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E-Book

Philosophie der Mathematik

AutorRoman Murawski, Thomas Bedürftig
VerlagWalter de Gruyter GmbH & Co.KG
Erscheinungsjahr2012
Seitenanzahl412 Seiten
ISBN9783110264630
FormatPDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis89,95 EUR

This elementary introduction to philosophical problems and issues in mathematical thought, speech, teaching, and learning is now available in a revised and expanded second edition. It is designed for teachers and students of mathematics and philosophy alike. The work provides an overview and engages in an in-depth discussion of viewpoints held throughout the history of mathematics and philosophy up to the present day.



Th. Bedürftig, Universität Hannover, Germany; R. Murawski, AMU, Pozna?, Poland.

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Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur 2. Auflage??????????????????????????????????????????????????????????7
Vorwort zur 1. Auflage??????????????????????????????????????????????????????????9
Einleitung??????????????????????????????????15
1 Auf dem Weg zu den reellen Zahlen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????21
1.1 Irrationalität??????????????????????????????????????????????????21
1.2 Inkommensurabilität????????????????????????????????????????????????????????????24
1.3 Rechnen mit ?2?28
1.4 Näherungsverfahren, Intervallschachtelungen und Vollständigkeit????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????29
1.5 Zur Konstruktion der reellen Zahlen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????35
1.6 Über den Umgang mit dem Unendlichen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????37
1.7 Unendliche nicht periodische Dezimalbrüche??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????39
2 Aus der Geschichte der Philosophie und Mathematik????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????42
2.1 Pythagoras und die Pythagoreer??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????44
2.2 Platon??????????????????????????????????47
2.3 Aristoteles????????????????????????????????????????????50
2.4 Euklid??????????????????????????????????54
2.5 Proklos????????????????????????????????????56
2.6 Nikolaus von Kues????????????????????????????????????????????????????????58
2.7 Descartes????????????????????????????????????????61
2.8 Pascal??????????????????????????????????65
2.9 Leibniz????????????????????????????????????67
2.10 Kant????????????????????????????????70
2.11 Mill und empiristische Konzeptionen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????75
2.12 Bolzano??????????????????????????????????????79
2.13 Gauß????????????????????????????????82
2.14 Cantor????????????????????????????????????83
2.15 Dedekind????????????????????????????????????????88
2.16 Poincaré????????????????????????????????????????92
2.17 Logizismus????????????????????????????????????????????97
2.18 Intuitionismus????????????????????????????????????????????????????106
2.19 Konstruktivismus????????????????????????????????????????????????????????117
2.20 Formalismus??????????????????????????????????????????????119
2.21 Philosophie der Mathematik von 1931 bis in die 1950er Jahre??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????127
2.22 Der evolutionäre Standpunkt - eine neue philosophische Grundposition????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????133
2.23 Philosophie der Mathematik nach 1960????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????140
2.23.1 Quasi-empirische Konzeptionen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????142
2.23.2 Realismus und Antirealismus??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????150
3 Über Grundfragen der Philosophie der Mathematik????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????153
3.1 Zum Zahlbegriff????????????????????????????????????????????????????153
3.1.1 Überblick über einige Ansichten????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????154
3.1.2 Resümee????????????????????????????????????????155
3.2 Unendlichkeiten????????????????????????????????????????????????????160
3.2.1 Über die Problematik des Unendlichen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????160
3.2.2 Die Auffassung des Aristoteles??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????163
3.2.3 Die idealistische Auffassung??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????164
3.2.4 Der empiristische Standpunkt??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????165
3.2.5 Unendlichkeit bei Kant??????????????????????????????????????????????????????????????????????166
3.2.6 Die intuitionistische Unendlichkeit????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????168
3.2.7 Die logizistische Hypothese des Unendlichen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????168
3.2.8 Unendlichkeit und die neuere Philosophie der Mathematik .. .??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????169
3.2.9 Formalistische Haltung und heutige Tendenzen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????170
3.3 Das Kontinuum und das unendlich Kleine??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????171
3.3.1 Das allgemeine Problem??????????????????????????????????????????????????????????????????????172
3.3.2 Aus der Geschichte des Kontinuums????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????174
3.3.3 Was ist ein Punkt???????????????????????????????????????????????????????????????186
3.3.4 Aus der Geschichte des Kontinuums – Fortsetzung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????191
3.3.5 Eine Übersicht über Auffassungen des Kontinuums????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????195
3.3.6 Notizen zur Arithmetisierung des Kontinuums????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????198
3.3.7 Das Ende der Infinitesimalien und ihre Wiederentdeckung????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????200
3.3.8 Nichtstandardzahlen und das Kontinuum????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????206
3.3.9 Folgen für die Auffassung des Kontinuums??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????210
3.3.10 Das Verschwinden der Größen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????216
3.3.11 Abschließende Bemerkungen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????223
3.4 Zum Problem der Anwendbarkeit der Mathematik??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????227
3.4.1 Aspekte des Problems??????????????????????????????????????????????????????????????????227
3.4.2 Das Problem der Anwendung in historischen Auffassungen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????232
3.4.3 Die klassischen Positionen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????238
3.4.4 Neuere Konzeptionen????????????????????????????????????????????????????????????????241
3.4.5 Rückblick????????????????????????????????????????????242
3.5 Schluss????????????????????????????????????246
3.5.1 Von den natürlichen zu den rationalen Zahlen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????248
3.5.2 Inkommensurabilität und Irrationalität??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????249
3.5.3 Adjunktion??????????????????????????????????????????????251
3.5.4 Das lineare Kontinuum????????????????????????????????????????????????????????????????????251
3.5.5 Das unendlich Kleine??????????????????????????????????????????????????????????????????252
3.5.6 Konstruktion, Unendlichkeit, unendliche nicht periodische Dezimalbrüche????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????254
3.5.7 Schlussbemerkung??????????????????????????????????????????????????????????255
4 Mengen und Mengenlehren????????????????????????????????????????????????????????????????257
4.1 Paradoxien des Unendlichen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????258
4.2 Über den Begriff der Menge??????????????????????????????????????????????????????????????????????????260
4.2.1 Mengen und das Universalienproblem??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????261
4.3 Zwei Mengenlehren????????????????????????????????????????????????????????264
4.3.1 Die Mengenlehre nach Zermelo und Fraenkel????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????266
4.3.2 Die Mengenlehre nach von Neumann, Bernays und Gödel????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????274
4.3.3 Anmerkungen????????????????????????????????????????????????280
4.3.4 Über Modifikationen????????????????????????????????????????????????????????????????282
4.4 Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????283
4.4.1 Suche nach neuen Axiomen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????289
4.4.2 Weitere Bemerkungen und Fragen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????294
4.5 Schluss????????????????????????????????????295
5 Axiomatik und Logik????????????????????????????????????????????????????????300
5.1 Einige Elemente der mathematischen Logik??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????301
5.1.1 Syntax??????????????????????????????????????301
5.1.2 Semantik??????????????????????????????????????????304
5.1.3 Kalkül??????????????????????????????????????307
5.2 Bemerkungen zur Geschichte??????????????????????????????????????????????????????????????????????????309
5.2.1 Aus der Geschichte der Logik??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????310
5.2.2 Zur Geschichte der Axiomatik??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????318
5.3 Logische Axiomatik und Theorien????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????324
5.3.1 Peano-Arithmetik??????????????????????????????????????????????????????????326
5.3.2 Eine Axiomatik für die reellen Zahlen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????327
5.4 Über die Arithmetik der natürlichen Zahlen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????329
5.4.1 Zum syntaktischen Aspekt??????????????????????????????????????????????????????????????????????????330
5.4.2 Zum semantischen Aspekt????????????????????????????????????????????????????????????????????????333
5.5 Wahrheit und Beweisbarkeit??????????????????????????????????????????????????????????????????????????337
5.5.1 Formale Wahrheit??????????????????????????????????????????????????????????338
5.5.2 Vollständigkeit und Wahrheit??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????339
5.5.3 Syntaktische Reduktion der Wahrheit????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????342
5.5.4 Wahrheit ungleich Beweisbarkeit????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????344
5.5.5 Suche nach Auswegen????????????????????????????????????????????????????????????????346
5.5.6 Schlussbemerkung??????????????????????????????????????????????????????????348
5.6 Schlussfolgerungen??????????????????????????????????????????????????????????349
5.6.1 Schluss????????????????????????????????????????350
6 Rückblick????????????????????????????????????353
6.1 Setzung der reellen Zahlen??????????????????????????????????????????????????????????????????????????354
6.2 Axiomatische Methode??????????????????????????????????????????????????????????????356
6.3 Zahlbegriff????????????????????????????????????????????357
6.4 Unendlichkeit, Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????357
6.5 Das unendlich Kleine und das Kontinuum??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????359
6.6 Anwendbarkeit????????????????????????????????????????????????360
6.7 Theoretische Grenzen??????????????????????????????????????????????????????????????361
6.8 Computereinsatz????????????????????????????????????????????????????362
6.9 Was ist Philosophie der Mathematik und wozu dient sie???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????363
6.10 Evidenz und Transzendenz????????????????????????????????????????????????????????????????????????365
Kurzbiographien????????????????????????????????????????????368
Literaturverzeichnis??????????????????????????????????????????????????????382
Personenverzeichnis????????????????????????????????????????????????????396
Symbolverzeichnis????????????????????????????????????????????????401
Begriffsverzeichnis????????????????????????????????????????????????????403

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