Es wird angenommen, dass approximative Mengenrepräsentationen als überlappende Gaußsche Verteilungskurven auf einem logarithmisch komprimierten, internalen Kontinuum modelliert werden können (Dehaene, Piazza, Pinel & Cohen, 2003; Piazza, Izard, Pinel, Le Bihan & Dehaene, 2004) . Aufgrund der logarithmischen Komprimierung nimmt die Überlappung einzelner Mengenrepräsentationen mit zunehmender Mengengröße zu, was mit einem Abfall der Differenzierungsleistung einhergeht . Die internal Weber fraction reflektiert die Breite der Gaußschen Verteilungskurven und somit die Genauigkeit der individuellen Repräsentation . Halberda, Mazzocco und Feigenson (2008) konnten bei Kindern im Alter von 14 Jahren große interindividuelle Unterschiede in Bezug auf die internal Weber fraction feststellen . Diese Kinder wurden zuvor vom Kindergarten bis zur sechsten Klasse jährlich hinsichtlich ihrer Mathematikleistungen untersucht und es konnte gezeigt werden, dass die internal Weber fractions in jedem Jahr mit Leistungsunterschieden in den Mathematiktests zusammenhingen . Aktuelle Studien belegen zudem, dass die internal Weber fractions von Vorschulkindern mit ihren mathematischen Kompetenzen zusammenhängen (Libertus, Feigenson & Halberda, 2011) und ihre späteren Mathematikleistungen in der Schulzeit vorhersagen können (Mazzocco, Feigenson & Halberda, 2011a) . Neben diesen Arbeiten erbrachten Studien mit rechenschwachen Kindern bedeutende Evidenz für die zentrale Rolle approximativer Mengenrepräsentationen bei der Entwicklung arithmetischer Fertigkeiten . So erweist sich die Entwicklung der internal Weber fractions bei Kindern mit diagnostizierter Dyskalkulie als hochgradig beeinträchtigt: Die Präzision der Repräsentationen von rechengestörten Kindern im Alter von 10 Jahren ist vergleichbar mit der von fünfjährigen normal entwickelten Kindern (Piazza et al ., 2010; siehe auch Mazzocco, Feigenson & Halberda, 2011b) .

5 Diskussion und Ausblick

Die im vorliegenden Beitrag dargestellten Studien verdeutlichen, dass ein approximatives Verständnis für Mengen bereits bei Neugeborenen vorzuliegen scheint und sich bis ins Erwachsenenalter progressiv entwickelt . Des Weiteren wurden Befunde zur Rolle dieser approximativen Mengenrepräsentationen beim Aufbau exakter, symbolischer Mengenrepräsentationen bzw . beim Erwerb arithmetischer Fertigkeiten berichtet . Auf den ersten Blick erscheinen die Befunde zur Rolle approximativer Mengenrepräsentationen bei der Entwicklung exakter Mengenrepräsentationen inkonsistent . Bei genauerer Betrachtung wird jedoch deutlich, dass jüngere Studien mit vergleichsweise differenziertem methodischen Vorgehen übereinstimmend mit der Annahme vereinbar sind, dass das approximative Mengenverständnis beim Aufbau exakter Mengenrepräsentationen von Bedeutung ist . Ein ähnliches Bild ergibt sich bezüglich der Rolle approximativer Mengenrepräsentationen beim Erlernen exakter Arithmetik . So erbrachten Studien, in denen über die sogenannte internal Weber fraction ein Maß für individuelle Differenzierungsschwellen von Mengen ermittelt wurde, eindeutige Evidenz für einen Zusammenhang zwischen approximativen Mengenrepräsentationen und exakter, symbolischer Arithmetik . Insgesamt legen die geschilderten Befunde nahe, dass ein bereits im Säuglingsalter vorhandenes Verständnis für Mengen und Mengenrelationen die zugrunde liegende Kernkompetenz oder zumindest eine bedeutsame Grundkompetenz für den Aufbau symbolischer Mengenrepräsentationen wie auch für den Erwerb arithmetischer Fertigkeiten darstellt .

Es erscheint daher vielversprechend, das approximative Mengenverständnis im frühen Kindesalter reliabel zu erfassen, um darauf basierend eine Prognose der Entwicklung individueller mathematischer Kompetenzen vornehmen zu können . Hierbei ist allerdings zu beachten, dass die bisher eingesetzten Erfassungsmethoden stark variieren (siehe Gilmore, Attridge & Inglis, 2011; Price, Palmer, Battista & Ansari, 2012) . Die Entwicklung eines standardisierten Verfahrens zur Erfassung des approximativen Mengenverständnisses würde folglich zunächst einen Vergleich dieser verschiedenen Methoden hinsichtlich ihrer prognostischen Güte erfordern . Zum Beispiel wäre ein computerisiertes Verfahren zur Erfassung der internal Weber fractions denkbar . Dies würde einen Vergleich von Punktmengen hinsichtlich ihrer Anzahl beinhalten, wobei die Kontrolle nicht numerischer, perzeptueller Attribute der präsentierten Stimuli und eine möglichst breite Variation der Mengenverhältnisse in einer ausreichenden Anzahl an Versuchsdurchgängen sichergestellt sein sollten, um individuelle Differenzierungsschwellen zuverlässig ermitteln zu können . Etablierte Verfahren zur Erfassung basaler mathematischer Kompetenzen beinhalten zwar teilweise auch Aufgaben zum approximativen Mengenverständnis, es ist jedoch fraglich, ob über die geringe Anzahl der Aufgaben eine valide Messung auf individueller Ebene gewährleistet werden kann . Beispielsweise finden sich lediglich 5 Aufgaben zum Vergleich quantitativer und qualitativer Merkmale von Objekten im Osnabrücker Test zur Zahlbegriffsentwicklung (OTZ, van Luit, van de Rijt & Hasemann, 2001) bzw . 2 Aufgaben zum Schätzen von Mengengrößen und 4 Aufgaben zur Beurteilung der Veränderung von Mengen bei räumlich veränderter Anordnung in der neuropsychologischen Testbatterie für Zahlenverarbeitung und Rechnen bei Kindern, Kindergarten Version (ZAREKI-K, von Aster, Bzufka & Horn, 2009) . Hierbei ist zu beachten, dass über die erwähnten Testverfahren ein möglichst umfassendes Bild des individuellen Entwicklungsstandes erfasst werden soll und daher viele unterschiedliche Kompetenzbereiche mit einer vergleichsweise geringen Anzahl an Einzelaufgaben abgefragt werden . Ein Verfahren zur Erfassung des approximativen Mengenverständnisses hätte hingegen die theoretisch fundierte Erfassung nur einer Kernkompetenz für den Mathematikbereich zum Ziel .

Neben der Entwicklung eines Instrumentes zur Prognose individueller mathematischer Kompetenzen, könnte auch ein Training des approximativen Mengenverständnisses zur Prävention von Rechenschwierigkeiten vielversprechend sein . Während bereits gezeigt werden konnte, dass sich die Leistung von Erwachsenen (Dewind & Brannon, 2012) wie auch von Kindern (Wilson, Revkin, Cohen, Cohen & Dehaene, 2006) in Mengenvergleichsaufgaben durch Training verbessern lässt, liegt noch keine Evidenz für einen möglichen Transfer auf mathematische Kompetenzen wie z .B . arithmetische Fertigkeiten vor . Sollten derartige Transfereffekte in kontrollierten Trainingsstudien nachweisbar sein, so wäre ein Einsatz zur präventiven Frühförderung denkbar .

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