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Einführung in die Vektorrechnung

Neben der Integral- und Differentialrechnung ist die Vektorrechnung eine der wichtigsten mathematischen Disziplinen für die Ausbildung in einem Ingenieurfach, da in der Mechanik sehr viele gerichtete Größen wie Kräfte, Momente, Geschwindigkeiten, Verschiebungen, Ortsvektoren etc. auftreten. Die in den Boxen 1.1–1.4 aufgeführten Rechenregeln zur Beschreibung von geometrischen Vektoren sowie deren Komponentendarstellung, siehe Box 1.1, des Skalarproduktes in Box 1.2, des Vektorproduktes in Box 1.3 sowie des Spatproduktes aus Box 1.4 dienen zur Berechnung von Längen, Winkeln und Projektionen, Flächen und Normalenvektoren sowie Volumina und der linearen Abhängigkeit von Vektoren.

Box 1.1: Grundrechenregeln der Vektorrechnung

Grundrechenregeln

Komponentendarstellung von Vektoren:

Vektoraddition:

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Box 1.2: Skalarprodukt

Skalarprodukt:

Grundbeziehungen:

Kronecker-Symbol (Orthogonalität der Basisvektoren):

Komponentenberechnung eines Vektors:

Komponentendarstellung des Skalarproduktes:

Norm (Betrag) eines Vektors:

Winkel zwischen zwei Vektoren und

Einheitsvektor in Richtung des Vektors :

Box 1.3: Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Vektorprodukt (, und stellen ein Rechtssystem dar ):

Grundbeziehungen:

Berechnungsmöglichkeit mit verallgemeinerter Determinante:

Box 1.4: Spatprodukt

Spatprodukt:

Zyklische Vertauschbarkeit des Spatproduktes:

Komponentendarstellung des Spatproduktes:

Lineare Abhängigkeit, Rechts- oder Linkssystem:

1.1 Beispiele zur Vektorrechnung

Beispiel 1.1 (Summe und Differenz zweier Vektoren)

Gegeben seien zwei in der Ebene aufgespannte Vektoren sowie .1) Der Vektor hat demnach einen Anteil mit dem Betrag 3 in x-Richtung und einen Anteil mit dem Betrag 1 in y-Richtung, siehe Abb. 1.1a. Der Vektor hingegen hat den Betrag 1 in x-Richtung. Aufgrund des negativen Vorzeichens zeigt er in negative x-Richtung. Zudem hat einen Anteil der Länge 2 in y-Richtung. Ausgehend von der Schulmathematik würde man die beiden Vektoren in Spaltenform darstellen

die wir uns gedanklich merken können, aber nicht weiter verwenden wollen, da damit keine Aussage vorliegt, auf welche Basis man sich bezieht (siehe Beispiel 1.5, wo der gleiche Vektor unterschiedliche Koeffizienten relativ zu unterschiedlichen Basissystemen hat).

Abb. 1.1 Vektoraddition, Vektorsubtraktion sowie Kommutativität. (a) Vektoraddition und Vektordifferenz , (b) Kommutativität der Vektoraddition.

Die Addition der Vektoren und bedeutet die Addition der Vektorkomponenten bzw. Vektorkoeffizienten, siehe Gl. (1.7),

Graphisch verschiebt man den Fußpunkt des Vektors in die Spitze von , und der resultierende Vektor, hier , bedeutet der Vektor mit dem Fußpunkt im Fußpunkt von und der Spitze in der Spitze von . Aufgrund der Kommutativität der Vektoraddition, siehe Gl. (1.2), könnte man auch den Fußpunkt von in die Spitze von legen, siehe Abb. 1.1b, um den resultierenden Vektor zu erhalten.

Analog lässt sich die Differenz mit

bestimmen

Der Vektor ist ebenfalls in Abb. 1.1a abgebildet. Das in diesem Beispiel behandelte ebene Problem lässt sich formal auf jeden dreidimensionalen Vektor übertragen. Die graphische Veranschaulichung ist jedoch schwieriger und daher nur zum Teil aufgeführt.

Beispiel 1.2 (Skalarprodukt)

Wir sind an der Charakterisierung einer Raumdiagonalen eines Würfels im Hinblick ihrer Winkel zu den einzelnen Achsen bzw. Ebenen interessiert. Die Raumdiagonale in Abb. 1.2 ist durch den Vektor charakterisiert, wobei a die Seitenlänge des Würfels ist. Zunächst berechnen wir den Einheitsvektor in Richtung der Diagonalen, siehe Gl. (1.18). Mit

siehe auch Gl. (1.16), folgt . Die Länge der Diagonalen ist demnach Der Winkel β zwischen der Raumdiagonalen und der z-Achse lässt sich mithilfe von Gl. (1.17) bestimmen,

Abb. 1.2 Geometrie einer Raumdiagonalen

Daraus resultiert der Winkel Da die Projektion von auf die Diagonale in der x/y-Ebene, durch

gegeben ist, könnte der Winkel α auch durch das Skalarprodukt berechnet werden,

(Erinnerung

Beispiel 1.3 (Längenberechnung mit dem Skalarprodukt)

Für einen Transport benötigt man die Länge der Diagonalen eines Schrankes mit der Länge L = 240 cm, der Breite B = 90 cm und der Tiefe H = 30 cm. Der Vektor der Diagonalen ist [cm] und damit ist die Länge

Beispiel 1.4 (Skalarprodukt und Projektion)

Gegeben sei eine Gerade im Raum

mit und . Die Gerade liegt demnach parallel zur y/z-Ebene und der Vektor befindet sich in der x/z-Ebene, siehe Abb. 1.3a. Es liegt daher die Geradengleichung

d. h. die Komponentendarstellung

vor. Wir betrachten als Nächstes den Punkt und suchen den kürzesten Abstand des Punktes zur Geraden. Hierzu berechnen wir den Verbindungsvektor

Der Einheitsvektor in Richtung der Geraden lautet, siehe Gln. (1.16) und (1.18),

und wird für die rechtwinklige Projektion des Vektors auf die Gerade benötigt, siehe Abb. 1.3b,

Abb. 1.3 Projektion und kürzester Abstand zu einer Geraden. (a) Gerade im Raum, (b) Projektion und kürzester Abstand.

Der auf der Geraden senkrecht stehende Vektor berechnet sich aus der Differenz des Vektors und der Projektion

Der Betrag des Vektors gibt den kürzesten Abstand des Punktes C zur Geraden an,

Wir können noch den Abstand auf der Geraden ausrechnen, den der Punkt zum Punkt besitzt,

Da gilt, folgt

μ hat die Dimension einer Länge, da der Einheitsvekto dimensionsfrei ist, wäh renddessen keine Dimension hat und die Koeffizienten des Vektors die Dimension einer Länge haben.

Beispiel 1.5 (Skalarprodukt zur Komponentenberechnung)

Häufig tritt die Fragestellung der Darstellung von Vektoren in einem anderen Basissystem auf. In Abb. 1.4a ist der Vektor relativ zu dem Basissystem gegeben. Das neue Basissystem sei durch die Drehung φ = 30° um die z-Achse definiert,

(cos 30° = sin 30° = 1/2). Die Darstellung des Vektors in Bezug auf die neue Basis lautet

Abb. 1.4 Wechsel des Basissystems ist nur derjenige Anteil in der x/y-Ebene – Projektion von auf die x/y-Ebene). (a) Drehung des Basissystems (3D-Darstellung), (b) ebene Darstellung der Drehung.

und wir suchen die Koeffizienten und Durch das Skalarprodukt des Vektors mit den einzelnen Basisvektoren kann man sich diese Koeffizienten beschaffen,

In diesem Sinne entsprechen die Produkte der Projektion des Vektors auf die Richtung Wir erhalten hiermit den Vektor ausgedrückt in der Basis

In Abb. 1.4b ist dies graphisch in der ξ/η-Ebene dargestellt. Der Vektor ändert sich demnach nicht. Es ändern sich beim Wechsel des Basissystems die Vektorkoeffizienten, d. h. Richtung und Betrag bleiben konstant beim Wechsel des Basissystems.

Beispiel 1.6 (Vektorprodukt)

Wir betrachten eine Dreiecksfläche parallel zur x/z-Ebene. Die notwendigen Koordinaten der Ecken der Fläche, hier gegeben durch die Ortsvektoren, lauten sowie , siehe Abb. 1.5. Die Zahlenwerte der Vektorkoeffizienten seien in mm gegeben. Gesucht ist der Normalenvektor auf der Fläche, die Dreiecksfläche A selbst sowie die Länge der Verbindungslinie zwischen den Punkten 2 und 3. Wir berechnen...