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E-Book

Alles Mathematik

Von Pythagoras zu Big Data

Verlag	Springer Spektrum
Erscheinungsjahr	2016
Seitenanzahl	466 Seiten
ISBN	9783658099909
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	54,99 EUR

Dieses Buch ist für ein allgemeines Publikum und bietet spannende Beiträge renommierter Mathematiker(innen), die mit den gängigen Vorurteilen 'Mathematik ist zu schwer, zu trocken, zu abstrakt, zu abgehoben' aufräumen. Denn Mathematik ist überall in den Anwendungen gefragt, weil sie das oft einzige Mittel ist, praktische Probleme zu analysieren und zu verstehen. Vom CD-Player zur Börse, von der Computertomographie zur Verkehrsplanung, alles ist (auch) Mathematik. Wer hätte gedacht, dass die Primzahlen, die schon seit der Antike die Mathematiker beschäftigen, heute ganz wesentlich zu unserer Datensicherheit beitragen? Zwei wesentliche Aspekte der Mathematik werden deutlich: Einmal ist sie die reinste Wissenschaft - Denken als Kunst -, und andererseits ist sie durch eine Vielzahl von Anwendungen in allen Lebensbereichen gegenwärtig. In der jetzt vorliegenden 4. Auflage wurde das Spektrum der behandelten Themen durch neue Beiträge erweitert. Man kann sich nun über Big Data, Mathematik und Wahlen, Visualisierung sowie Computerbeweise informieren.

Prof. Dr. Martin Aigner, Fachbereich Mathematik, Freie Universität Berlin
Prof. Dr. Ehrhard Behrends, Fachbereich Mathematik, Freie Universität Berlin

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung	5
Einleitung zur zweiten Auflage	6
Einleitung zur dritten Auflage	6
Einleitung zur vierten Auflage	7
Inhalt	8
Prolog	11
Mathe wird Kult – Beschreibung einer Hoffnung	12
Konkrete Fallstudien	14
Die Mathematik der Compact Disc	15
Wörter und Codes	15
Ein einfaches Beispiel	15
Von Musik zu Audiobits	17
Reed–Solomon-Codes	18
Die Compact Disc	22
Literatur	23
Therapieplanung an virtuellen Krebspatienten	24
Hyperthermie, eine neue Krebstherapie	24
Von der klinischen Wirklichkeit zum mathematischen Modell	25
Vom mathematischen Modell zum virtuellen Labor	28
Zusammenfassung	33
Literatur	33
Bildverarbeitung und Visualisierung für die Operationsplanung am Beispiel der Leberchirurgie	35
1 Einleitung	35
2 Medizinischer Hintergrund	36
3 Architektur eines Systems zur Operationsplanung	38
4 Leber- und Tumorsegmentierung	38
5 Gefäßsegmentierung und -analyse	41
6 Visualisierung und Exploration der analysierten Daten	45
7 Zusammenfassung	48
8 Ausblick	48
Literatur	49
Big Data – Die Analyse großer Datenmengen in derMedizin	50
1 Was wäre möglich?	50
2 Die moderne Evidenz-basierte Medizin	51
3 Von Small-Data zu Big-Data	52
4 Big Data in der Medizin	54
5 Probleme bei der Big Data Analyse	55
6 Andere Ansätze für Big Data Analyse	58
7 Mathematische Formulierung	59
8 Grundlagen zur Lösung des Minimierung-Problems	60
9 Zurück zur Medizin – Interpretation der Lösung	63
10 Fazit: Die Hoffnung der medizinischen Big Data Analyse	65
11 Ausblick: Modellbildung durch wissens-basierte Regularisierung	66
Der schnellste Weg zum Ziel	67
1 Historische Ouvertüre	67
2 Kombinatorik der kürzesten Wege	73
2.1 Nahverkehr und Graphentheorie	73
2.2 Auf den Spuren des Zufalls	76
2.3 Münchhausen versus Archimedes	77
2.4 Arbeitszeitgesetz für Algorithmen	81
2.5 Beschränkte Ressourcen	84
3 Kombinationen von Wegen	86
3.1 Dienstplanung Light	86
3.2 Dienste und Wege	88
3.3 Set Partitioning Modelle	89
3.4 Pläne = Pfade + Preise + Programme	90
4 Ausblick	93
5 Weiterführende Literatur	94
6 Auflösungen der Fragen	95
Romeo und Julia, spontane Musterbildung und Turings Instabilität	97
1 Turing träumt	97
2 Romeo und Julia	98
3 Roberto und Julietta	100
4 Wenn Schwestern schwatzen . . .	101
5 . . . und Brüder prahlen	106
6 Turings Theorem	109
7 Mathematische Zusammenfassung	111
8 Ausblick	112
Literatur	115
Mathematik und intelligente Materialien	116
Mathematik als Schlüsseltechnologie	116
Metalle mit Gedächtnis	116
Gedächtnis und Mikrostruktur	117
Überall Mikrostrukturen	119
Mikrostrukturen als optimale Formen	120
Der mathematische Zufall hilft – Youngsche Maße	122
Design neuer Materialien durch Mathematik	123
Zukünftige Herausforderungen: Multiskalenmathematik oder der Brückenschlag von Atomen zu Materialien	124
Proteinfaltung, rauhe Energielandschaften und Optimierung	126
Literatur	127
Diskrete Tomographie: Vom Schiffeversenken bis zur Nanotechnologie	128
Vom Blick in den menschlichen Körper	128
Unter der Schulbank	129
Einteilung von Arbeitskräften und Datensicherheit	134
Über die Rekonstruktion kristalliner Strukturen	135
Eindeutigkeitssätze	139
Komplexität und Algorithmen	144
Stabilität	145
Blicke in die Unendlichkeit	148
Kindheitserinnerungen	148
1 Gute Winkel, schlechte Winkel	148
2 One, two, three . . . infinity	150
3 Kaleidoskope – Schönschauer	151
4 Zahlenspiele	153
5 Lichtbillard, Anti-Tarnboote und Egoistenspiegel	155
6 Der perfekte Vitrinenschrank	157
7 Weg vom rechtenWinkel	158
8 Platonische Schönheiten	161
9 Weihnachts-Chaos	163
10 Kreise spiegeln	164
11 Eine neue Welt	166
12 Bis zur Unendlichkeit und noch viel weiter	169
13 Lese- und Surftips	172
Themen in der aktuellen Diskussion	174
Die Rolle der Mathematik auf den Finanzmärkten	175
Literatur	188
Mit Mathematik die Datenflut beherrschen?	189
1 Welche Rolle spielt die Mathematik?	190
2 Der Informationsgehalt von Daten	191
3 Transformationen aus der Angewandten Harmonischen Analysis	192
4 Warum nicht gleich weniger Daten akquirieren?	194
5 Anwendungen von Compressed Sensing	197
Literaturverzeichnis	198
Elektronisches Geld. Ein Ding der Unmöglichkeit oder bereits Realität?	199
1 Einleitung	199
2 Was ist Geld?	199
3 Kryptographische Mechanismen	200
4 Elektronisches Geld: Das Grundschema	203
5 Einmaligkeit	204
6 Zusatzeigenschaften	205
6.1 Übertragbarkeit	205
6.2 Teilbarkeit	206
6.3 Fairness	206
Fazit	207
Literatur	208
Kugeln im Computer – die Kepler-Vermutung	209
Eine ganz harte Nuss	209
In der Ebene	212
In die dritte Dimension	220
Eine skandalöse Situation	225
Ein Kochrezept?	226
Computer versus Kepler	230
Probleme, Probleme	232
Literatur	235
Wie rechnen Quanten? Die neue Welt der Quantencomputer	237
1 Warum sind Primzahlen in der Kryptographie wichtig?	238
2 Eine mathematische Vorbereitung: Periodenlängen	239
3 Etwas Quantenmechanik	242
4 Qbits: Die Bausteine eines Quantencomputers	243
5 Wie faktorisiert man mit einem Quantencomputer große Zahlen?	245
6 Zusammenfassung	247
Literatur	248
Der große Satz von Fermat – die Lösung eines 300 Jahre alten Problems	249
1 Einführung	249
2 Wie stieß Fermat auf seine Vermutung?	250
3 Die Zeit zwischen 1637 und 1980	251
4 Die drei Welten	253
5 Die Brücken zwischen den drei Welten	256
6 Die Anti-Fermat-Welt existiert nicht	257
Literatur	259
Eine kurze Geschichte des Nash-Gleichgewichts	260
Hat Sherlock Holmes eine Chance?	260
Die Kunst des Bluffens	261
Maximin-Lösungen	264
Das Gleichgewicht von Nash	265
Ideen aus der Evolutionstheorie	266
Das Gefangenendilemma	268
Wie Du mir, so ich Dir	269
Altruismus versus Eigennutz	271
Die Qual der Wahl – die Mathematik des Wählens	275
1 Präferenzen: Was heißt eigentlich „besser“?	275
2 Lösungsvorschläge	277
2.1 Mehrheitswahl	277
2.2 Iterative Mehrheitswahl	278
2.3 Die Borda-Methode	278
2.4 Condorcet: Intransitivitäten auflösen	280
2.5 Weitere Vorschläge	282
3 Es gibt keine befriedigende Lösung: Der Satz von Arrow	283
4 Wie kann der Wählerwille gerecht verteilt werden?	284
5 Die deutsche Annäherung an das Gerechtigkeits-Ideal	288
Literaturverzeichnis	290
Mathematik im Klima des globalen Wandels	291
Warum Klima- und Klimafolgenforschung?	291
Komplexitäten	293
„Textaufgaben“	297
Multiple Skalen	300
Näherungslösungen und fehlende Gitterpunkte	302
Mehrskalenasymptotik für den Oszillator mit kleiner Masse und Dämpfung	305
Wirbelstürme: Ein Beispiel für Mehrskalenphänomene	309
Abschließendes	312
Literatur	313
Der rote Faden	315
Primzahlen, geheime Codes und die Grenzen der Berechenbarkeit	316
1 Primzahlen	316
2 Geheime Codes	319
3 Grenzen der Berechenbarkeit	322
Literatur	324
Die Mathematik der Knoten	325
Zur Geschichte	325
Von wilden und zahmen Knoten und der Suche nach dem richtigen mathematischen Begriff	329
Polygonale Knoten. Der Zugang von Reidemeister zur Knotentheorie	334
Es gibt echte Knoten	337
Einige Knotenfamilien	343
Von den Seifenblasen	350
Literatur und Bildnachweise	360
Blasencluster und Polyeder	361
Wärmeleitung, die Struktur des Raumes und die Poincaré-Vermutung	372
1 Einleitung	372
2 Geometrie und Topologie von Flächen	374
3 Geometrie und Topologie dreidimensionaler Räume	389
4 Wärmeleitung und die Geometrie von Kurven	399
5 Riccifluss, Geometrisierung und die Poincaré-Vermutung	403
6 Schlusswort	413
Literatur	414
Zufall und Mathematik: Eine späte Liebe	416
1 Wie fing es an?	416
2 Wie macht man es heute?	417
3 Wichtige Konzepte	420
4 Glücksspiel	423
5 Der Zufall verliert sich im Unendlichen	426
6 Die produktive Rolle des Zufalls	428
7 Der Zufall im Mikrokosmos	430
8 Philosophisches	432
Epilog	434
Empirische Mathematik: Die Methode (!) „Rate und Prüfe“	435
Der siebenjährige Gauß	435
Physikalische Induktion und mathematische Deduktion	436
Die Evolution hat uns nicht vorbereitet für logisches Schließen und strenge Beweisführung	436
Die kulturelle Evolution der Mathematik hat uns nicht vorbereitet, Computer optimal zu nutzen	437
Ein altes Rätsel	437
Küchengeheimnisse	441
Was ist eine gute Antwort?	442
Zurück ins Casino	445
Der allgemeine Fall	445
Zwei und mehr Dimensionen	446
Maple Pakete und einige Eingaben- und Ausgabenfiles	447
Wie man Muster erkennt	448
Es ist Zeit, klassische und empirische Mathematik gleichberechtigt nebeneinander zu stellen	449
Literatur	449
Intuition versus logische Strenge	451
1 Am Anfang war die Intuition	451
2 Dann kamen die Griechen	453
3 Intuition und logische Strenge Seite an Seite	454
4 Logische Strenge übernimmt die Führung	456
5 Dann kamen die elektronischen Computer	459
6 Bemerkungen und Beispiele	460
7 Was erwartet uns in Zukunft?	461
Literatur	464
Autoren	465

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