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E-Book

Alles Mathematik

Von Pythagoras zu Big Data

VerlagSpringer Spektrum
Erscheinungsjahr2016
Seitenanzahl466 Seiten
ISBN9783658099909
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis29,99 EUR
Dieses Buch ist für ein allgemeines Publikum und bietet spannende Beiträge renommierter Mathematiker(innen), die mit den gängigen Vorurteilen 'Mathematik ist zu schwer, zu trocken, zu abstrakt, zu abgehoben' aufräumen. Denn Mathematik ist überall in den Anwendungen gefragt, weil sie das oft einzige Mittel ist, praktische Probleme zu analysieren und zu verstehen. Vom CD-Player zur Börse, von der Computertomographie zur Verkehrsplanung, alles ist (auch) Mathematik. Wer hätte gedacht, dass die Primzahlen, die schon seit der Antike die Mathematiker beschäftigen, heute ganz wesentlich zu unserer Datensicherheit beitragen? Zwei wesentliche Aspekte der Mathematik werden deutlich: Einmal ist sie die reinste Wissenschaft - Denken als Kunst -, und andererseits ist sie durch eine Vielzahl von Anwendungen in allen Lebensbereichen gegenwärtig. In der jetzt vorliegenden 4. Auflage wurde das Spektrum der behandelten Themen durch neue Beiträge erweitert. Man kann sich nun über Big Data, Mathematik und Wahlen, Visualisierung sowie Computerbeweise informieren.



Prof. Dr. Martin Aigner, Fachbereich Mathematik, Freie Universität Berlin
Prof. Dr. Ehrhard Behrends, Fachbereich Mathematik, Freie Universität Berlin

 

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Inhaltsverzeichnis
Einleitung5
Einleitung zur zweiten Auflage6
Einleitung zur dritten Auflage6
Einleitung zur vierten Auflage7
Inhalt8
Prolog11
Mathe wird Kult – Beschreibung einer Hoffnung12
Konkrete Fallstudien14
Die Mathematik der Compact Disc15
Wörter und Codes15
Ein einfaches Beispiel15
Von Musik zu Audiobits17
Reed–Solomon-Codes18
Die Compact Disc22
Literatur23
Therapieplanung an virtuellen Krebspatienten24
Hyperthermie, eine neue Krebstherapie24
Von der klinischen Wirklichkeit zum mathematischen Modell25
Vom mathematischen Modell zum virtuellen Labor28
Zusammenfassung33
Literatur33
Bildverarbeitung und Visualisierung für die Operationsplanung am Beispiel der Leberchirurgie35
1 Einleitung35
2 Medizinischer Hintergrund36
3 Architektur eines Systems zur Operationsplanung38
4 Leber- und Tumorsegmentierung38
5 Gefäßsegmentierung und -analyse41
6 Visualisierung und Exploration der analysierten Daten45
7 Zusammenfassung48
8 Ausblick48
Literatur49
Big Data – Die Analyse großer Datenmengen in derMedizin50
1 Was wäre möglich?50
2 Die moderne Evidenz-basierte Medizin51
3 Von Small-Data zu Big-Data52
4 Big Data in der Medizin54
5 Probleme bei der Big Data Analyse55
6 Andere Ansätze für Big Data Analyse58
7 Mathematische Formulierung59
8 Grundlagen zur Lösung des Minimierung-Problems60
9 Zurück zur Medizin – Interpretation der Lösung63
10 Fazit: Die Hoffnung der medizinischen Big Data Analyse65
11 Ausblick: Modellbildung durch wissens-basierte Regularisierung66
Der schnellste Weg zum Ziel67
1 Historische Ouvertüre67
2 Kombinatorik der kürzesten Wege73
2.1 Nahverkehr und Graphentheorie73
2.2 Auf den Spuren des Zufalls76
2.3 Münchhausen versus Archimedes77
2.4 Arbeitszeitgesetz für Algorithmen81
2.5 Beschränkte Ressourcen84
3 Kombinationen von Wegen86
3.1 Dienstplanung Light86
3.2 Dienste und Wege88
3.3 Set Partitioning Modelle89
3.4 Pläne = Pfade + Preise + Programme90
4 Ausblick93
5 Weiterführende Literatur94
6 Auflösungen der Fragen95
Romeo und Julia, spontane Musterbildung und Turings Instabilität97
1 Turing träumt97
2 Romeo und Julia98
3 Roberto und Julietta100
4 Wenn Schwestern schwatzen . . .101
5 . . . und Brüder prahlen106
6 Turings Theorem109
7 Mathematische Zusammenfassung111
8 Ausblick112
Literatur115
Mathematik und intelligente Materialien116
Mathematik als Schlüsseltechnologie116
Metalle mit Gedächtnis116
Gedächtnis und Mikrostruktur117
Überall Mikrostrukturen119
Mikrostrukturen als optimale Formen120
Der mathematische Zufall hilft – Youngsche Maße122
Design neuer Materialien durch Mathematik123
Zukünftige Herausforderungen: Multiskalenmathematik oder der Brückenschlag von Atomen zu Materialien124
Proteinfaltung, rauhe Energielandschaften und Optimierung126
Literatur127
Diskrete Tomographie: Vom Schiffeversenken bis zur Nanotechnologie128
Vom Blick in den menschlichen Körper128
Unter der Schulbank129
Einteilung von Arbeitskräften und Datensicherheit134
Über die Rekonstruktion kristalliner Strukturen135
Eindeutigkeitssätze139
Komplexität und Algorithmen144
Stabilität145
Blicke in die Unendlichkeit148
Kindheitserinnerungen148
1 Gute Winkel, schlechte Winkel148
2 One, two, three . . . infinity150
3 Kaleidoskope – Schönschauer151
4 Zahlenspiele153
5 Lichtbillard, Anti-Tarnboote und Egoistenspiegel155
6 Der perfekte Vitrinenschrank157
7 Weg vom rechtenWinkel158
8 Platonische Schönheiten161
9 Weihnachts-Chaos163
10 Kreise spiegeln164
11 Eine neue Welt166
12 Bis zur Unendlichkeit und noch viel weiter169
13 Lese- und Surftips172
Themen in der aktuellen Diskussion174
Die Rolle der Mathematik auf den Finanzmärkten175
Literatur188
Mit Mathematik die Datenflut beherrschen?189
1 Welche Rolle spielt die Mathematik?190
2 Der Informationsgehalt von Daten191
3 Transformationen aus der Angewandten Harmonischen Analysis192
4 Warum nicht gleich weniger Daten akquirieren?194
5 Anwendungen von Compressed Sensing197
Literaturverzeichnis198
Elektronisches Geld. Ein Ding der Unmöglichkeit oder bereits Realität?199
1 Einleitung199
2 Was ist Geld?199
3 Kryptographische Mechanismen200
4 Elektronisches Geld: Das Grundschema203
5 Einmaligkeit204
6 Zusatzeigenschaften205
6.1 Übertragbarkeit205
6.2 Teilbarkeit206
6.3 Fairness206
Fazit207
Literatur208
Kugeln im Computer – die Kepler-Vermutung209
Eine ganz harte Nuss209
In der Ebene212
In die dritte Dimension220
Eine skandalöse Situation225
Ein Kochrezept?226
Computer versus Kepler230
Probleme, Probleme232
Literatur235
Wie rechnen Quanten? Die neue Welt der Quantencomputer237
1 Warum sind Primzahlen in der Kryptographie wichtig?238
2 Eine mathematische Vorbereitung: Periodenlängen239
3 Etwas Quantenmechanik242
4 Qbits: Die Bausteine eines Quantencomputers243
5 Wie faktorisiert man mit einem Quantencomputer große Zahlen?245
6 Zusammenfassung247
Literatur248
Der große Satz von Fermat – die Lösung eines 300 Jahre alten Problems249
1 Einführung249
2 Wie stieß Fermat auf seine Vermutung?250
3 Die Zeit zwischen 1637 und 1980251
4 Die drei Welten253
5 Die Brücken zwischen den drei Welten256
6 Die Anti-Fermat-Welt existiert nicht257
Literatur259
Eine kurze Geschichte des Nash-Gleichgewichts260
Hat Sherlock Holmes eine Chance?260
Die Kunst des Bluffens261
Maximin-Lösungen264
Das Gleichgewicht von Nash265
Ideen aus der Evolutionstheorie266
Das Gefangenendilemma268
Wie Du mir, so ich Dir269
Altruismus versus Eigennutz271
Die Qual der Wahl – die Mathematik des Wählens275
1 Präferenzen: Was heißt eigentlich „besser“?275
2 Lösungsvorschläge277
2.1 Mehrheitswahl277
2.2 Iterative Mehrheitswahl278
2.3 Die Borda-Methode278
2.4 Condorcet: Intransitivitäten auflösen280
2.5 Weitere Vorschläge282
3 Es gibt keine befriedigende Lösung: Der Satz von Arrow283
4 Wie kann der Wählerwille gerecht verteilt werden?284
5 Die deutsche Annäherung an das Gerechtigkeits-Ideal288
Literaturverzeichnis290
Mathematik im Klima des globalen Wandels291
Warum Klima- und Klimafolgenforschung?291
Komplexitäten293
„Textaufgaben“297
Multiple Skalen300
Näherungslösungen und fehlende Gitterpunkte302
Mehrskalenasymptotik für den Oszillator mit kleiner Masse und Dämpfung305
Wirbelstürme: Ein Beispiel für Mehrskalenphänomene309
Abschließendes312
Literatur313
Der rote Faden315
Primzahlen, geheime Codes und die Grenzen der Berechenbarkeit316
1 Primzahlen316
2 Geheime Codes319
3 Grenzen der Berechenbarkeit322
Literatur324
Die Mathematik der Knoten325
Zur Geschichte325
Von wilden und zahmen Knoten und der Suche nach dem richtigen mathematischen Begriff329
Polygonale Knoten. Der Zugang von Reidemeister zur Knotentheorie334
Es gibt echte Knoten337
Einige Knotenfamilien343
Von den Seifenblasen350
Literatur und Bildnachweise360
Blasencluster und Polyeder361
Wärmeleitung, die Struktur des Raumes und die Poincaré-Vermutung372
1 Einleitung372
2 Geometrie und Topologie von Flächen374
3 Geometrie und Topologie dreidimensionaler Räume389
4 Wärmeleitung und die Geometrie von Kurven399
5 Riccifluss, Geometrisierung und die Poincaré-Vermutung403
6 Schlusswort413
Literatur414
Zufall und Mathematik: Eine späte Liebe416
1 Wie fing es an?416
2 Wie macht man es heute?417
3 Wichtige Konzepte420
4 Glücksspiel423
5 Der Zufall verliert sich im Unendlichen426
6 Die produktive Rolle des Zufalls428
7 Der Zufall im Mikrokosmos430
8 Philosophisches432
Epilog434
Empirische Mathematik: Die Methode (!) „Rate und Prüfe“435
Der siebenjährige Gauß435
Physikalische Induktion und mathematische Deduktion436
Die Evolution hat uns nicht vorbereitet für logisches Schließen und strenge Beweisführung436
Die kulturelle Evolution der Mathematik hat uns nicht vorbereitet, Computer optimal zu nutzen437
Ein altes Rätsel437
Küchengeheimnisse441
Was ist eine gute Antwort?442
Zurück ins Casino445
Der allgemeine Fall445
Zwei und mehr Dimensionen446
Maple Pakete und einige Eingaben- und Ausgabenfiles447
Wie man Muster erkennt448
Es ist Zeit, klassische und empirische Mathematik gleichberechtigt nebeneinander zu stellen449
Literatur449
Intuition versus logische Strenge451
1 Am Anfang war die Intuition451
2 Dann kamen die Griechen453
3 Intuition und logische Strenge Seite an Seite454
4 Logische Strenge übernimmt die Führung456
5 Dann kamen die elektronischen Computer459
6 Bemerkungen und Beispiele460
7 Was erwartet uns in Zukunft?461
Literatur464
Autoren465

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