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E-Book

Philosophie der Mathematik

AutorRoman Murawski, Thomas Bedürftig
VerlagWalter de Gruyter GmbH & Co.KG
Erscheinungsjahr2012
Seitenanzahl410 Seiten
ISBN9783110264630
FormatPDF
KopierschutzWasserzeichen/DRM
GerätePC/MAC/eReader/Tablet
Preis89,95 EUR

This elementary introduction to philosophical problems and issues in mathematical thought, speech, teaching, and learning is now available in a revised and expanded second edition. It is designed for teachers and students of mathematics and philosophy alike. The work provides an overview and engages in an in-depth discussion of viewpoints held throughout the history of mathematics and philosophy up to the present day.



Th. Bedürftig, Universität Hannover, Germany; R. Murawski, AMU, Pozna?, Poland.

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Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur 2. Auflage7
Vorwort zur 1. Auflage9
Einleitung15
1 Auf dem Weg zu den reellen Zahlen21
1.1 Irrationalität21
1.2 Inkommensurabilität24
1.3 Rechnen mit v2?28
1.4 Näherungsverfahren, Intervallschachtelungen und Vollständigkeit29
1.5 Zur Konstruktion der reellen Zahlen35
1.6 Über den Umgang mit dem Unendlichen37
1.7 Unendliche nicht periodische Dezimalbrüche39
2 Aus der Geschichte der Philosophie und Mathematik42
2.1 Pythagoras und die Pythagoreer44
2.2 Platon47
2.3 Aristoteles50
2.4 Euklid54
2.5 Proklos56
2.6 Nikolaus von Kues58
2.7 Descartes61
2.8 Pascal65
2.9 Leibniz67
2.10 Kant70
2.11 Mill und empiristische Konzeptionen75
2.12 Bolzano79
2.13 Gauß82
2.14 Cantor83
2.15 Dedekind88
2.16 Poincaré92
2.17 Logizismus97
2.18 Intuitionismus106
2.19 Konstruktivismus117
2.20 Formalismus119
2.21 Philosophie der Mathematik von 1931 bis in die 1950er Jahre127
2.22 Der evolutionäre Standpunkt - eine neue philosophische Grundposition133
2.23 Philosophie der Mathematik nach 1960140
2.23.1 Quasi-empirische Konzeptionen142
2.23.2 Realismus und Antirealismus150
3 Über Grundfragen der Philosophie der Mathematik153
3.1 Zum Zahlbegriff153
3.1.1 Überblick über einige Ansichten154
3.1.2 Resümee155
3.2 Unendlichkeiten160
3.2.1 Über die Problematik des Unendlichen160
3.2.2 Die Auffassung des Aristoteles163
3.2.3 Die idealistische Auffassung164
3.2.4 Der empiristische Standpunkt165
3.2.5 Unendlichkeit bei Kant166
3.2.6 Die intuitionistische Unendlichkeit168
3.2.7 Die logizistische Hypothese des Unendlichen168
3.2.8 Unendlichkeit und die neuere Philosophie der Mathematik .. .169
3.2.9 Formalistische Haltung und heutige Tendenzen170
3.3 Das Kontinuum und das unendlich Kleine171
3.3.1 Das allgemeine Problem172
3.3.2 Aus der Geschichte des Kontinuums174
3.3.3 Was ist ein Punkt?186
3.3.4 Aus der Geschichte des Kontinuums – Fortsetzung191
3.3.5 Eine Übersicht über Auffassungen des Kontinuums195
3.3.6 Notizen zur Arithmetisierung des Kontinuums198
3.3.7 Das Ende der Infinitesimalien und ihre Wiederentdeckung200
3.3.8 Nichtstandardzahlen und das Kontinuum206
3.3.9 Folgen für die Auffassung des Kontinuums210
3.3.10 Das Verschwinden der Größen216
3.3.11 Abschließende Bemerkungen223
3.4 Zum Problem der Anwendbarkeit der Mathematik227
3.4.1 Aspekte des Problems227
3.4.2 Das Problem der Anwendung in historischen Auffassungen232
3.4.3 Die klassischen Positionen238
3.4.4 Neuere Konzeptionen241
3.4.5 Rückblick242
3.5 Schluss246
3.5.1 Von den natürlichen zu den rationalen Zahlen248
3.5.2 Inkommensurabilität und Irrationalität249
3.5.3 Adjunktion251
3.5.4 Das lineare Kontinuum251
3.5.5 Das unendlich Kleine252
3.5.6 Konstruktion, Unendlichkeit, unendliche nicht periodische Dezimalbrüche254
3.5.7 Schlussbemerkung255
4 Mengen und Mengenlehren257
4.1 Paradoxien des Unendlichen258
4.2 Über den Begriff der Menge260
4.2.1 Mengen und das Universalienproblem261
4.3 Zwei Mengenlehren264
4.3.1 Die Mengenlehre nach Zermelo und Fraenkel266
4.3.2 Die Mengenlehre nach von Neumann, Bernays und Gödel274
4.3.3 Anmerkungen280
4.3.4 Über Modifikationen282
4.4 Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese283
4.4.1 Suche nach neuen Axiomen289
4.4.2 Weitere Bemerkungen und Fragen294
4.5 Schluss295
5 Axiomatik und Logik300
5.1 Einige Elemente der mathematischen Logik301
5.1.1 Syntax301
5.1.2 Semantik304
5.1.3 Kalkül307
5.2 Bemerkungen zur Geschichte309
5.2.1 Aus der Geschichte der Logik310
5.2.2 Zur Geschichte der Axiomatik318
5.3 Logische Axiomatik und Theorien324
5.3.1 Peano-Arithmetik326
5.3.2 Eine Axiomatik für die reellen Zahlen327
5.4 Über die Arithmetik der natürlichen Zahlen329
5.4.1 Zum syntaktischen Aspekt330
5.4.2 Zum semantischen Aspekt333
5.5 Wahrheit und Beweisbarkeit337
5.5.1 Formale Wahrheit338
5.5.2 Vollständigkeit und Wahrheit339
5.5.3 Syntaktische Reduktion der Wahrheit342
5.5.4 Wahrheit ungleich Beweisbarkeit344
5.5.5 Suche nach Auswegen346
5.5.6 Schlussbemerkung348
5.6 Schlussfolgerungen349
5.6.1 Schluss350
6 Rückblick353
6.1 Setzung der reellen Zahlen354
6.2 Axiomatische Methode356
6.3 Zahlbegriff357
6.4 Unendlichkeit, Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese357
6.5 Das unendlich Kleine und das Kontinuum359
6.6 Anwendbarkeit360
6.7 Theoretische Grenzen361
6.8 Computereinsatz362
6.9 Was ist Philosophie der Mathematik und wozu dient sie?363
6.10 Evidenz und Transzendenz365
Kurzbiographien368
Literaturverzeichnis382
Personenverzeichnis396
Symbolverzeichnis401
Begriffsverzeichnis403

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