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Mathematik - Medien - Bildung

Medialitätsbewusstsein als Bildungsziel: Theorie und Beispiele

Autor	Horst Hischer
Verlag	Springer Spektrum
Erscheinungsjahr	2016
Seitenanzahl	472 Seiten
ISBN	9783658141677
Format	PDF
Kopierschutz	Wasserzeichen/DRM
Geräte	PC/MAC/eReader/Tablet
Preis	26,99 EUR

Dieses Buch befasst sich mit dem Beitrag des Mathematikunterrichts zur Medienbildung an allgemeinbildenden Schulen. Damit zusammenhängende Fragen und Vorstellungen werden konstruktiv-kritisch analysiert und durch Beispiele konkretisiert. Die Überlegungen hierzu gehen davon aus, dass Medien 'Werkzeuge zur Weltaneignung' sind. Dieser Medienbegriff ist weiter gefasst als bisher in der Medienpädagogik, und er unterscheidet sich auch von der in der Mathematikdidaktik üblichen nahezu ausschließlichen Sicht auf den Einsatz Neuer Medien bzw. digitaler Werkzeuge als 'technischen Medien'. Da Medien als 'Werkzeuge zur Weltaneignung' uns nie die Wirklichkeit, sondern nur jeweils medienspezifisch konstruierte und inszenierte Wirklichkeitsausschnitte liefern, ergibt sich die Forderung nach der Vermittlung von 'Medialitätsbewusstsein als Bildungsziel'.

Dieses Buch ist ein Plädoyer für eine aktive Beteiligung des Unterrichtsfaches Mathematik aus fachdidaktischer Perspektive an dem Diskussionsprozess über Medienbildung und weist zugleich über den Mathematikunterricht hinaus. Der Mathematikunterricht kann durch seinen Beitrag zur Medienbildung die umfassende kulturrelevante Bedeutung der Medien ins Blickfeld rücken.

Prof. Dr. rer. nat. Dr. phil. habil. Horst Hischer, Universität des Saarlandes (Mathematik und ihre Didaktik). Arbeitsgebiete: Mathematikunterricht im Kontext von Allgemeinbildung, Elementarmathematik, Geschichte der Mathematik, Integrativer Medienpädagogik, Informatik und Neuen Medien.

Dr. phil. Wolf-Rüdiger Wagner (Germanistik, Politikwissenschaft und Philosophie). Schwerpunkt seiner Arbeit sowohl als Fachbuchautor als auch in der Lehrerbildung: (Integrative) Medienpädagogik.

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort	6
Inhalt	12
1 Einleitung: Mathematik, Medien, Bildung – Medienbildung?	18
Teil I: Theorie	21
2 Bildungstheoretische Grundlagen	22
2.1 Bildung und Allgemeinbildung	22
2.1.1 Prolog: wider den Zeitgeist	22
2.1.2 Zur Genese des Bildungsbegriffs im deutschen Sprachraum	23
2.1.2.1 Vorbemerkung	23
2.1.2.2 Die Phase zwischen 1770 und 1830	24
2.1.2.3 Zum Bildungsbegriff in klassischen Enzyklopädien	25
2.1.2.4 „Bildung“ als Prozess der Entwicklung der Bildsamkeit	26
2.1.2.5 Kategoriale Bildung als Dualismus, nicht aber als Dichotomie	27
2.1.2.6 Klafki und „die Heimholung des Bildungsbegriffs“	28
2.1.3 Zum heutigen Verständnis von Allgemeinbildung	29
2.1.3.1 Die „doppelte Positionierung“ der Didaktik der Mathematik	29
2.1.3.2 Klafki: Allgemeinbildung in fachübergreifender Sicht	29
2.1.4 Offenheit und Unterrichtsziele vs. Lernziele	32
2.1.5 Inhalt, Thema, Unterrichtsinhalt, Bildungsinhalt und Bildungsgehalt	33
2.2 Mathematikunterricht und Allgemeinbildung	34
2.2.1 Zur Leitposition der wissenschaftlichen Didaktik der Mathematik	34
2.2.2 Wittenberg: Bildung und Mathematik	35
2.2.3 Heymann: Thesen zu einem allgemeinbildenden Mathematikunterricht	38
2.2.4 Winter: Grunderfahrungen für eine mathematische Allgemeinbildung	40
2.2.5 Mathematik – Anwendung – Spiel – Irrtum	41
2.3 Technik und Technologie	45
2.4 Didaktik oder Methodik? – Methodik als Teil der Didaktik!	48
2.5 „Kompetenzen“? – ein kritisch-konstruktiver Einwurf	50
2.6 Am Rande: Bildung und Wissen – Bildung ist das Paradies!	56
3 Medien im didaktischen Kontext	60
3.1 Medien, Kultur und Enkulturation	60
3.1.1 „Medien“ im naiven umgangssprachlichen Verständnis	60
3.1.2 Kron: „Medium“ im bildungswissenschaftlichen Verständnis	62
3.1.3 „Kultur“ in naiver und philosophischer Sicht	63
3.1.4 Kulturtechniken	67
3.1.5 Herskovits & Loch: „Kultur“ im bildungswissenschaftlichen Verständnis	69
3.1.6 Enkulturation: Didaktik als Enkulturationswissenschaft	70
3.1.7 „Medium“ als Umgebung	71
3.2 „Medium“ alsGenus verbi im Griechischen	74
3.3 Medien als Werkzeuge zur Weltaneignung und als künstliche Sinnesorgane	77
3.4 Medien im didaktischen Kontext: „mediale Aspekte“	79
3.5 Medien: enge Auffassung versus weite Auffassung	80
3.6 Ein Blick auf aktuelle technische Medien	82
3.7 Neue Medien	83
3.8 Medien im Unterricht als Werkzeug oder als Hilfsmittel?	84
3.9 Medienpädagogik	85
3.10 Integrative Medienpädagogik	87
3.11 Medien als Unterrichtsmittel oder als Unterrichtsgegenstand?	90
3.12 Medienbildung – Schlagwort oder Bildungskonzept?	92
3.13 „Medienbildung“ als „Integrative Medienpädagogik“	94
3.14 Rückblick und Ausblick aus medienphilosophischer Sicht	97
4 Medialitätsbewusstsein	100
4.1 Prolog	100
4.2 Medien – Medialitätsbewusstsein – Medienbildung	107
4.3 Zur generellen Medialität unserer Weltzugänge	110
4.4 Medien als künstliche Sinnesorgane	110
4.5 Medien als „Kulturtechniken“	112
4.6 Kulturtechniken und Generierung von Wissen	117
4.7 Mediengenerativismus versus Medienmarginalismus	118
4.8 Medialität	120
4.8.1 Alltagswirklichkeit versus Medienwirklichkeit	120
4.8.2 Medialität als „sinnmiterzeugendes“ Potential	121
4.8.3 „Sinn“ ist immer an eine mediale Form gebunden	123
4.8.4 „Nur in der Prozessualität eines Vollzugs ist etwas überhaupt ein Medium“	124
4.8.5 Geräte und Verfahren werden zu Medien, indem sie Programme zur Aneignung von Welt unterstützen	127
4.8.6 Medien entfalten ihr Potential im Zusammenwirken von Geräten und Verfahren	130
4.9 Relevanz der Medialitätsforschung für die Medienbildung	131
4.9.1 „Wissensbilder“	132
4.9.2 Graphische Darstellungen als Evidenzerzeuger	133
4.9.3 Leitmedien und ihr kulturprägendes Potential	134
4.10 Medialitätsbewusstsein als Bildungsziel	136
4.11 Fazit	138
Teil II: Beispiele	141
5 Mathematik und Medien – Vorbetrachtungen	143
5.1 Mediale Aspekte	143
5.2 Mathematikunterricht und Medialitätsbewusstsein	144
5.3 Mathematik als Medium im historischen Kontext	148
5.3.1 Mathematik zwischen Anwendung und Spiel	148
5.3.2 Mathematik als Medium	149
5.3.3 Mathematik, Medien und Bildung im historischen Kontext	152
6 Neue Medien	155
6.1 Neue Medien als Auslöser der Diskussion um Medienbildung	155
6.2 Funktionenplotter	156
6.2.1 Zur Geschichte der Funktionenplotter	156
6.2.2 Zur Struktur von Funktionenplottern	158
6.2.3 Funktionsplots termbasierter Funktionen	159
6.2.3.1 Funktionsplot als Simulation eines Funktionsgraphen	159
6.2.3.2 Funktionsgraph versus Funktionsplot	160
6.2.3.3 Medienbildende Konsequenz: „Idee“ versus „Simulation“	161
6.2.4 Überlagerungsphänomene bei periodischen Strukturen	162
6.2.4.1 Rückwärts laufende Kutschenräder in Wildwestfilmen	162
6.2.4.2 Fehldarstellungen durch Funktionenplotter	162
6.2.4.3 Merkwürdige Ansichten von Brückengeländern	163
6.2.4.4 Schwebungen	164
6.2.4.5 Zusammenfassung und Weiterung	164
6.2.5 Aliasing bei Funktionenplottern	167
6.2.5.1 Funktion und Simulation	167
6.2.5.2 Aliasing als Abtastphänomen	168
6.2.6 Elementare Sätze über Funktionenplotter	170
6.2.7 Merkwürdiges: die „Hauptsätze für Funktionenplotter“	171
6.3 Computeralgebrasysteme	174
6.3.1 Zur Struktur von Computeralgebrasystemen	174
6.3.1.1 Übersicht und Geschichte	174
6.3.1.2 Grundlegende Betriebsarten eines Computeralgebrasystems	175
6.3.1.3 Termersetzungstechniken	176
6.3.1.4 Analysis mit CAS?	177
6.3.1.5 CAS und Künstliche Intelligenz?	178
6.3.2 Computeralgebrasysteme und Mathematikunterricht	179
6.3.2.1 Computeralgebrasysteme als Auslöser grundlegender didaktischer Erörterungen	179
6.3.2.2 Wie viel Termumformung „braucht“ der Mensch?	180
6.3.2.3 Zur Auslagerung von Fertigkeiten auf Computeralgebrasysteme	182
6.3.2.4 Das epistemologische Dreieck und der Einsatz von Computeralgebrasystemen	183
6.4 Tabellenkalkulationsysteme	185
6.4.1 Überblick	185
6.4.2 Historische Anmerkungen	186
6.4.3 Zur Struktur von Tabellenkalkulationssystemen	187
6.4.4 Beispiele zur Verwendung von Rechenblättern	187
6.4.4.1 Tabellierung termdefinierter Funktionen	187
6.4.4.2 TKS sowohl als termbasierte als auch als punktbasierte Funktionenplotter	190
6.4.4.3 Greedy-Algorithmus mit Tabellenkalkulation	191
6.5 Bewegungsgeometriesysteme – Dynamische Geometrie	192
6.5.1 Vorbemerkung	192
6.5.2 Historische Aspekte	193
6.5.3 Typische Eigenschaften	194
6.6 Internet und World Wide Web (WWW)	194
6.6.1 Historische Aspekte	194
6.6.2 Zur Struktur	195
6.6.3 Recherchemöglichkeiten	195
6.7 Anthropomorphisierende Aspekte als „Medialität“	196
6.7.1 Vorbemerkung	196
6.7.2 Beispiele	197
6.7.2.1 Trivialisierer	197
6.7.2.2 Beweiser und Entdecker	199
6.7.2.3 Rechenknecht, Möglichkeitserweiterer, Türöffner und „Rennen gegen die Mauer“	200
6.7.2.4 Täuscher und Blender	202
6.7.2.5 Recherchierer	204
7 Funktionen als Medien	205
7.1 Funktionen und Medienbildung	205
7.2 Zum aktuell nicht einheitlichen Verständnis von „Funktion“	207
7.3 Funktionen haben viele Gesichter	208
7.4 Zeittafel zur Entwicklung des Funktionsbegriffs	210
7.5 Funktionen als Tabellen bei den Babyloniern	211
7.6 Zur Dominanz zeitachsenorientierter Funktionen seit etwa 1000 n. Chr.	213
7.6.1 Klosterschule: Darstellung des Zodiacs in einem Koordinatensystem	214
7.6.2 Guido von Arezzo: Begründer der Notenschrift	217
7.6.3 Nicole d‘Oresme: geometrische Darstellung zeitabhängiger Funktionen	219
7.7 Empirische Funktionen im Vorstadium formaler Begriffsentwicklung	222
7.7.1 Überblick	222
7.7.2 1551 Rheticus: erste trigonometrische Tabellen	223
7.7.3 1614 John Napier: erste „Logarithmentafeln“?	224
7.7.4 1662 John Graunt: erste demographische Statistik	226
7.7.5 1669 Christiaan Huygens: „Lebenslinie“ und „Lebenserwartungszeit“	227
7.7.6 1686 Edmund Halley: Luftdruckkurve	227
7.7.7 1741 / 1761 Johann Peter Süßmilch: geistiger Vater der Demographie	228
7.7.8 1762 / 1779 Johann Heinrich Lambert: Langzeittemperaturmessungen	229
7.7.9 1786 / 1821 William Playfair: Datenvisualisierung durch Charts	233
7.7.10 1795 / 1797 Louis Ézéchiel Pouchet: Nomogramme	234
7.7.11 1796 James Watt & John Southern: Dampfmaschine und Kreisprozess	234
7.7.12 1817 Alexander von Humboldt: erstmals geographische Isothermen	235
7.7.13 1821 Jean Baptiste Joseph Fourier: Häufigkeitsverteilung	235
7.8 Beginn der expliziten Begriffsentwicklung von „Funktion“	236
7.8.1 Überblick	236
7.8.2 1671 Isaac Newton: Fluxionen und Fluenten	236
7.8.3 1673 / 1694 Gottfried Wilhelm Leibniz: erstmals das Wort „Funktion“	237
7.8.4 1706 / 1718 Johann I. Bernoulli: erstmals Definition von „Funktion“	238
7.8.5 1748 Leonhard Euler: erstmals „Funktion“ als grundlegender Begriff	239
7.9 Entwicklung zum modernen Funktionsbegriff seit Anfang des 19. Jhs.	241
7.9.1 1822 Jean Baptiste Fourier: erste termfreie Definition von „Funktion“	241
7.9.2 1829 / 1837 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet: termfreier Funktionsbegriff	242
7.9.3 1875 Paul Du Bois-Reymond: Funktion als Tabelle	245
7.9.4 1887 Richard Dedekind: Abbildung als eindeutige Zuordnung	246
7.9.5 1891 Gottlob Frege – Präzision:	247
7.9.6 Ende 19. Jh. Peirce, Schröder, Peano: erstmals Funktion als Relation	249
7.9.7 1903 – 1910 Russell, Zermelo, Whitehead: Annäherung an „Relation“	249
7.9.8 1914 Felix Hausdorff: mengentheoretische Definition von „Funktion“ als „Relation“	250
7.9.9 Funktion und Funktionsgraph: eine kuriose Konsequenz	251
7.10 „Gesichter“ von Funktionen: ungewöhnliche Beispiele	252
7.10.1 Vorbemerkungen	252
7.10.1.1 Anfang des 21. Jhs.: Die große Vielfalt – Funktionen haben viele Gesichter	252
7.10.1.2 Zu „medialen Sichtweisen“ von Funktionen	252
7.10.2 Bilder als Funktionen – Sichtbare Funktionen	253
7.10.3 Funktionenplotter, Funktionsplots und Schaubilder von Funktionen	253
7.10.4 Scanner als materialisierte Funktion: Diskretisierung und Digitalisierung	254
7.10.5 Hörbare Funktionen	255
7.10.6 Funktionenplotter, Kameras, Projektoren und Filme als Funktionen	258
7.11 Fazit	259
8 Zur Medialität mathematischer „Probleme“ am Beispiel der „drei klassischen Probleme“	263
8.1 Die drei Probleme in früher schulbezogener Literatur	263
8.2 Überblick zur Behandlung der drei Probleme in der Antike	265
8.2.1 Problemskizzen	265
8.2.2 „Konstruktion mit Zirkel und Lineal“ in medialer Sicht	267
8.2.3 Zur Entstehung der drei klassischen Probleme in der Antike	269
8.2.3.1 Zeittafel	269
8.2.3.2 Quadratur des Kreises	269
8.2.3.3 Verdoppelung des Würfels	270
8.2.3.4 Dreiteilung eines Winkels Hippias von Elis	272
8.2.4 Exakte Lösungen vs. Näherungslösungen?	273
8.3 Gemeinsamkeiten und Unterschiede der drei Probleme	274
8.3.1 Strukturelle Aspekte	274
8.3.2 Mediale Aspekte	276
8.4 Dreiteilung eines Winkels	277
8.4.1 Ausgangslage: Strahlensatz ist nicht direkt anwendbar	277
8.4.2 Lösungswerkzeug: die Trisectrix des Hippias von Elis	277
8.4.3 Lösungswerkzeug: die Archimedische Spirale	278
8.4.4 Lösungswerkzeug: das „Einschiebelineal“ des Archimedes	280
8.4.5 Lösungswerkzeug: die Muschellinie des Nikomedes	282
8.5 Verdoppelung des Würfels	284
8.5.1 Grundidee: Ermittlung von zwei mittleren Proportionalen	284
8.5.2 Lösungsweg: mechanische Einschiebung	287
8.5.2.1 Einschiebung mit einem Holzrahmen-Apparat (vermutlich durch Eratosthenes)	287
8.5.2.2 Einschiebung mit einem Winkelhaken-Paar (vermutlich durch Hippokrates)	289
8.5.2.3 Zur Fehlzuweisung dieser Einschiebelösungen zu Platon	290
8.5.3 Lösungsweg: die „krumme Linie“ des Archytas von Tarent	292
8.5.4 Lösungsweg: die Muschellinie (Konchoïde) des Nikomedes	295
8.5.5 Lösungsweg: das Mesolabium des Eratosthenes	296
8.5.6 Lösungsweg: Schnittpunkt von zwei Kegelschnitten nach Menaichmos	298
8.5.7 Lösungsweg: Schnittpunkt von Parabel und Kreis nach Descartes	300
8.6 Quadratur des Kreises	301
8.6.1 Lösungswerkzeuge: die Trisectrix als Quadratrix, Satz des Dinostratos	301
8.6.2 Lösungswerkzeug: die Archimedische Spirale	303
8.7 Ergänzungen	305
8.7.1 Zur „Neusis“ als Lösungsmethode	305
8.7.2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal:	309
8.7.3 Vertiefung: exakte Lösungen vs. Näherungslösungen	313
8.7.4 19. Jahrhundert: die endgültige Lösung der drei klassischen Probleme	316
8.7.4.1 Definition: „mit Zirkel und Lineal konstruierbar“	316
8.7.4.2 Das Delische Problem	316
8.7.4.3 Die Quadratur des Kreises	316
8.7.4.4 Die Winkeldreiteilung	317
8.7.5 Zusammenfassung	317
8.7.5.1 Winkeldreiteilung	317
8.7.5.2 Würfelverdoppelung	318
8.7.5.3 Kreisquadratur	318
8.7.5.4 Tabellarischer Überblick	319
8.8 Fazit	320
9 Weitere mediale Aspekte in der Mathematik	323
9.1 Visualisierungen	323
9.1.1 „Visualisierung“ – was ist das eigentlich?	323
9.1.2 Visualisierungen in der Mathematik	324
9.1.3 Beweise ohne Worte	326
9.1.4 Figurierte Zahlen	328
9.1.5 Illusionen durch Visualisierung unmöglicher Figuren	331
9.1.6 Optische Täuschungen	334
9.2 Historische Werkzeuge der Mathematik	335
9.2.1 Vorbemerkung	335
9.2.2 Mechanische Instrumente zum Zeichnen, Messen und Rechnen	336
9.2.3 Auf dem Wege zur Entwicklung von Rechenmaschinen	337
9.2.4 Tafelwerke	339
9.2.5 Rechenschieber	341
9.2.6 Mathematische Papiere	342
9.3 Formale Aspekte	345
9.3.1 Vorbemerkung	345
9.3.2 Variablen, Logik und Mengen	345
9.3.3 Algorithmen und Kalküle	347
9.3.3.1 Erste Begriffsbeschreibungen	347
9.3.3.2 Zur Geschichte	348
9.3.3.3 Zu Begriffsdefinitionen von „Algorithmus“ und „Kalkül“	348
9.3.3.4 Beispiele für Kalküle	351
9.3.4 Axiome, Strukturen und Modelle	353
9.3.4.1 Vorbemerkung	353
9.3.4.2 Historische Aspekte zu Axiomen	354
9.3.4.3 Aktuelle Auffassungen zu Axiomen und Axiomensystemen	356
9.3.4.4 Heteronome und autonome Axiomensysteme	358
9.3.4.5 Axiomatische Beschreibung mathematischer Strukturen	360
9.3.4.6 Modell, Widerspruchsfreiheit, Monomorphie und Vollständigkeit	362
9.3.4.7 Modell und Modellierung in der Mathematik bzw. in der Physik	364
9.3.4.8 Modell und Modellierung: Heinrich Hertz – Modellieren als Axiomatisieren	367
9.4 Mathematik, Sprache und Logik	370
9.5 Fazit	372
10 Vernetzung als Medium zur Weltaneignung	373
10.1 Einleitung	373
10.2 Kleine Welten und Netzwerke	373
10.2.1 Vorbemerkung	373
10.2.2 Kleine Welten – zwei Einstiegsbeispiele und ihre (Be-)Deutung	374
10.2.2.1 Das Kevin-Bacon-Orakel	374
10.2.2.2 Die Erdös-Zahl	377
10.2.2.3 Der Akteurs-Graph und der Erdös-Graph als „Kleine Welten“	381
10.2.2.4 Der Mathematiker-Graph und das Potenzgesetz („Power Law“)	382
10.3 Netz, Netzwerke und Vernetzung	385
10.3.1 Vorbemerkung	385
10.3.2 Alltagssprachlicher Bedeutungsumfang von „Netz“	388
10.3.3 „Netz“ in pädagogisch-didaktischer axiomatisch orientierter Sicht	390
10.3.4 Netzgraphen, Netzwerke, Vernetzung und Verzweigung	392
10.3.5 Das „Netz-Dilemma“	396
10.4 Modellierung natürlich wachsender Netzwerke	397
10.4.1 Übersicht	397
10.4.2 Das „ER-Modell“ von Erdos und Rényi (1959)	398
10.4.3 Das „WS-Modell“ von Watts und Strogatz (1998)	399
10.4.4 Das „BA-Modell“ von Barabási und Albert (1999)	401
10.4.5 Ausfallverhalten von Netzwerken: Fehlertoleranz und Stabilität	406
10.4.6 Zusammenfassung	411
10.5 Fazit: Vernetzung als Medium zur Weltaneignung	412
10.5.1 Vorbemerkung	412
10.5.2 Vernetzung, Kleine Welten und Mathematikdidaktik: Grundsätzliches	412
10.5.3 Kleine Welten, BA-Modell und „vernetzender Unterricht“	414
10.5.3.1 Grundsätzliches	414
10.5.3.2 kleiner mittlerer Knotenabstand	415
10.5.3.3 Naben	416
10.5.3.4 Ausfallverhalten	416
10.5.4 Kleine Welten, Netzwerke: Anregungen für den Mathematikunterricht	417
10.5.5 Pädagogische Aspekte: soziale Netzwerke	418
10.5.6 Zusammenfassung	421
11 Nachwort	423
12 Literatur	429
13 Abbildungsverzeichnis	455
14 Register	459

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