1.)     Wiederholung einiger wichtiger Grundlagen

a.)       Quadratische Gleichungen

Bei fast allen Problemen treten quadratische Gleichungen auf. Wie man damit umgeht, soll hier an einigen Beispielen erörtert und dabei gleichzeitig gründlich wiederholt werden.

Gegeben sei z. B. die Gleichung:

12x2 + 13x − 35 = 0.

Wie lauten die Lösungen dieser Gleichung?

Ohne „Lösungsformel“ muss diese Gleichung auf ein vollständiges Binom zurückgeführt werden. Dies geschieht folgendermaßen: Zunächst wird die ganze Gleichung durch 12 dividiert, damit 1⋅ x2 vorne alleine steht. Also:

In der binomischen Formel steht a2 " 2ab + b2 = (a " b)2.

Genau das wird jetzt ausgenutzt: Wenn in der quadratischen Gleichung als ein Teil eines Binoms aufgefasst wird, muss also sein, da x2 oder a ja schon „vergeben“ sind.

Wenn aber ist, dann ist .

Stünde dieser Term in der Gleichung, dann könnte man sofort das „vollständige“ Binom hinschreiben. Dieser Term steht aber meistens (leider) nicht dort. Trotzdem kann man erzwingen, dass er dort auftaucht, ohne die Aussage der Gleichung zu verändern. Dieser „Trick“ sieht so aus, dass man zunächst eine Null addiert (und diese dann „auseinanderreißt“). Man geht daher folgendermaßen vor:

Nun kann man für die ersten drei Terme genau das Binom hinschreiben, also oder .

Jetzt kann die Wurzel gezogen werden. Also ist: .

Damit ergibt sich oder:

und .

Das sind genau die Lösungen der gegebenen quadratischen Gleichung.

Man kann die „Probe“ machen:

Es ist: oder

, q.e.d.

Mit dem anderen Wert von x2 gelingt dies genauso. Das überlassen wir dem Leser.

Jetzt kann die allgemeine Formel gefunden werden, damit das Lösen von quadratischen Gleichungen in Zukunft etwas schneller geht.

Gegeben sei ax2 + bx + c = 0 ; (a ≠ 0, b, c ∈ ℜ). Zunächst wird (wie oben) durch a dividiert: . Wieder ist x „vergeben“, also muss ergänzt werden. Da die Aussage der Gleichung nicht verändert werden darf, kommt wieder der „Trick“ mit der Addition einer Null zur Geltung: .

Dafür kann man jetzt schreiben: oder

.

Also sind oder die Lösungen der oben gegebenen Gleichung.

Nennt man nun und , dann geht die quadratische Gleichung über in x2 + px + q = 0. (Das ist die sogenannte Normalform der quadratischen Gleichung.)

Ihre Lösungen lauten demnach: .

Das ist die wichtige p-q-Formel, auf die immer wieder zurück gegriffen werden wird.

Bleiben wir beim obigen konkreten Beispiel: 12x2 +13x − 35 = 0.

Zunächst muss auch hier durch 12 dividiert werden, da in der Normalform 1⋅ x2 stehen muss.

Also ist (wie oben) :

Damit ergibt sich für und für .

Also lauten die Lösungen der Gleichung (siehe obige „Formel“):

Hier ist zwar immer noch einige Arbeit erforderlich, bis man die Ergebnisse hat und nicht immer geht die Wurzel so „schön“ wie hier auf, trotzdem findet man mit der p-q-Formel die Lösungen ganz gut und einigermaßen schnell.

Wer lieber mit der allgemeinen Formel arbeitet, der merke sich folgendes:

(Diese Formel heißt manchmal auch „Mitternachtsformel“.)

Es ergibt sich damit für obiges Beispiel :

usw., wie oben.

Lösungsmannigfaltigkeiten:

Manchmal wird gefragt nach der Anzahl der möglichen, in Frage kommenden Lösungen. Das kann jetzt gut mit Hilfe der allgemeinen Lösungsformel entschieden werden:

Ist der Radikand (also der Ausdruck unter der Wurzel) , dann existiert im Reellen die Wurzel und die Gleichung hat wegen des " vor der Wurzel zwei Lösungen, nämlich . Ist der Radikand , dann hat die Wurzel den Wert Null und das " vor der Wurzel „bewirkt“ nichts. Damit hat die Gleichung nur noch eine Lösung: .

Ist der Radikand , dann existiert im Reellen für die Wurzel keine Lösung.

Damit hat im Reellen die Gleichung gar keine Lösung.

Manchmal ist danach gefragt, wie man die Gleichung verändern muss, damit bei gegebenem p oder q nur eine oder sogar keine Lösung existiert. Wie lautet dann diese?

Dazu nimmt man genau diese Bedingungen und „dreht“ sie einfach um.

Beispiel von oben: . Die Gleichung lautet jetzt: 12x2 + 13x − 35q = 0.

Damit ergibt sich für den Radikanden, der gleich Null gesetzt wurde: ; daraus ergibt sich für .

Wenn also für gewählt wird, dann hat die quadratische Gleichung genau nur eine Lösung.

Die (neue) Gleichung heißt in dieser Situation:

In diesem Falle lautet deren einzige Lösung:

1b.)     Polynomdivision

In vielen Fällen sind ganzrationale Gleichungen 3. oder 4. Grades gegeben und es werden deren Nullstellen gesucht. Da die Lösungsformeln für derartige Gleichungen zwar existieren, aber sehr schwierig zu handhaben sind, geht man in der Schule anders vor.

In vielen vorkommenden Gleichungen existiert häufig eine ganzzahlige Nullstelle, damit ist die Nullstelle ist bereits bekannt.

Nach Gauß gibt es den Fundamentalsatz der Algebra. Dieser besagt, dass das Polynom n-ten Grades Pn (x) dargestellt werden kann durch ein Produkt aus seiner Nullstelle (x − xN) mit einem Polynom vom Grad (n −1).

Konkret bedeutet dies: Es ist: Pn(x) = Pn−1(x) ⋅ (x − xN). Daraus ergibt sich, wenn man eine Nullstelle xN kennt, dass dann durch Division mit (x − xN) ein Polynom Pn−1 (x) vom Grad (n − 1) erzeugt werden kann.

Also ist : .

Am besten wieder ein Beispiel: Es sei gegeben: 2x3 + x2 − 15x − 18 = 0.

Es sei bekannt, dass x1 = −2 eine (sogenannte) Nullstelle ist. (Die Probe durch Einsetzen von x1 = −2 in die Beispielsgleichung liefert: −16 + 4 + 30 −18 = 0.)

Wie lauten die anderen Nullstellen ?

Diese findet man durch eine Polynomdivision. Es wird dividiert wie immer, mit dem Unterschied, dass der Divisor hier aus einer Summe oder Differenz besteht. Es ist:

Die Division muss „aufgehen“, wenn die Nullstelle gefunden und richtig gerechnet wurde. Damit ist ein Polynom 2. Grades entstanden, dessen weitere Nullstellen nun mit der p-q-Formel bestimmt werden können:

Hier bleibt übrig:

(wegen der p-q-Formel), liefert als Lösungen:

Also lauten alle Nullstellen des obigen Beispiel-Polynoms:

Liegt ein Polynom 4. Grades vor, so muss dieser Schritt 2-mal durchgeführt werden. Dabei kann man meistens die Tatsache ausnutzen, dass, wenn die Nullstelle ganzzahlig ist, sie immer ein ganzzahliger Teiler des (letzten) absoluten Gliedes ist. Das heißt, man kann durch sinnvolles Raten eine Nullstelle xN finden und dann mit (x − xN) eine Polynomdivision durchführen. Im obigen Beispiel hätte man die erforderlichen „Rate-Rechnungen“ durch Probieren mit

xN = "1, " 2, " 3, " 6, " 9, " 18 etwas eingeschränkt.

Liegt ein unvollständiges Polynom 3. Grades vor, das nur Terme x3 und x1 enthält, so kann man x vorklammern. Man erhält dann ein Produkt, dessen Lösung gleich Null ist. Damit „zerfällt“ der Ausdruck in x1 = 0 und in ein Polynom 2. Grades, auf das unter Umständen sofort die p-q-Formel angewandt werden kann. Hierzu wieder ein Beispiel: Gegeben sei: 4x3 − 3x = 0.

Dies kann sofort umgewandelt werden in: x · (4x2 − 3) = 0. Bei einem Produkt, dessen Wert Null ist, muss (mindestens) einer der Faktoren Null sein.

Also gilt sofort: x1 = 0 oder 4x2 − 3 = 0. Das ergibt (hier sogar ohne p-q-Formel):

Liegt ein unvollständiges Polynom 4. Grades vor, das nur Terme x4, x2 und x0 enthält, so gelingt es, durch die Substitution x2 = z die Gleichung zu einer quadratischen für z umzuformen, die dann wieder mit der p-q-Formel für z gelöst werden kann. Die Rücksubstitution liefert dann die gesuchten Lösungen.

1c.)     Trigonometrische Beziehungen

In rechtwinkligen Dreiecken sind die Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens wichtig und sehr oft gefragt.

Dies soll nun an einem konkreten Beispiel erörtert werden:

Im untenstehenden rechtwinkligen Dreieck sei a = 7,5 cm, b = 4 cm gegeben. Der rechte Winkel ist bei α = 90°.

Wie groß sind die Seite c und die Winkel α und β ?

Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kann zunächst der Satz des Pythagoras angewandt werden:

Im rechtwinkligen Dreieck gilt hier: a2 = b2 + c2. Also kann c berechnet werden durch: , indem zunächst nach c2 freigestellt und dann die positive Wurzel, da es sich um eine...