| Vorwort des Herausgebers | 5 |
| Vorwort zur zweiten Auflage | 8 |
| Inhaltsverzeichnis | 9 |
| Hinweise für den Leser | 14 |
| 1 Anfänge von Arithmetik und Algebra | 15 |
| 1.1 Zählen, Zahlen und Rechnen am Beginn | 16 |
| 1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten | 20 |
| 1.2.0 Abriss der kulturgeschichtlichen Entwicklung im Niltal | 22 |
| 1.2.1 Altägyptische Zahlzeichen | 26 |
| 1.2.2 Arithmetik im alten Ägypten Zerlegung in Stammbrüche | 27 |
| 1.2.3 Primitive Algebra | 30 |
| Lineare Gleichungen | 30 |
| 1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra | 35 |
| 1.3.0 Entwicklung früher Hochkulturen in Mesopotamien | 36 |
| 1.3.1 Zahlzeichen in Keilschrift | 42 |
| 1.3.2 Die Methode des einfachen falschen Ansatzes | 44 |
| 1.3.3 Lineare Gleichungssysteme | 46 |
| 1.3.4 Nichtlineare Systeme und quadratische Gleichungen | 49 |
| 1.3.5 Kubische Gleichungen: Der Beginn eines 3500 Jahre alten Problems | 53 |
| 1.3.6 Näherungswerte von ?2 | 54 |
| 1.4 Aufgaben zu Kapitel 1 | 59 |
| 2 Die geometrische Algebra der Griechen | 61 |
| 2.0 Einführung | 64 |
| 2.1 Beginn des abstrakten Denkens | 66 |
| 2.1.1 Ionische Periode (ca. 600–450 v. Chr.) | 67 |
| 2.1.2 Athenische Periode (450–300 v. Chr. ) | 69 |
| 2.1.3 Hellenistische Periode (ca. 300 v. Chr.–ca. 150 n. Chr.) | 73 |
| 2.1.4 Spätantike (ca. 150– ca. 500 n. Chr. ) | 77 |
| 2.2 Das besondere Merkmal der griechischen Algebra | 79 |
| 2.3 Lineare und quadratische Gleichungen | 81 |
| 2.3.1 Die ” Elemente“ des Euklid | 81 |
| 2.3.2 Die Methode der Flächenanlegung | 85 |
| 2.3.3 Lineare Gleichungen | 87 |
| 2.3.4 Rein quadratische Gleichungen | 88 |
| 2.3.5 Ein Diorismos | 89 |
| 2.3.6 Lösung quadratischer Gleichungen nach Euklid | 92 |
| 2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen | 94 |
| 2.4.1 Kubische Gleichungen in ” Kugel und Zylinder“ von Archimedes | 94 |
| 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch ” Einschiebung“ von Archimedes | 99 |
| 2.4.3 Dreiteilung des Winkels nach Archimedes | 103 |
| 2.4.4 Archimedes und die biquadratischen Gleichungen | 104 |
| 2.4.5 Das Delische Problem – die Würfelverdopplung | 105 |
| 2.5 Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix | 110 |
| 2.6 ” Formale Algebra“ | 114 |
| 2.6.1 Formale Algebra vor Diophant | 114 |
| 2.6.2 Synkopierte Algebra | 115 |
| 2.6.3 ” Arithmetika“ von Diophant | 117 |
| 2.7 Aufgaben zu Kapitel 2 | 123 |
| 3 Algebra im Orient | 125 |
| 3.1 Algebra in China | 126 |
| 3.1.0 Geschichtlicher Abriss | 127 |
| 3.1.1 Zahlzeichen | 137 |
| 3.1.2 Quadrat-und Kubikwurzeln | 139 |
| 3.1.3 Der doppelte falsche Ansatz (Überschuss und Fehlbetrag) | 141 |
| 3.1.4 Lineare Gleichungssysteme | 142 |
| 3.1.5 Algebra im 13. Jahrhundert | 144 |
| 3.2 Algebra in Indien | 149 |
| 3.2.0 Geschichtlicher Abriss | 151 |
| 3.2.1 Zahlzeichen und das dezimale Stellenwertsystem | 155 |
| 3.2.2 Algebraische Ausdrucksweise | 158 |
| 3.2.3 Näherungsverfahren für Wurzeln | 159 |
| 3.2.4 Lineare Gleichungen | 160 |
| 3.2.5 Quadratische Gleichungen | 162 |
| 3.3 Algebra in den Ländern des Islam | 167 |
| 3.3.0 Geschichtlicher Abriss | 169 |
| 3.3.1 Die Verbreitung der indischen Ziffern in den islamischen Ländern | 183 |
| 3.3.2 Algebraische Ausdrucksweise | 185 |
| 3.3.3 Lineare und unbestimmte Gleichungen | 188 |
| 3.3.4 Quadratische Gleichungen | 189 |
| 3.3.5 Arithmetisierung der Algebra | 196 |
| 3.3.6 Die (geometrische) Theorie von ?Umar ?ayy?m für die Gleichungen dritten Grades | 198 |
| 3.3.7 Eine Abhandlung von ?ayy?m über Algebra | 204 |
| 3.3.8 Gleichungen vierten Grades | 207 |
| 3.3.9 Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen | 208 |
| 3.4 Aufgaben zu Kapitel 3 | 217 |
| 4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance | 221 |
| 4.0 Einführung | 223 |
| 4.1 Übersetzungen aus dem Arabischen | 230 |
| 4.2 Leonardo von Pisa | 231 |
| 4.3 Jordanus Nemorarius und Johannes de Muris | 236 |
| 4.4 Die Entwicklung in Italien | 240 |
| 4.4.1 Luca Pacioli | 245 |
| 4.5 Entwicklungen in Westeuropa | 247 |
| 4.5.1 Nicolas Chuquet | 247 |
| 4.5.2 Robert Recorde | 248 |
| 4.5.3 Simon Stevin | 250 |
| 4.5.4 Pedro Nunes | 252 |
| 4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum – die sog. Deutsche Coß | 255 |
| 4.6.1 Die sog. Deutsche Coß | 257 |
| 4.6.2 Adam Ries, Abraham Ries und Jacob Ries als Cossisten | 262 |
| 4.6.3 Chistoph Rudolff und Michael Stifel | 268 |
| 4.7 Zur Entwicklung des Zahlbegriffes | 271 |
| 4.8 Aufgaben | 275 |
| 5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16.-18. Jh.) | 278 |
| 5.0 Historische Einführung | 280 |
| 5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades | 283 |
| 5.1.1 Lösungen für Gleichungen dritten Grades | 283 |
| 5.1.2 Niccolò Tartaglia | 285 |
| 5.1.3 Girolamo Cardano | 288 |
| 5.1.4 Auflösung von Gleichungen vierten Grades | 292 |
| 5.1.5 Rafaelo Bombelli | 293 |
| 5.2 Viète und Descartes | 297 |
| 5.2.1 François Viète (Franciscus Vieta) | 297 |
| 5.2.2 Renè Descartes (Cartesius) | 305 |
| 5.2.3 Die algebraischen Methoden von Descartes | 307 |
| 5.3 Newton und Euler | 314 |
| 5.3.1 Isaac Newton | 314 |
| 5.3.2 Zur Vorgeschichte des Fundamentalsatzes der Algebra | 316 |
| 5.3.3 Leonhard Euler und der Fundamentalsatz der Algebra | 318 |
| 5.3.4 Euler und sein Algebralehrbuch | 322 |
| 5.4 Aufgaben | 328 |
| 6 Algebra in der zweiten Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts | 331 |
| 6.0 Historische Einführung | 333 |
| 6.1 Die Begründung des Rechnens in gewöhnlichen Zahlbereichen | 336 |
| 6.2 Die Begründung der komplexen Zahlen | 341 |
| 6.3 Algebra als Methode | 346 |
| 6.4 Das Problem der Lösbarkeit der allgemeinen Gleichungn-ten Grades in Radikalen | 352 |
| 6.4.1 Die Ergebnisse von Lagrange | 354 |
| 6.4.2 Die Lösungsansätze von Vandermonde und Waring | 357 |
| 6.4.3 Ruffini und erste Ergebnisse über Permutationsgruppen | 359 |
| 6.4.4 Gauß und die Auflösung der Kreisteilungsgleichung | 361 |
| 6.4.5 Abels Beweis für die Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichung 5. Grades | 364 |
| 6.5 Zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra durch Carl Friedrich Gauß | 367 |
| 6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche | 372 |
| 6.6.1 Determinanten | 372 |
| 6.6.2 Der Einfluss der ” Disquisitiones arithmeticae“ von Gauß | 378 |
| 6.7 Aufgaben zu Kapitel 6 | 383 |
| 7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts | 385 |
| 7.0 Vorbemerkungen | 387 |
| 7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen – Galois-Theorie | 389 |
| 7.1.1 Der Beitrag von Niels Henrik Abel | 389 |
| 7.1.2 Die Lösung des Problems durch Évariste Galois | 393 |
| 7.2 Von Permutationen zu Permutationsgruppen | 401 |
| 7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra – die englische algebraische Schule | 406 |
| 7.3.1 George Peacock | 409 |
| 7.3.2 Augustus de Morgan | 411 |
| 7.3.3 Duncan Farquharson Gregory | 414 |
| 7.3.4 George Boole und die Algebra der Logik | 416 |
| 7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme | 420 |
| 7.4.1 William Rowan Hamilton und die Quaternionen | 420 |
| 7.4.2 Arthur Cayley – Oktonionen und die erste Definition des abstrakten Gruppenbegriffs | 429 |
| 7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra | 434 |
| 7.5.1 Gaußsche ganze Zahlen und Reziprozitätsgesetze | 434 |
| 7.5.2 Kummers Schöpfung der idealen Zahlen | 440 |
| 7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra | 444 |
| 7.6.1 Die Entwicklung des Matrizenkalküls | 448 |
| 7.6.2 Die Entwicklung der Theorie der Vektorräume | 454 |
| 7.6.3 Die Arbeiten von Hermann Günther Graßmann | 458 |
| 7.7 Aufgaben zu Kapitel 7 | 469 |
| 8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880 | 475 |
| 8.0 Vorbemerkungen | 477 |
| 8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie | 482 |
| 8.1.1 Die Rezeption der Galois-Theorie in Deutschland | 483 |
| 8.1.2 Die Darstellung der Galois-Theorie durch Joseph Alfred Serret und Camille Jordan | 486 |
| 8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie | 495 |
| 8.2.1 Die britische Schule der Invariantentheorie | 496 |
| 8.2.2 Die Weiterentwicklung und die Formulierung des Grundproblems der Invariantentheorie | 499 |
| 8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen | 503 |
| 8.3.1 Kleins Erlanger Programm und die Theorie der endlichen Transformationsgruppen | 503 |
| 8.3.2 Die Liesche Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen | 510 |
| 8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen | 515 |
| 8.4.1 Hankels ” Theorie der complexen Zahlensysteme“ | 516 |
| 8.4.2 Die Klassifikation der Algebren bei Benjamin Peirce | 517 |
| 8.5 Aufgaben zu Kapitel 8 | 524 |
| 9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert – erste Schritte zur abstrakten Algebra | 525 |
| 9.0 Historische Einführung | 528 |
| 9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik | 532 |
| 9.1.1 Schröders Algebra der Logik und Freges Logizismus | 535 |
| 9.1.2 Die axiomatische Methode | 541 |
| 9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs | 545 |
| 9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Ideale und Divisoren, Körper | 560 |
| 9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs | 571 |
| 9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra | 584 |
| 9.5.1 Hyperkomplexe Systeme (Algebren) | 584 |
| 9.5.2 Darstellungen von Gruppen und Algebren | 595 |
| 9.5.3 Die algebraische Geometrie | 600 |
| 9.6 Aufgaben zu Kapitel 9 | 606 |
| 10 Die Algebra im 20. Jahrhundert | 610 |
| 10.0 Historische Einführung | 614 |
| 10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra | 619 |
| 10.1.1 Aufbau einer allgemeinen Ring-und Idealtheorie | 620 |
| 10.1.2 ” Moderne Algebra“ | 625 |
| 10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen | 632 |
| 10.2.1 Die Entstehung der Verbandstheorie | 634 |
| 10.2.2 Bourbaki und Strukturkonzepte | 640 |
| 10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra mit anderen Teilgebieten der Mathematik | 645 |
| 10.3.1 Die algebraische Geometrie | 645 |
| 10.3.2 Anwendungen der Algebra in der Physik | 650 |
| 10.3.3 Die algebraische Durchdringung der Topologie | 653 |
| 10.3.4 Algebraische Methoden in anderen Bereichen | 656 |
| 10.4 Computeralgebra | 660 |
| 10.4.1 Vorbemerkungen | 660 |
| 10.4.2 Charakterisierung der Computeralgebra | 662 |
| 10.4.3 Die Entwicklung von Algorithmen | 665 |
| 10.4.4 Die Entwicklung von Computeralgebrasystemen | 673 |
| 10.4.5 Anwendungen der Computeralgebra, mathematische Bildung, Präsentation in der Gesellschaft | 674 |
| 10.5 Computeralgebra im Jahre 2013 | 676 |
| 10.5.1 Algorithmen | 677 |
| 10.5.1.1 Algorithmische Gruppentheorie | 678 |
| 10.5.1.2 Algorithmische algebraische Zahlentheorie | 679 |
| 10.5.2 Software Systeme | 680 |
| 10.5.3 Anwendungen | 680 |
| 10.5.3.1 Der Zauberwürfel | 680 |
| 10.5.3.2 Die Nullstellen eines Polynoms | 682 |
| 10.5.3.3 Kristallographische Gruppen | 683 |
| 10.5.3.4 Robotik | 685 |
| 10.5.3.5 Kryptographie | 686 |
| 10.6 Aufgaben zu Kapitel 10 | 689 |
| Literaturverzeichnis | 690 |
| Abbildungsverzeichnis | 726 |
| Personenregister mit Lebensdaten | 733 |
| Index | 744 |
