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E-Book

Zinsderivate

AutorChristian Schlag, Nicole Branger
VerlagSpringer-Verlag
Erscheinungsjahr2004
Seitenanzahl212 Seiten
ISBN9783540350361
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis9,99 EUR

Zinsderivate wie Swaps, Caps, Forwards oder Futures ermöglichen auf vielfältige Weise das Management von Zinsrisiken. Die Bewertung dieser Kontrakte erscheint jedoch meist wesentlich schwieriger und anspruchsvoller als die Bewertung von Aktien- oder Währungsderivaten, da Anleihen besondere Charakteristika, wie eine begrenzte Restlaufzeit und einen sicheren Rückzahlungsbetrag am Laufzeitende, aufweisen. Dieses Buch will dem interessierten Leser den Zugang zu den Modellen erleichtern, indem die allgemeine Bewertungstheorie ausgehend von einfachen Grundlagen in diskreten einperiodigen Modellen entwickelt wird. Die Palette der Modelle reicht dabei von diskreten Ansätzen über zeitstetige Short-Rate-Modelle bis hin zu zinsstrukturkonformen Ansätzen und den aktuell diskutierten LIBOR-Market-Modellen. Bei der Darstellung wird stets großer Wert auf die Vermittlung der ökonomischen Intuition gelegt. Das Buch bietet durch zahlreiche Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen eine fundierte Grundlage zum Selbststudium.

Geschrieben für:
Studierende im Fach Finanzen, Praktiker aus der Finanzbranche

Schlagworte:
Arbitragebewertung
Derivatebewertung
Derivative
Finanzinstrumente
Finance
Zinsderivate
Zinsmodelle
Zinsstrukturen

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Leseprobe

4 Diskrete Zinsmodelle (S. 57-58)

4.1 Überblick

Die Bewertung von Derivaten basiert auf einem Model fur die zeitliche Entwicklung des Underlyings. So wird z.B. im Rahmen des klassischen Binomi- almodells die zukunftige Entwicklung des Aktienkurses modelliert. Anschließend können im Rahmen des Modells Derivate auf die Aktie bewertet werden. Unser Ziel ist es nun, die zukunftige Entwicklung der Zinsen und Anleiheprei- se in einem Model1 abzubilden, um in diesem Model1 dann Zinsderivate zu bewerten. Zinsmodelle weisen gegenuber den Modellen fur Aktienderivate einige Besonderheiten auf.

In Abschnitt 4.2 werden kurz die Probleme skizziert, die Zinsmodelle und die Bewertung von Zinsderivaten zu einem eigenstandigen und umfa.ngreichen Thema werden liefien. Wir beginnen die Diskussion der zeit- und zustandsdiskreten Ansatze mit dem Model1 von Ho und Lee (1986) in Abschnitt 4.3. Es gilt gemeinhin als das erste zinsstrukturkonforme Modell, in dem die endogen berechneten Preise von NKAs mit den exogen vorgegebenen (Markt-)Preisen ubereinstimmen.

Diese korrekte Bewertung des Underlyings ist unabdingbare Voraussetzung fur eine sinnvolle Bewertung von Zinsderivaten. Ein Nachteil des Modells von Ho und Lee ist jedoch das unterstellte Ver- halten fur den Zins. So konnen unter anderem negative Zinsen auftreten. Die Losung dieses Problems fuhrt auf das in Abschnitt 4.4 dargestellte Model1 von Black, Derman und Toy (1990), in dem durch eine andere Modellierung des Zinses sichergestellt wird, dass die Zinsen immer positiv bleiben.

Der Preis, den man hierfür zu zahlen hat, ist, dass die Kalibration des Modells an eine gegebene Zinsstruktur nur noch numerisch moglich ist. 4.2 Besonderheiten von Zinsmodellen Zinsen und zinssensitive Finanztitel weisen im Vergleich zu Aktien einige Besonderheiten auf, die bei der Modellierung zu beachten sind und die eine ein- fache ubertragung von Ansatzen fur Aktienderivate wie z.B. des Modells von Cox, Ross und Rubinstein (1979) auf Zinsderivate verhindern.

Diese Besonderheiten sollen nun kurz skizziert werden. In den folgenden Kapiteln werden wir auf sie noch haufiger zuruckkommen, auch im Zusammenhang mit Ansatzen, die genau diese speziellen Probleme losen (sollen). Die erste Frage in einem Zinsmodell ist, welche zugrundeliegende Grofle modelliert werden soll. Wahrend man in einem Model1 fur die Bewertung von Aktienderivaten in der Regel einfach das Verhalten des Aktienkurses beschreibt, gibt es in einem Zinsmodell mehrere Alternativen bei der Wahl des Underlyings. Zum einen kann man die Entwicklung der gesamten Zinsstruktur auf einmal modellieren, wobei die Zinsstruktur durch die Diskontierungsfunk- tion oder durch die Terminzinskurve reprasentiert sein kann.

Zum anderen kann man das Verhalten einiger weniger Zustandsvariablen an den Anfang stellen und die Entwicklung der Zinsstruktur aus diesen Zustandsvariablen ableiten. Bei den Zustandsvariablen kann es sich um Zinsen selbst handeln (beispielsweise die Short Rate oder Kassazinsen fur ausgewahlte Fristigkeiten), um die Volatilitat der Short Rate oder den Mittelwert der Short Rate oder auch um Zustandsvariablen, die keine direkte anschauliche Interpreta- tion haben. Diese beiden grundsatzlichen Arten von Ansatzen werden wir bei der Diskussion der stetigen Zinsmodelle in Kapitel 6 noch gegeneinander abgrenzen.

Inhaltsverzeichnis
Vorwort6
Inhaltsverzeichnis8
1 Ein Überblick über zinssensitive Finanztitel13
2 Zinsstrukturen und Zinsderivate19
2.1 Zinsstrukturen20
2.1.1 Diskontierungsfunktion20
2.1.2 Kassazins20
2.1.3 Terminzins21
2.1.4 Kurzfristiger Terminzins23
2.1.5 Zinssicherheit und Zinsunsicherheit24
2.2 Anleihen25
2.2.1 Nullkuponanleihe25
2.2.2 Kuponanleihe25
2.2.2.1 Festverzinsliche Anleihe25
2.2.2.2 Variabel verzinsliche Anleihe26
2.3 Anleiheoptionen28
2.3.1 Verteilungsfreie Wertuntergrenzen fiir Anleiheoptionen29
2.3.2 Verteilungsfreie Wertobergrenzen fiir Anleiheoptionen30
2.3.3 Vorzeitige Ausubung amerikanischer Anleiheoptionen31
2.3.4 Put-Call-Paritat fur europaische Optionen31
2.4 Forwards und Futures auf Anleihen32
2.4.1 Forwards32
2.4.2 Futures33
2.5 Forwards und Futures auf Zinsen34
2.6 Swaps35
2.6.1 Payer und Receiver Swaps35
2.6.1.1 Payer Swaps36
2.6.1.2 Receiver Swaps36
2.6.1.3 Swap Rate36
2.6.2 Forward Swaps37
2.6.3 Swaptions37
2.7 Caps, Floors und Collars38
2.7.1 Caps38
2.7.2 Floors40
2.7.3 Cap-Floor-Paritat41
2.7.4 Collars42
2.8 Aufgaben43
2.9 Lösungshinweise45
3 Bewertung in diskreter Zeit47
3.1 Einperiodiges Modell48
3.1.1 Modelltikönomie48
3.1.2 Arbitragemöglichkeiten49
3.1.3 Duplikation51
3.1.4 Vollständigkeit51
3.1.5 Risikoneutrales Martingalmaß (RNM)52
3.2 Mehrperiodiges Modell56
3.2.1 Modellökonomie56
3.2.2 Duplikation und Rückwärtsrechnung im Baum58
3.2.3 Vollstandigkeit59
3.2.4 Arbitragefreiheit59
3.2.5 Risikoneutrale Bewertung60
3.2.6 Zwischenzeitliche Zahlungen61
3.2.7 Amerikanische Derivate61
3.3 Aufgaben63
3.4 Lösungshinweise66
4 Diskrete Zinsmodelle69
4.1 Überblick69
4.2 Besonderheiten von Zinsmodellen70
4.3 Das Modell von Ho und Lee71
4.3.1 Beschreibung des Modells71
4.3.1.1 Baum der Diskontierungsfunktion71
4.3.1.2 Beispiel77
4.3.1.3 Volatilitätsparameter77
4.3.1.4 Anleihepreise78
4.3.2 Zinsstruktur79
4.3.2.1 Short Rate79
4.3.2.2 Fortführung des Beispiels: Baum der Short Rate81
4.3.2.3 Kassazinsen81
4.3.2.4 Terminzinsen82
4.3.3 Bewertung von Derivaten82
4.3.3.1 Optionen83
4.3.3.2 Futures85
4.3.3.3 Fortfiihrung des Beispiels: Futures- und Forwardpreis87
4.3.3.4 Caps und Floors87
4.3.3.5 Fortfiihrung des Beispiels: Bewertung von Caps und Floors88
4.4 Das Modell von Black, Derman und Toy91
4.4.1 Baum der Short Rate92
4.4.2 Kalibration des Modells93
4.4.2.1 Gegebene Volatilitsten der Short Rates93
4.4.2.2 Gegebene Volatilitaten der Kassazinsen in t = 193
4.4.3 Beispiel96
4.5 Terminrisikoangepasste Bewertung99
4.6 Aufgaben107
4.7 Lösungshinweise110
5 Bewertung in stetiger Zeit117
5.1 Modellökonomie118
5.2 Grundlagen der stochastischen Analysis118
5.2.1 Stochastische Prozesse119
5.2.2 Wiener Prozesse, stochastische Differentialgleichungen und stochastische Integrale119
5.2.3 Itos Lemma123
5.3 Risikoneutrale Bewert ung125
5.3.1 Bestimmung des risikoneutralen MaBes126
5.3.2 Bewertung von Derivaten128
5.4 Fundament ale part ielle Different ialgleichung129
5.5 Aufgaben132
5.6 Lösungshinweise133
6 Zeitstetige Zinsmodelle137
6.1 Überblick137
6.2 Das Modell von Heath, Jarrow und Morton138
6.2.1 Modellbeschreibung138
6.2.1.1 Stochastik der Forwardzinsen und der Anleihepreise139
6.2.1.2 Arbitragefreiheit und Driftrestriktionen141
6.2.2 Risikoneutrale Bewertung142
6.2.2.1 Bestimmung des risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaßes142
6.2.2.2 Stochastik unter dern risikoneutralen Maß143
6.2.2.3 Risikoneutrale Bewertung von Derivaten144
6.2.3 Terminrisikoangepasste Bewertung144
6.2.3.1 Bestimmung des terminrisikoangepassten Maßes144
6.2.3.2 Prozesse unter dem terminrisikoangepassten Maß146
6.2.3.3 Terminrisikoangepasste Bewertung von Derivaten146
6.2.3.4 Beispiel: Bewertung eines europaischen Calls146
6.2.3.5 Beispiel: Forward- und Futurespreise147
6.2.4 Verallgemeinerung: d-dimensionaler Wiener Prozess148
6.2.5 Gauß-Zinsmodelle149
6.2.5.1 Exkurs: Normalverteilung und Lognormalverteilung150
6.2.5.2 Bewertung von Anleihen, Futures und Optionen im GauB-Zinsmodell151
6.2.5.3 Gad-Zinsmodell mit konstanter Volatilität156
6.2.5.4 Gaufi-Zinsmodell mit exponentiell gedampfter Volatilität159
6.3 Das LIBOR Market-Modell161
6.3.1 Definition des LIBOR161
6.3.2 Modellierung des Forward-LIBOR162
6.3.3 Terminal Measure163
6.3.3.1 Zusammenhang zwischen den terminrisikonangeparjten Maßen163
6.3.3.2 Forward-LIBOR unter d e m Terminal Measure164
6.3.4 Bewertung von Derivaten im LIBOR Market-Modell165
6.3.4.1 Bewertung einer variabel verzinslichen Zahlung165
6.3.4.2 Bewertung eines Caps166
6.4 Das Swap Market-Modell167
6.4.1 Definition und Modellierung der Swap Rate167
6.4.2 Bewertung einer Swaption167
6.5 Short Rate-Modelle169
6.5.1 Grundlagen169
6.5.1.1 Beschreibung der Unsicherheit169
6.5.1.2 Bestimmung des risikoneutralen Maßes170
6.5.1.3 Bewertung von Derivaten in Short Rate-Modellen171
6.5.1.5 Abgrenzung von Short Rate-Modellen gegen das HJM-Modell172
6.5.2 Die zeitstetige Version des Modells von Ho und Lee173
6.5.2.1 Beschreibung des Modells174
6.5.2.3 Bestimmung der Zinsstruktur175
6.5.2.4 Kalibration des Modells177
6.5.3 Das Modell von Vasicek180
6.5.3.1 Beschreibung des Modells180
6.5.3.2 Verhalten der Short Rate181
6.5.3.3 Bestimmung der Zinsstruktur182
6.5.3.4 Kalibration des Modells184
6.5.3.5 Verbindung zum Modell von HJM184
6.5.4 ,,Extended Vasicek"185
6.5.4.1 Beschreibung des Modells185
6.5.4.2 Verhalten der Short Rate185
6.5.4.3 Bestimmung der Zinsstruktur186
6.5.4.4 Kalibration des Modells188
6.5.4.5 Verbindung zum Modell von HJM189
6.5.5 Das Modell von Cox, Ingersoll und Ross190
6.5.5.1 Beschreibung des Modells190
6.5.5.2 Verhalten der Short Rate190
6.5.5.3 Bestimmung der Zinsstruktur192
6.6 Aufgaben194
6.7 Losungshinweise199
Abbildungsverzeichnis205
Literatur207
Index209

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