f). Es wird vermutet, dass das Zählen eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Zahlbegriffs spielt.