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E-Book

4000 Jahre Algebra

Geschichte - Kulturen - Menschen

AutorAlireza Djafari Naini, Bettina Eick, Hartmut Schlosser, Heinz-Wilhelm Alten, Karl-He, Menso Folkerts
VerlagSpringer Spektrum
Erscheinungsjahr2013
Seitenanzahl754 Seiten
ISBN9783642382390
FormatPDF
KopierschutzDRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis29,99 EUR

Die Entstehung, Entwicklung und Wandlung der Algebra als Teil unserer Kulturgeschichte beschreiben Wissenschaftler von fünf Universitäten. Ursprünge, Anstöße und die Entwicklung algebraischer Begriffe und Methoden werden in enger Verflechtung mit historischen Ereignissen und menschlichen Schicksalen dargestellt. Ein erster Spannungsbogen reicht von den Frühformen des Rechnens mit natürlichen Zahlen und Brüchen zur Lösung einfacher Gleichungen bis hin zur Lösung von Gleichungen dritten und vierten Grades in der Renaissance. Von den misslungenen Versuchen zur Lösung allgemeiner Gleichungen höheren Grades im 17 Jh. zieht sich ein weiterer Bogen zu den berühmten Beweisen des Fundamentalsatzes der Algebra durch Gauß und den genialen Ideen des jungen Galois. Die Wandlung der Algebra von der Gleichungslehre zur Theorie algebraischer Strukturen wird danach ebenso beschrieben, wie die völlig neuen Akzente, die die Computeralgebra in neuester Zeit gesetzt hat. Viele neue farbige Abbildungen bereichern die inhaltlichen Aktualisierungen und Textergänzungen.



Professor Dr. Heinz-Wilhelm Alten, Institut für Mathematik und Angewandte Informatik, Universitat Hildesheim

Professor Dr. Menso Folkerts, Institut für Geschichte, der Naturwissenschaften, Universität München

Professor Dr. Karl-Heinz Schlote, Sächsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig

Dr. Alireza Djafari Naini, Zentrum für Fernstudium und Weiterbildung (ZFW), Universität Hildesheim

Professor Dr. Hartmut Schlosser, Institut für Mathematik und Informatik

Professor Dr. Hans Wußing, Sächsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig

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Blick ins Buch
Inhaltsverzeichnis
Vorwort des Herausgebers5
Vorwort zur zweiten Auflage8
Inhaltsverzeichnis9
Hinweise für den Leser14
1 Anfänge von Arithmetik und Algebra15
1.1 Zählen, Zahlen und Rechnen am Beginn16
1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten20
1.2.0 Abriss der kulturgeschichtlichen Entwicklung im Niltal22
1.2.1 Altägyptische Zahlzeichen26
1.2.2 Arithmetik im alten Ägypten Zerlegung in Stammbrüche27
1.2.3 Primitive Algebra30
Lineare Gleichungen30
1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra35
1.3.0 Entwicklung früher Hochkulturen in Mesopotamien36
1.3.1 Zahlzeichen in Keilschrift42
1.3.2 Die Methode des einfachen falschen Ansatzes44
1.3.3 Lineare Gleichungssysteme46
1.3.4 Nichtlineare Systeme und quadratische Gleichungen49
1.3.5 Kubische Gleichungen: Der Beginn eines 3500 Jahre alten Problems53
1.3.6 Näherungswerte von ?254
1.4 Aufgaben zu Kapitel 159
2 Die geometrische Algebra der Griechen61
2.0 Einführung64
2.1 Beginn des abstrakten Denkens66
2.1.1 Ionische Periode (ca. 600–450 v. Chr.)67
2.1.2 Athenische Periode (450–300 v. Chr. )69
2.1.3 Hellenistische Periode (ca. 300 v. Chr.–ca. 150 n. Chr.)73
2.1.4 Spätantike (ca. 150– ca. 500 n. Chr. )77
2.2 Das besondere Merkmal der griechischen Algebra79
2.3 Lineare und quadratische Gleichungen81
2.3.1 Die ” Elemente“ des Euklid81
2.3.2 Die Methode der Flächenanlegung85
2.3.3 Lineare Gleichungen87
2.3.4 Rein quadratische Gleichungen88
2.3.5 Ein Diorismos89
2.3.6 Lösung quadratischer Gleichungen nach Euklid92
2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen94
2.4.1 Kubische Gleichungen in ” Kugel und Zylinder“ von Archimedes94
2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ” Einschiebung“ von Archimedes99
2.4.3 Dreiteilung des Winkels nach Archimedes103
2.4.4 Archimedes und die biquadratischen Gleichungen104
2.4.5 Das Delische Problem – die Würfelverdopplung105
2.5 Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix110
2.6 ” Formale Algebra“114
2.6.1 Formale Algebra vor Diophant114
2.6.2 Synkopierte Algebra115
2.6.3 ” Arithmetika“ von Diophant117
2.7 Aufgaben zu Kapitel 2123
3 Algebra im Orient125
3.1 Algebra in China126
3.1.0 Geschichtlicher Abriss127
3.1.1 Zahlzeichen137
3.1.2 Quadrat-und Kubikwurzeln139
3.1.3 Der doppelte falsche Ansatz (Überschuss und Fehlbetrag)141
3.1.4 Lineare Gleichungssysteme142
3.1.5 Algebra im 13. Jahrhundert144
3.2 Algebra in Indien149
3.2.0 Geschichtlicher Abriss151
3.2.1 Zahlzeichen und das dezimale Stellenwertsystem155
3.2.2 Algebraische Ausdrucksweise158
3.2.3 Näherungsverfahren für Wurzeln159
3.2.4 Lineare Gleichungen160
3.2.5 Quadratische Gleichungen162
3.3 Algebra in den Ländern des Islam167
3.3.0 Geschichtlicher Abriss169
3.3.1 Die Verbreitung der indischen Ziffern in den islamischen Ländern183
3.3.2 Algebraische Ausdrucksweise185
3.3.3 Lineare und unbestimmte Gleichungen188
3.3.4 Quadratische Gleichungen189
3.3.5 Arithmetisierung der Algebra196
3.3.6 Die (geometrische) Theorie von ?Umar ?ayy?m für die Gleichungen dritten Grades198
3.3.7 Eine Abhandlung von ?ayy?m über Algebra204
3.3.8 Gleichungen vierten Grades207
3.3.9 Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen208
3.4 Aufgaben zu Kapitel 3217
4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance221
4.0 Einführung223
4.1 Übersetzungen aus dem Arabischen230
4.2 Leonardo von Pisa231
4.3 Jordanus Nemorarius und Johannes de Muris236
4.4 Die Entwicklung in Italien240
4.4.1 Luca Pacioli245
4.5 Entwicklungen in Westeuropa247
4.5.1 Nicolas Chuquet247
4.5.2 Robert Recorde248
4.5.3 Simon Stevin250
4.5.4 Pedro Nunes252
4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die sog. Deutsche Coß255
4.6.1 Die sog. Deutsche Coß257
4.6.2 Adam Ries, Abraham Ries und Jacob Ries als Cossisten262
4.6.3 Chistoph Rudolff und Michael Stifel268
4.7 Zur Entwicklung des Zahlbegriffes271
4.8 Aufgaben275
5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16.-18. Jh.)278
5.0 Historische Einführung280
5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades283
5.1.1 Lösungen für Gleichungen dritten Grades283
5.1.2 Niccolò Tartaglia285
5.1.3 Girolamo Cardano288
5.1.4 Auflösung von Gleichungen vierten Grades292
5.1.5 Rafaelo Bombelli293
5.2 Viète und Descartes297
5.2.1 François Viète (Franciscus Vieta)297
5.2.2 Renè Descartes (Cartesius)305
5.2.3 Die algebraischen Methoden von Descartes307
5.3 Newton und Euler314
5.3.1 Isaac Newton314
5.3.2 Zur Vorgeschichte des Fundamentalsatzes der Algebra316
5.3.3 Leonhard Euler und der Fundamentalsatz der Algebra318
5.3.4 Euler und sein Algebralehrbuch322
5.4 Aufgaben328
6 Algebra in der zweiten Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts331
6.0 Historische Einführung333
6.1 Die Begründung des Rechnens in gewöhnlichen Zahlbereichen336
6.2 Die Begründung der komplexen Zahlen341
6.3 Algebra als Methode346
6.4 Das Problem der Lösbarkeit der allgemeinen Gleichungn-ten Grades in Radikalen352
6.4.1 Die Ergebnisse von Lagrange354
6.4.2 Die Lösungsansätze von Vandermonde und Waring357
6.4.3 Ruffini und erste Ergebnisse über Permutationsgruppen359
6.4.4 Gauß und die Auflösung der Kreisteilungsgleichung361
6.4.5 Abels Beweis für die Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichung 5. Grades364
6.5 Zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra durch Carl Friedrich Gauß367
6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche372
6.6.1 Determinanten372
6.6.2 Der Einfluss der ” Disquisitiones arithmeticae“ von Gauß378
6.7 Aufgaben zu Kapitel 6383
7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts385
7.0 Vorbemerkungen387
7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen – Galois-Theorie389
7.1.1 Der Beitrag von Niels Henrik Abel389
7.1.2 Die Lösung des Problems durch Évariste Galois393
7.2 Von Permutationen zu Permutationsgruppen401
7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra – die englische algebraische Schule406
7.3.1 George Peacock409
7.3.2 Augustus de Morgan411
7.3.3 Duncan Farquharson Gregory414
7.3.4 George Boole und die Algebra der Logik416
7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme420
7.4.1 William Rowan Hamilton und die Quaternionen420
7.4.2 Arthur Cayley – Oktonionen und die erste Definition des abstrakten Gruppenbegriffs429
7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra434
7.5.1 Gaußsche ganze Zahlen und Reziprozitätsgesetze434
7.5.2 Kummers Schöpfung der idealen Zahlen440
7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra444
7.6.1 Die Entwicklung des Matrizenkalküls448
7.6.2 Die Entwicklung der Theorie der Vektorräume454
7.6.3 Die Arbeiten von Hermann Günther Graßmann458
7.7 Aufgaben zu Kapitel 7469
8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880475
8.0 Vorbemerkungen477
8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie482
8.1.1 Die Rezeption der Galois-Theorie in Deutschland483
8.1.2 Die Darstellung der Galois-Theorie durch Joseph Alfred Serret und Camille Jordan486
8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie495
8.2.1 Die britische Schule der Invariantentheorie496
8.2.2 Die Weiterentwicklung und die Formulierung des Grundproblems der Invariantentheorie499
8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen503
8.3.1 Kleins Erlanger Programm und die Theorie der endlichen Transformationsgruppen503
8.3.2 Die Liesche Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen510
8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen515
8.4.1 Hankels ” Theorie der complexen Zahlensysteme“516
8.4.2 Die Klassifikation der Algebren bei Benjamin Peirce517
8.5 Aufgaben zu Kapitel 8524
9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert – erste Schritte zur abstrakten Algebra525
9.0 Historische Einführung528
9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik532
9.1.1 Schröders Algebra der Logik und Freges Logizismus535
9.1.2 Die axiomatische Methode541
9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs545
9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Ideale und Divisoren, Körper560
9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs571
9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra584
9.5.1 Hyperkomplexe Systeme (Algebren)584
9.5.2 Darstellungen von Gruppen und Algebren595
9.5.3 Die algebraische Geometrie600
9.6 Aufgaben zu Kapitel 9606
10 Die Algebra im 20. Jahrhundert610
10.0 Historische Einführung614
10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra619
10.1.1 Aufbau einer allgemeinen Ring-und Idealtheorie620
10.1.2 ” Moderne Algebra“625
10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen632
10.2.1 Die Entstehung der Verbandstheorie634
10.2.2 Bourbaki und Strukturkonzepte640
10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra mit anderen Teilgebieten der Mathematik645
10.3.1 Die algebraische Geometrie645
10.3.2 Anwendungen der Algebra in der Physik650
10.3.3 Die algebraische Durchdringung der Topologie653
10.3.4 Algebraische Methoden in anderen Bereichen656
10.4 Computeralgebra660
10.4.1 Vorbemerkungen660
10.4.2 Charakterisierung der Computeralgebra662
10.4.3 Die Entwicklung von Algorithmen665
10.4.4 Die Entwicklung von Computeralgebrasystemen673
10.4.5 Anwendungen der Computeralgebra, mathematische Bildung, Präsentation in der Gesellschaft674
10.5 Computeralgebra im Jahre 2013676
10.5.1 Algorithmen677
10.5.1.1 Algorithmische Gruppentheorie678
10.5.1.2 Algorithmische algebraische Zahlentheorie679
10.5.2 Software Systeme680
10.5.3 Anwendungen680
10.5.3.1 Der Zauberwürfel680
10.5.3.2 Die Nullstellen eines Polynoms682
10.5.3.3 Kristallographische Gruppen683
10.5.3.4 Robotik685
10.5.3.5 Kryptographie686
10.6 Aufgaben zu Kapitel 10689
Literaturverzeichnis690
Abbildungsverzeichnis726
Personenregister mit Lebensdaten733
Index744

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