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E-Book

Mathematik für die ersten Semester

AutorWolfgang Mückenheim
VerlagDe Gruyter Oldenbourg
Erscheinungsjahr2011
Seitenanzahl348 Seiten
ISBN9783486719710
FormatPDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis27,95 EUR
Dieses Buch vermittelt die so genannte höhere Mathematik, also die über das einfache Rechnen hinausgehende Mathematik, deren Lehre gewöhnlich in den letzten Schuljahren begonnen und in den ersten Studiensemestern erweitert und vertieft wird. Es beginnt mit einer Einführung in die mathematische Sprache und behandelt anschließend die Themen Arithmetik, Algebra, Geometrie und Infinitesimalrechnung. Das Buch erklärt den Stoff in berichtendem Stil – mit vielen anschaulichen Beispielen und Übungsaufgaben und solchen Beweisen, die kurz und übersichtlich genug sind, um das Verständnis zu fördern. Der Umfang ist für die meisten technischen Studienfächer völlig ausreichend, für Studierende der Mathematik, Informatik oder Physik bildet er ein solides Fundament.

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Inhaltsverzeichnis
I Grundlagen13
1 Logik15
2 Mengen19
3 Relationen27
3.1 Abbildungen30
II Arithmetik35
4 Die natürlichen Zahlen37
4.1 Das Prinzip der vollständigen Induktion37
4.2 Der binomische Satz38
4.3 Primzahlen41
5 Erweiterungen der Zahlenmenge43
5.1 Die ganzen Zahlen43
5.2 Gruppe45
5.3 Die rationalen Zahlen46
5.4 Körper47
5.5 Die reellen Zahlen48
5.6 Die komplexen Zahlen49
III Elementare Geometrie55
6 Ebene Geometrie57
7 Trigonometrie63
8 Vektoren67
8.1 Vektoraddition68
8.2 Skalarmultiplikation69
8.3 Einheitsvektor70
8.4 Skalarprodukt71
8.5 Kreuzprodukt74
8.6 Parallelverschiebung75
8.7 Polarkoordinaten76
8.8 Vektorraum77
9 Geometrie des R381
9.1 Geradengleichungen81
9.2 Abstand eines Punktes von einer Geraden83
9.3 Ebenengleichungen85
9.4 Reguläre Polyeder86
9.5 Orthonormalbasis86
IV Lineare Algebra91
10 Lineare Gleichungssysteme93
10.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen95
10.2 Elementaroperationen95
10.3 Gaußsches Eliminationsverfahren96
11 Matrizen101
11.1 Addition und Multiplikation von Matrizen101
11.2 Die transponierte Matrix103
11.3 Elementarmatrizen104
11.4 Inversion von Matrizen105
11.5 Das Matrixinversionsverfahren107
12 Determinanten111
12.1 Sätze über Determinanten113
12.2 Berechnung von Determinanten115
12.3 Die adjungierte Matrix119
12.4 Die Cramersche Regel121
13 Transformationen mit Matrizen125
13.1 Drehungen126
13.2 Streckung und Spiegelungen129
13.3 Orthogonale Matrizen130
13.4 Lösungsmengen irregulärer linearer Gleichungssysteme132
14 Iterative Lösung von linearen Gleichungssystemen139
14.1 Das Verfahren nach Gauß und Seidel139
14.2 Stabilität140
V Algebra und Geometrie141
15 Polynome143
15.1 Geschlossene Lösungsverfahren147
15.2 Approximation der Nullstellen150
16 Zweidimensionale quadratische Formen155
16.1 Allgemeine Gleichungen zweiten Grades158
16.2 Eigenwerte und Eigenvektoren161
17 Die Kegelschnitte163
17.1 Die Ellipse163
17.2 Die Parabel170
17.3 Die Hyperbel172
17.4 Tangenten und Polaren der Kegelschnitte178
17.5 Vergleich der Kegelschnitte181
17.6 Begründung der Bezeichnung „Kegelschnitt“181
18 Sphärische Geometrie189
18.1 Sphärische Trigonometrie192
VI Infinitesimalrechnung195
19 Folgen197
20 Reihen205
21 Stetige Funktionen211
22 Funktionenfolgen und Funktionenreihen213
VII Differentialrechnung217
23 Der Differentialquotient219
23.1 Ableitungen einfacher Funktionen220
23.2 Ableitungsregeln222
24 Die Exponentialfunktion227
24.1 Der natürliche Logarithmus230
24.2 Grenzwerte231
24.3 Irrationalität der Basis der natürlichen Logarithmen233
24.4 Die allgemeine Potenz233
24.5 Logarithmisches Differenzieren234
25 Die Winkelfunktionen237
25.1 Die Kreisbogenfunktionen238
25.2 Die Hyperbelfunktionen240
26 Kurvendiskussion245
26.1 Beispiel einer Kurvendiskussion246
27 Approximation von Funktionen249
27.1 Der allgemeine binomische Satz249
27.2 Fourier-Analyse252
27.3 Die Taylor-Reihe254
28 Funktionen mehrerer Variablen261
28.1 Partielle Differentiation261
28.2 Das totale Differential263
28.3 Implizite Differentiation264
VIII Integralrechnung267
29 Das Integral269
30 Integrationsmethoden273
30.1 Direkte Integration273
30.2 Integration mittels Substitution274
30.3 Partielle Integration275
30.4 Logarithmische Integration277
30.5 Partialbruchzerlegung278
30.6 Uneigentliche Integrale281
31 Kurvenlänge und Kurvenkrümmung285
32 Mehrfachintegrale287
32.1 Rotationskörper288
33 Integraltransformationen291
33.1 Beweis der Gleichungen für die Fourier-Koeffizienten291
33.2 Fourier-Transformation292
33.3 Etwas Funktionentheorie294
33.4 Laplace-Transformation296
33.5 Rechenregeln für die Laplace-Transformation299
IX Vektoranalysis303
34 Differentiation von Feldern305
34.1 Vektoralgebra305
34.2 Differentiation eines Vektorfeldes nach einem Skalar306
34.3 Räumliche Differentiation eines Feldes307
34.4 Mehrfache Differentiation eines Feldes310
34.5 Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten311
35 Integralsätze315
35.1 Der Satz von Gauß316
35.2 Greensche Sätze318
35.3 Der Satz von Stokes319
X Differentialgleichungen323
36 Gewöhnliche Differentialgleichungen325
36.1 Homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten326
36.2 Lineare DGL mit Störfunktion327
36.3 Trennung der Variablen328
36.4 Lösen von DGL mit der Laplace-Transformation328
Literatur331
Stichwortverzeichnis335

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