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Mathematik für die ersten Semester

Autor	Wolfgang Mückenheim
Verlag	De Gruyter Oldenbourg
Erscheinungsjahr	2011
Seitenanzahl	348 Seiten
ISBN	9783486719710
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	27,95 EUR

Dieses Buch vermittelt die so genannte höhere Mathematik, also die über das einfache Rechnen hinausgehende Mathematik, deren Lehre gewöhnlich in den letzten Schuljahren begonnen und in den ersten Studiensemestern erweitert und vertieft wird. Es beginnt mit einer Einführung in die mathematische Sprache und behandelt anschließend die Themen Arithmetik, Algebra, Geometrie und Infinitesimalrechnung. Das Buch erklärt den Stoff in berichtendem Stil – mit vielen anschaulichen Beispielen und Übungsaufgaben und solchen Beweisen, die kurz und übersichtlich genug sind, um das Verständnis zu fördern. Der Umfang ist für die meisten technischen Studienfächer völlig ausreichend, für Studierende der Mathematik, Informatik oder Physik bildet er ein solides Fundament.

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Inhaltsverzeichnis

I Grundlagen	13
1 Logik	15
2 Mengen	19
3 Relationen	27
3.1 Abbildungen	30
II Arithmetik	35
4 Die natürlichen Zahlen	37
4.1 Das Prinzip der vollständigen Induktion	37
4.2 Der binomische Satz	38
4.3 Primzahlen	41
5 Erweiterungen der Zahlenmenge	43
5.1 Die ganzen Zahlen	43
5.2 Gruppe	45
5.3 Die rationalen Zahlen	46
5.4 Körper	47
5.5 Die reellen Zahlen	48
5.6 Die komplexen Zahlen	49
III Elementare Geometrie	55
6 Ebene Geometrie	57
7 Trigonometrie	63
8 Vektoren	67
8.1 Vektoraddition	68
8.2 Skalarmultiplikation	69
8.3 Einheitsvektor	70
8.4 Skalarprodukt	71
8.5 Kreuzprodukt	74
8.6 Parallelverschiebung	75
8.7 Polarkoordinaten	76
8.8 Vektorraum	77
9 Geometrie des R3	81
9.1 Geradengleichungen	81
9.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden	83
9.3 Ebenengleichungen	85
9.4 Reguläre Polyeder	86
9.5 Orthonormalbasis	86
IV Lineare Algebra	91
10 Lineare Gleichungssysteme	93
10.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen	95
10.2 Elementaroperationen	95
10.3 Gaußsches Eliminationsverfahren	96
11 Matrizen	101
11.1 Addition und Multiplikation von Matrizen	101
11.2 Die transponierte Matrix	103
11.3 Elementarmatrizen	104
11.4 Inversion von Matrizen	105
11.5 Das Matrixinversionsverfahren	107
12 Determinanten	111
12.1 Sätze über Determinanten	113
12.2 Berechnung von Determinanten	115
12.3 Die adjungierte Matrix	119
12.4 Die Cramersche Regel	121
13 Transformationen mit Matrizen	125
13.1 Drehungen	126
13.2 Streckung und Spiegelungen	129
13.3 Orthogonale Matrizen	130
13.4 Lösungsmengen irregulärer linearer Gleichungssysteme	132
14 Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen	139
14.1 Das Verfahren nach Gauß und Seidel	139
14.2 Stabilität	140
V Algebra und Geometrie	141
15 Polynome	143
15.1 Geschlossene Lösungsverfahren	147
15.2 Approximation der Nullstellen	150
16 Zweidimensionale quadratische Formen	155
16.1 Allgemeine Gleichungen zweiten Grades	158
16.2 Eigenwerte und Eigenvektoren	161
17 Die Kegelschnitte	163
17.1 Die Ellipse	163
17.2 Die Parabel	170
17.3 Die Hyperbel	172
17.4 Tangenten und Polaren der Kegelschnitte	178
17.5 Vergleich der Kegelschnitte	181
17.6 Begründung der Bezeichnung „Kegelschnitt“	181
18 Sphärische Geometrie	189
18.1 Sphärische Trigonometrie	192
VI Infinitesimalrechnung	195
19 Folgen	197
20 Reihen	205
21 Stetige Funktionen	211
22 Funktionenfolgen und Funktionenreihen	213
VII Differentialrechnung	217
23 Der Differentialquotient	219
23.1 Ableitungen einfacher Funktionen	220
23.2 Ableitungsregeln	222
24 Die Exponentialfunktion	227
24.1 Der natürliche Logarithmus	230
24.2 Grenzwerte	231
24.3 Irrationalität der Basis der natürlichen Logarithmen	233
24.4 Die allgemeine Potenz	233
24.5 Logarithmisches Differenzieren	234
25 Die Winkelfunktionen	237
25.1 Die Kreisbogenfunktionen	238
25.2 Die Hyperbelfunktionen	240
26 Kurvendiskussion	245
26.1 Beispiel einer Kurvendiskussion	246
27 Approximation von Funktionen	249
27.1 Der allgemeine binomische Satz	249
27.2 Fourier-Analyse	252
27.3 Die Taylor-Reihe	254
28 Funktionen mehrerer Variablen	261
28.1 Partielle Differentiation	261
28.2 Das totale Differential	263
28.3 Implizite Differentiation	264
VIII Integralrechnung	267
29 Das Integral	269
30 Integrationsmethoden	273
30.1 Direkte Integration	273
30.2 Integration mittels Substitution	274
30.3 Partielle Integration	275
30.4 Logarithmische Integration	277
30.5 Partialbruchzerlegung	278
30.6 Uneigentliche Integrale	281
31 Kurvenlänge und Kurvenkrümmung	285
32 Mehrfachintegrale	287
32.1 Rotationskörper	288
33 Integraltransformationen	291
33.1 Beweis der Gleichungen für die Fourier-Koeffizienten	291
33.2 Fourier-Transformation	292
33.3 Etwas Funktionentheorie	294
33.4 Laplace-Transformation	296
33.5 Rechenregeln für die Laplace-Transformation	299
IX Vektoranalysis	303
34 Differentiation von Feldern	305
34.1 Vektoralgebra	305
34.2 Differentiation eines Vektorfeldes nach einem Skalar	306
34.3 Räumliche Differentiation eines Feldes	307
34.4 Mehrfache Differentiation eines Feldes	310
34.5 Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten	311
35 Integralsätze	315
35.1 Der Satz von Gauß	316
35.2 Greensche Sätze	318
35.3 Der Satz von Stokes	319
X Differentialgleichungen	323
36 Gewöhnliche Differentialgleichungen	325
36.1 Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten	326
36.2 Lineare DGL mit Störfunktion	327
36.3 Trennung der Variablen	328
36.4 Lösen von DGL mit der Laplace-Transformation	328
Literatur	331
Stichwortverzeichnis	335

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